Anàlisi d’inversions II

Aprofundiment en les eines d’anàlisi

Marta Gómez Puig
Lídia Pradas López
revisor Carme Molina Cobo
revisor Susana Sardà García

PID_00244256

Cap part d'aquesta publicació, incloent-hi el disseny general i la coberta, no pot ser copiada, reproduïda, emmagatzemada o transmesa de cap manera ni per cap mitjà, tant si és elèctric com químic, mecànic, òptic, de gravació, de fotocòpia o per altres mètodes, sense l'autorització prèvia per escrit dels titulars del copyright.

Índex

Introducció
Objectius
1.Naturalesa del risc i actitud personal davant del risc
- 1.1.La percepció del risc i l’aversió al risc
2.Models d’avaluació d’inversions en context de risc
3.Models que no utilitzen estadístics mesuradors del risc i se centren en la rendibilitat exigida pels recursos utilitzats en l’empresa
Resum
Exercicis d'autoavaluació
Glossari
Bibliografia

Introducció

En el mòdul anterior, hem estudiat les principals eines que el responsable de l’àrea financera d’una empresa té a la seva disposició per analitzar projectes i avaluar si són viables amb criteris com la rendibilitat, el termini de recuperació, el valor afegit, etc.

Hem parlat del concepte risc, però sense analitzar l’impacte que té en els fluxos de fons d’una empresa ni en la taxa de descompte. Aquest mòdul està dedicat a aquest objectiu.

Només cal assenyalar que, en la vida real, difícilment podem saber amb precisió el futur o horitzó econòmic d’una inversió, ja que una sèrie de factors o agents externs incontrolables, aliens al projecte, en condicionen els resultats i hi influeixen. L’única variable que podem saber amb certesa relativa és el desemborsament inicial, però els fluxos de fons i fins i tot la durada del projecte en molts casos es comporten de manera aleatòria. De fet, en el món econòmic ens movem gairebé sempre en un entorn d’incertesa. Si aquest és l’escenari real que té al davant la persona que ha de prendre les decisions d’inversió, com hem d’incorporar el risc en la seva anàlisi de projectes d’inversió? Certament, no és una tasca senzilla i hi ha diverses alternatives, més o menys complexes, que mirarem d’explicar al llarg de les línies següents.

Al llarg dels anys, els acadèmics han desenvolupat diferents fórmules d’analitzar el risc en els projectes i la manera com els impacta, però val la pena destacar que abans d’això els empresaris ja feien ajustos en els seus pressupostos de capital. Intuïtivament, ja veien que un projecte més arriscat era menys atractiu que un de més segur i que, perquè es compensés aquesta falta d’atractiu, hauria d’oferir més rendibilitat. Quanta més? És a dir, quina prima de risc hem d’afegir a un determinat projecte?

El món acadèmic es va bolcar a analitzar aquesta problemàtica des de dos punts de vista diferents:

1) La plasmació del risc en la rendibilitat exigida pels recursos utilitzats per l’empresa.

2) L’anàlisi separada del risc en si mateix i l’ajust posterior a les preferències de l’inversor.

Tots dos corrents parteixen del mateix punt: els inversors senten aversió al risc i teòricament podríem dibuixar les seves corbes d’indiferència, de manera que marquin les seves preferències entre risc i rendibilitat.

Per comprendre millor el tema del risc, primer haurem d’entendre què s’entén per risc i per aversió al risc.

Seguidament, analitzem com podem tenir en compte el risc dins de les nostres valoracions de projectes. Començarem desenvolupant el tema partint de la teoria que hi ha una prima de risc. Aquesta prima pot incorporar-se de dues formes a la nostra anàlisi:

a) Mitjançant la penalització del valor actual utilitzant una taxa de descompte més alta (taxa de descompte ajustada per risc).

b) Mitjançant la penalització dels fluxos de cada període, per buscar l’equivalent del flux en condicions de certesa (l’equivalent cert).

No obstant això, les dificultats que comporta delimitar quina és exactament la prima de risc a la pràctica, han portat els analistes i acadèmics a buscar altres vies d’anàlisi, algunes de les quals s’estudiaran en aquest mòdul.

Objectius

Els objectius són:

Prendre consciència de la importància del risc d’una inversió.
Aprofundir en el concepte de risc i la dificultat de mesurar-lo.
Comprendre que el concepte de risc i d’actitud davant el risc són dos conceptes diferents que es presenten junts a l’hora de prendre una decisió.
Conèixer les eines d’anàlisi principals que incorporen el risc a l’avaluació de projectes.
Analitzar i comprendre les diferències entre les diverses alternatives d’introducció del risc en la nostra anàlisi.
Adquirir les capacitats bàsiques per poder avaluar un projecte d’inversió.
Adquirir les capacitats bàsiques per detectar els errors comesos en el procés de valoració.

1.Naturalesa del risc i actitud personal davant del risc

El responsable financer no sap amb certesa la magnitud dels fluxos de fons que el projecte generarà en el futur. El que passarà demà, o en qualsevol moment de temps en el futur, pot ser objecte d’estimacions més o menys aproximades, però que sempre estaran subjectes a un marge d’error.

Com hem vist en el mòdul 3, el responsable financer s’enfronta a una dificultat doble: determinar els fluxos de fons rellevants i estimar-los. Un bon mètode d’anàlisi del projecte en redueix la incertesa, i és molt important que els diferents departaments i experts dins de l’empresa s’involucrin en l’estimació de la manera més objectiva possible. Però fins i tot l’anàlisi més detallada no ens permetrà mai, o gairebé mai, atorgar una probabilitat del 100% a l’estimació que fem.

El primer aclariment que hem de fer és què s’entén per risc i què s’entén per incertesa. La literatura financera tradicional ha considerat que les inversions poden emmarcar-se en un context de risc si es coneixen les probabilitats dels possibles estats i les seves magnituds, i en un context d’incertesa quan no es coneixen aquestes probabilitats. Tanmateix, en la literatura financera més recent, a poc a poc, el context d’incertesa ha anat assimilant-se al de risc gràcies a la introducció del concepte de probabilitat «subjectiva⁽¹⁾» o a priori. Així, quan parlem d’anàlisi en context de risc, ens referim a situacions en les quals coneixem les probabilitats «objectives» o podem assignar com a mínim probabilitats «subjectives», és a dir, d’incertesa parcial.

Diferència entre probabilitat objectiva i subjectiva

Mentre que considerem que la probabilitat objectiva és igual a la relació entre el nombre de casos favorables i el nombre de casos possibles, denominem probabilitat subjectiva un nombre que quantifica el concepte de versemblança del subjecte decisor, i es basa en l’experiència, la intuïció, els sentiments o els coneixements d’aquest.

Així, segons el grau d’informació i certesa que tinguem sobre els fluxos futurs, parlarem de:

1) Context cert: cada una de les magnituds que defineixen el projecte d’inversió només pot presentar un estat, amb una probabilitat, per tant, igual a la unitat.

2) Context aleatori, d’incertesa parcial o de risc: les diferents magnituds es coneixen en termes de probabilitat objectiva o subjectiva.

3) Context de total incertesa: les magnituds que defineixen la inversió poden presentar diferents estats, però no es coneixen les probabilitats respectives.

A la pràctica, quan estem parlant d’inversions en projectes dins de l’empresa, la hipòtesi d’ignorància total (associada al context de total incertesa) és tan poc realista com la d’informació perfecta i certa (context cert).

El món empresarial es mou en un horitzó d’incertesa parcial, ja que malgrat que hi ha una sèrie de factors o agents externs que, fora del nostre control, condicionen els resultats del projecte i hi influeixen, no seria encertat considerar que el responsable financer pren decisions en un context d’absoluta ignorància. A la pràctica, fa estimacions sobre les variables que no coneix amb certesa, partint de la informació que té.

Un altre tema important que cal considerar és la naturalesa del risc que afecta el projecte. De fet, el risc total està format per tota una sèrie de subriscos, sobre els quals podríem fer una llista interminable. Destacarem:

1) Risc de mercat per incompliment de les previsions de vendes, que al seu torn pot subdividir-se en diversos riscos: risc d’aparició de productes substitutius, risc d’acció de la competència, risc de fluctuació del preu, risc d’acceptació del mercat, risc derivat de canvi de cicle econòmic, risc de tipus de canvi, risc associat a canals de distribució, etc.

2) Risc tecnològic i operatiu, derivat d’errors en els sistemes, procediments, en els models o en les persones que maneguen aquests sistemes, o per l’aparició de noves tecnologies.

3) Risc entorn de la previsió dels costos, problemes de subministrament, encariment dels factors productius, etc.

4) Risc per palanquejament operatiu, derivat de la proporció entre costos fixos i variables.

5) Risc per palanquejament financer, derivat del fet que quan ens endeutem, vagi bé o malament, haurem de fer front als nostres compromisos financers (els interessos actuen com un cost fix addicional).

Com veurem en parlar de l’anàlisi de sensibilitat, és molt important que l’empresa, si decideix abordar el projecte, sàpiga molt bé quins riscos té associats i a quin és més sensible el projecte, amb la finalitat de monitoritzar-los, controlar-los i desenvolupar plans de contingència en el cas que el risc latent es faci efectiu.

En finances mesurem el risc mitjançant la variabilitat del resultat, la seva desviació respecte al valor esperat. No obstant això, hem de destacar que per risc entenem que hi ha un perill contingent, és a dir, que és possible que tingui lloc un esdeveniment desfavorable.

La majoria dels responsables financers consideren el risc associat a un projecte d’inversió com la probabilitat de no aconseguir una determinada rendibilitat objectiu del seu projecte, és a dir, la possibilitat que els fluxos es desviïn de tal manera que el projecte deixi de ser rendible. Per tant, aquesta serà la definició de risc des d’un punt de vista financer que utilitzarem:

Considerem que hi ha situació de risc si hi ha la possibilitat que els resultats reals difereixin dels esperats i, més en concret, si considerem plausible la possibilitat que el rendiment real (econòmic) a posteriori sigui negatiu o inferior al qual, a priori, consideràvem necessari per acceptar el projecte.

1.1.La percepció del risc i l’aversió al risc

És important precisar que la percepció de risc (de la qual depèn la decisió final sobre l’execució o no del projecte) és un element subjectiu i que depèn de variables tant externes com internes. De fet, en l’anàlisi d’un mateix projecte i amb la mateixa informació, la decisió sobre si és viable pot ser positiva o negativa, segons qui sigui la persona que la prengui.

En termes financers, podem classificar els inversors com a aversos, neutrals o propensos al risc:

Un inversor avers al risc, en igualtat de condicions, tendirà a seleccionar la inversió que li sembli que té menys risc. Només es decantarà per l’alternativa més arriscada si n’obté una rendibilitat més alta.
Un inversor neutral al risc es guia per les lleis pures de probabilitats. Entre dues alternatives que tinguin el mateix rendiment esperat, es mostrarà indiferent, encara que una sigui més arriscada que l’altra.
Un inversor propens al risc o amant del risc tendirà a triar l’alternativa més arriscada.

A la gran majoria de les persones no ens agrada el risc, si bé, el grau d’aversió pot variar d’una persona a l’altra. Un inversor que prefereix no assumir riscos ha de ser compensat amb un retorn més alt, si volem que els assumeixi. Aquest retorn més alt respecte a la rendibilitat sense risc es diu prima de risc.

Si poguéssim dibuixar la funció d’utilitat d’un inversor, respecte al risc (mesurat com la variància del rendiment esperat al llarg del temps) i al rendiment esperat, seríem capaços de saber entre quins paràmetres de preferències es mou l’inversor.

No obstant això, la funció d’utilitat no és observable directament. Es podria dibuixar presentant un inversor amb diferents alternatives d’inversió i risc i que ell marqués les seves preferències, però el procés és tediós i sovint poc consistent. D’aquesta manera, podríem dibuixar les corbes d’indiferència de l’inversor racional. Una alternativa, que utilitzen sovint els assessors financers, és que l’inversor respongui un test que permeti encasellar-lo dins una categoria d’aversió al risc prèviament definida. Cadascuna de les categories correspon a perfils d’aversió al risc diferents als quals s’aplicarien primes de risc diferents a l’hora de determinar la viabilitat d’una mateixa inversió.

És important recordar que hi ha diversos elements que poden influir en la percepció o grau d’aversió al risc manifestat per «la persona» responsable de prendre decisions d’inversió:

Un mateix escenari futur pot ser considerat des d’una perspectiva optimista o pessimista segons els ulls que el mirin. És a dir, davant d’un mateix nivell d’informació, com que no podem assignar una taxa de variabilitat objectiva, un individu pessimista pot considerar que el resultat pot arribar a ser un 50% inferior, mentre que un d’optimista delimitarà aquesta caiguda en un 10%, per exemple.
També altres elements com l’ambició, motivació o l’edat del responsable financer tenen capacitat d’influir en el grau d’aversió al risc.
L’experiència prèvia de la direcció marca l’actitud que tindrà cap al risc. Si ha tingut èxit en la majoria de les iniciatives, tendirà a prendre actituds més arriscades, mentre que si ha tingut fracassos importants, tendirà a tenir més aversió al risc.
Així mateix, la percepció del risc també variarà segons la mida de l’empresa o del grup de persones que l’assumeixin. Referent a això, habitualment, el grau d’aversió al risc disminueix per part dels responsables de prendre decisions en les empreses multinacionals en comparació amb els responsables de petits negocis familiars dels quals són propietaris. De la mateixa manera, el grau d’aversió al risc també disminueix si la decisió la pren un conjunt de persones (l’exposició al risc es reparteix) més que no pas si la decisió la pren una persona individualment.
Tampoc no hem d’oblidar que l’actitud davant el risc del responsable financer estarà estretament relacionada amb l’exposició al risc que globalment tingui l’empresa. Així, si l’empresa té majoritàriament projectes d’inversió als quals s’associa un nivell de risc baix, augmentarà la propensió de l’empresa i del responsable financer a acceptar un projecte nou amb un nivell de risc relativament superior.
Finalment, un element molt important que no hem d’oblidar és el volum de la inversió proposada respecte a la mida de l’empresa i el grau de diversificació de l’empresa. Hi ha projectes que, tot i ser arriscats, mantenen una correlació inversa amb altres projectes en marxa i poden fer baixar el risc global de l’empresa en conjunt. De la mateixa manera, hi ha projectes molt arriscats que l’empresa pot permetre’s, ja que la possible pèrdua és insignificant dins de la seva xifra anual de negoci.

2.Models d’avaluació d’inversions en context de risc

Tal com s’ha explicat al llarg de l’apartat anterior, a causa del fet que les decisions d’inversió van associades a magnituds incertes, la literatura financera ha desenvolupat molts mètodes analítics de més a menys grau de dificultat per prendre decisions d’inversió en context de risc. Així, els més senzills inclouen aspectes purament matemàtics, mentre que els més complexos inclouen models estadístics basats en teories de probabilitat i simulacions.

Pensem que és convenient que l’estudiant sàpiga que existeixen (almenys els més importants), però lògicament ens centrarem en els que són més utilitzats en la pràctica empresarial. (Referent a això, podem assenyalar que el grau de dificultat desincentiva a l’hora de fer servir els mètodes més complexos, encara que puguin resultar més robustos des d’un punt de vista teòric.)

La taula que presentem a continuació resumeix els mètodes existents. En aquest curs, ens centrarem en els primers, els models més senzills que es basen en el cost dels recursos utilitzats.

Models basats en el cost dels recursos utilitzats	Ajust de la taxa de descompte Equivalent cert Anàlisi de la sensibilitat i d’escenaris Valor actual net esperat, VAN(E), i taxa interna de rendibilitat esperada TIR(E) Arbres de decisió i aplicació de la teoria d’opcions
Models que utilitzen estadístics mesuradors del risc	Esperança-variància VAN Comportament probabilístic del VAN Simulació de Montecarlo

3.Models que no utilitzen estadístics mesuradors del risc i se centren en la rendibilitat exigida pels recursos utilitzats en l’empresa

En el món empresarial, mesurar el risc no és una tasca gens fàcil, ja que resulta gairebé impossible assignar objectivament probabilitats i funcions de distribució per als diferents fluxos (ingressos, despeses i inversions) que componen un flux de fons.

Per això, al llarg dels anys s’han desenvolupat una sèrie d’eines destinades a introduir el factor risc, o millor dit, el factor d’incertesa parcial, en les nostres previsions de manera més o menys directa.

3.1.La taxa de descompte ajustada per risc

Podem desenvolupar aquest mètode de manera intuïtiva o amb tècniques financeres sofisticades com el càlcul de les betes dels actius.

Precisament perquè té un fort component intuïtiu i un suport metodològic, és el mètode més utilitzat a la pràctica.

El model es basa en tres principis bàsics:

1) L’inversor es comporta de manera racional

Tal com vèiem en aplicar el VAN, una unitat monetària avui val més que una unitat monetària d’aquí a un any, ja que durant aquest temps podríem haver-la invertit en un actiu sense risc i obtenir-ne una rendibilitat.

2) L’inversor té aversió al risc

Una unitat monetària d’aquí a un any segura val més que la mateixa unitat monetària d’aquí a un any no segura. És a dir, l’inversor està disposat a renunciar a rendibilitat (sempre tenint com a límit inferior la taxa lliure de risc) si amb això redueix la percepció de risc, o el que és el mateix, només estarà disposat a acceptar més risc si és prou compensat amb una rendibilitat més alta.

Aquest és el principi pel qual hem sostingut que els accionistes, en suportar un risc més alt en col·locar els seus recursos en l’empresa, exigiran més rendibilitat que els tenidors de deute.

3) El director financer vol maximitzar el valor de l’empresa

Per a això, haurà d’invertir els recursos utilitzats (d’accionistes i prestadors) en projectes que finalment aportin valor per a l’accionista. L’accionista, racional i amb aversió al risc, només percebrà que hi ha un increment de valor si és compensat adequadament per la rendibilitat perduda i el risc assumit (cost d’oportunitat d’invertir en bons sobirans o altres alternatives d’inversió de risc similar).

És a dir, partim del fet que en un context de risc les inversions de l’empresa es defineixen pel mateix binomi que les inversions que es fan en els mercats financers: rendibilitat esperada-risc.

Segons aquest mètode, la taxa de rendibilitat mínima que el responsable financer exigirà a un projecte, per tal d’acceptar-lo, tindrà en compte el nivell de risc que té associat.

El principi de taxa de descompte que hem vist en el mòdul 4, com a cost d’oportunitat (rendibilitat a la qual renuncia l’inversor), continua sostenint-se, però ara hauríem de comparar la nostra inversió amb altres alternatives d’inversió de risc equiparable.

De fet, una empresa en marxa ja té un cost de capital associat al risc del conjunt de projectes que duu a terme i a la seva estructura financera. Quan proposa un projecte d’inversió nou, pot ser que sigui igual, més, o menys arriscat que la resta de projectes de l’empresa, per la qual cosa s’hauria de descomptar a una taxa diferent. Però també podria ser que el projecte complís un objectiu de diversificació i que reduís la variabilitat total del conjunt de l’empresa, tot reduint el cost de capital.

Intuïtivament, podem veure que diferents projectes de l’empresa tindran més o menys grau de risc:

Projecte de substitució de màquina per estalviar costos	Poc risc	Taxa de rendibilitat exigida inferior al cost dels recursos
Expansió del negoci actual	Mateix risc	Cost del capital de l’empresa
Llançament de productes nous	Més risc	Prima de risc addicional
Inversió en R+D	Molt risc	Prima de risc elevada

L’evidència del cost dels recursos és corroborada pels mercats financers. Així, en termes generals, els inversors consideren més arriscades les inversions en renda variable que en renda fixa, i assignen més nivell de risc als actius de renda fixa privada que als actius de renda fixa pública. Per tant, com més alt sigui el nivell de risc associat a una inversió, més rendibilitat haurà de reportar l’actiu per compensar a l’inversor que hagi assumit aquest risc addicional. De fet, les agències de qualificació assignen als diferents emissors una qualificació (rating) segons la qualitat creditícia que tenen, element que els inversors tenen molt en compte. D’aquesta manera, com més alta/baixa és la qualificació d’un inversor determinat, més alt/baix és el nivell de risc associat als actius financers que ha emès i més alta/baixa serà la rendibilitat que haurà d’oferir aquest actiu per captar els fons dels inversors.

Llavors què fem? Ens oblidem de la prima de risc?

No, no podem, perquè augmentar el risc de l’empresa implica augmentar la rendibilitat que estaran exigint els nostres accionistes i prestadors i, consegüentment, augmentarà el cost dels nostres recursos.

De la mateixa manera que els nostres proveïdors de recursos financers (accionistes i prestadors) ens estaran exigint una prima addicional per assumir més risc, nosaltres haurem d’exigir més rendibilitat als nostres projectes. El conjunt de l’empresa sortiria perdent si aquest projecte no compensés d’alguna manera l’increment de risc.

És a dir, la prima de risc addicional (ρ) reflectirà l’increment de la rendibilitat mínima que s’exigeix al projecte d’inversió en compensació pel risc que té associat i per l’efecte que aquest té sobre el risc global del negoci.

Podrem avaluar la prima de risc respecte a la taxa sense risc (en aquest cas, sempre serà positiva) o com a prima de risc addicional (positiva o negativa) respecte al cost actual dels recursos. Nosaltres adoptarem aquesta última perspectiva, si bé qualsevol de les dues és vàlida.

Concretament, amb aquest procediment ajustarem la taxa de descompte segons el grau de risc que s’associï globalment al projecte d’inversió. Per tant, els fluxos de fons esperats seran actualitzats utilitzant una taxa de descompte ajustada al risc (k^*) que equivaldrà al cost del capital (k) més la prima de risc.

k^* = k + ρ

Essent:

k = cost del capital;

k^* = taxa de descompte ajustada al risc;

ρ = prima de risc addicional.

D’aquesta manera, actualitzant els fluxos de caixa esperats utilitzant k^*, calcularem la rendibilitat del projecte d’inversió a partir de l’expressió següent del VAN:

VAN = - A + \sum_{j = 1}^{n} \frac{E (Q_{j})}{{(1 + k^{*})}^{j}} 5.1

Acceptarem el projecte si el valor del VAN és positiu, perquè d’aquesta manera ens assegurarem que el projecte sí que crea valor per als accionistes.

El mètode també ens permet ordenar i seleccionar projectes: si tenim diverses alternatives d’inversió, cada una haurà de ser descomptada a la taxa de descompte ajustada per risc que correspongui, i les podrem ordenar segons el valor afegit global o l’índex de rendibilitat (VAN/inversió). Com més VAN, més valor creat.

El mètode ha estat criticat bàsicament per tres problemes:

1) En el món real, resulta gairebé impossible calcular quant augmentarà o disminuirà la rendibilitat exigida pels accionistes, així que ho haurem d’estimar. Com hem assenyalat en el primer apartat, la percepció de risc no depèn únicament de factors externs, sinó també de factors interns (l’actitud o propensió personal al risc). Per això, un mateix projecte, i disposant d’informació idèntica, pot ser percebut poc, moderadament o molt arriscat segons qui sigui la persona que l’analitzi. Si l’associació d’un nivell de risc determinat a un projecte d’inversió és un fet subjectiu i no podem saber amb certesa el cost dels recursos, com pretenem estimar una prima de risc?

2) Falta de comprensió del model de valor que és subjacent a aquesta teoria.

3) Mala aplicació del mètode. Recordem un cop més que un projecte pot valorar-se mitjançant el flux lliure de fons (FLF) o el flux de fons disponible per als accionistes (FFDA). Si ens basem en el flux lliure de fons, cada un dels grans grups que aporten recursos augmentarà la seva prima de risc de manera diferent. Per norma general, la prima de risc que afegeix el deute és molt inferior a la que afegeixen els accionistes, ja que aquests continuen fent-se càrrec de bona part del risc de l’operació. És a dir, hauríem de tornar a trobar el cost mitjà ponderat dels recursos associats al nou projecte. És un detall que no s’ha d’escapar a la pràctica. Recordem que K₀ és el cost mitjà dels recursos emprats ponderats a valor de mercat:

k_{0} = k_{d} (1 - t) \frac{D}{V} + k_{e} \frac{E}{V} 5.2

On:

D = valor de mercat del deute;

E = valor de mercat dels fons propis;

V = D + E.

Evidentment, l’única crítica que ens hauria de preocupar és la primera. Per això, hem buscat moltes alternatives per analitzar el risc del projecte independentment del cost exigit als recursos de l’empresa. Però, com veurem quan tractem aquests altres mètodes, no hem d’oblidar mai que el nostre objectiu últim és maximitzar el valor i que això només s’aconsegueix si com a mínim exigim als nostres projectes una rendibilitat adequada per al nivell de risc que tenen, de manera que, globalment, l’empresa ofereixi una rendibilitat als accionistes igual que la rendibilitat exigida pel fet d’invertir diners en la nostra empresa.

Malgrat totes les seves crítiques, l’ús de la taxa de descompte ajustada per risc és el mètode que més es fa servir a la pràctica. Té un fonament científic, basat en el model d’anàlisi del cost dels recursos, que veurem en el curs de Finançament empresarial, però a més, és intuïtiu.

La idea que cada empresa té un cost del capital i que aquest està directament associat al risc del projecte està molt estesa.

No obstant això, com que aquesta estimació del cost dels recursos no és un paràmetre observable, la bona aplicació del mètode depèn del seny i de l’experiència del valorador.

El professor Faus argumenta que l’empresari acaba fent servir el sentit comú i després d’analitzar el projecte i les alternatives d’inversió al seu abast, acaba raonant: «jo no em ficaria en aquest projecte per menys d’un X%».

Una anècdota del premi Nobel Merton Miller sobre aquest aspecte:

«Encara recordo les mofes de les quals vam ser objecte Markowitz, Sharpe i jo per part dels físics i químics a Estocolm quan vam admetre que el fonament de la nostra investigació, la rendibilitat esperada, no és observable. Nosaltres vam tractar de contraatacar recordant-los que el neutrí, una partícula sense massa, era només una suposició. Però això va ser fa vuit anys. En aquests anys, el neutrí ha estat detectat.»

Miller, M. H. (1999, 2000). «The History of Finance an Eyewitness account». Journal of Portfolio management i Journal of Applied Corporate Finance.

Exemple:

Imaginem que hem d’analitzar si la compra d’una maquinària que permetria augmentar la nostra producció i vendes és viable i, en conseqüència, quines són les nostres possibilitats d’ingressos futurs durant els pròxims deu anys (a partir de llavors, considerem que la maquinària ja seria obsoleta). No substituiríem cap màquina, sinó que doblaríem la capacitat actual de producció.

Sabem el desemborsament inicial associat a la compra de la maquinària i el cost anual de manteniment, però tenim dubtes sobre la capacitat del mercat d’absorbir la nova producció; gran part de l’estratègia es basarà a ampliar mercats i exportar. Ens movem, per tant, en un context de risc. Suposem que les magnituds associades al projecte són les següents:

\begin{array}{l} A = - 10.000 n = 10 \\ E (Q_{1}) = .... E (Q_{j}) = .... E (Q_{n}) = 3.000 \end{array} 5.3

Considerem que el valor més probable dels fluxos de fons futurs serà el mateix en cada període i igual a 3.000. Per simplificar, suposarem que la inversió en NOF és nul·la i que el valor residual de la màquina és nul.

k = 8%

ρ = 2,5%

Es demana:

a) Analitzar la conveniència de la compra de la maquinària segons el criteri del VAN, utilitzant el mètode de la taxa de descompte ajustada al risc.

b) Calcular el tant per cent de disminució del VAN en ajustar la taxa de descompte per la prima de risc.

a) La taxa de descompte ajustada al risc s’eleva al 10,5%

k^* = 8% + 2,5% = 10,5%

VAN = - A + E (Q) [\frac{1 - {(1 + k)}^{- n}}{k}] = - 10.000 + 3.000 [\frac{1 - {(1,105)}^{- 10}}{0,105}] = 8.044,32 5.4

El valor del VAN resultant de descomptar els fluxos de fons utilitzant la taxa de descompte ajustada al risc és de 8.044,32 > 0. Per tant, segons aquest criteri, acceptaríem el projecte.

b) Però, en ajustar la taxa de descompte amb una prima, hem reduït el VAN. En concret, si no ajustéssim la taxa de descompte per la prima de risc, el valor del VAN seria:

VAN = - A + E (Q) [\frac{1 - {(1 + k)}^{- n}}{k}] = - 10.000 + 3.000 [\frac{1 - {(1,08)}^{- 10}}{0,08}] = 10.130,24 5.5

Per tant, el tant per cent de disminució del VAN com a conseqüència d’incorporar el risc en el procés de valoració del projecte seria:

[\frac{8.044,32 - 10.130,24}{8.044,32}] \times 100 = - 25,93 % 5.6

Atès que, com hem dit, el mètode està subjecte al seny, l’experiència i la professionalitat del valorador, i també al nivell de percepció del risc que tingui, acabarem amb alguns consells pràctics:

1) El primer, en el qual ja hem insistit repetidament, és la necessitat de ser coherent a l’hora d’aplicar la taxa de descompte adequada per al flux de fons que utilitzem. Sovint detectem problemes perquè, a partir d’un flux lliure de fons, apliquem una taxa de descompte que exigirien els accionistes de l’empresa, no el cost mitjà ponderat dels recursos. També hem de ser coherents amb el tracte impositiu. Si els nostres fluxos de fons són després d’impostos, la taxa de descompte també haurà de ser després d’impostos.

2) El flux de fons de cada període pot prendre’s com l’estimació més probable o el valor esperat de cada flux. És habitual que l’empresa estimi simplement el flux més probable (el que creu que passarà), ja que el flux de fons esperat requeriria analitzar diferents escenaris de cada flux i assignar una probabilitat d’ocurrència a cada un.

3) Analitzar el grau de risc del projecte: podem utilitzar mètodes com l’anàlisi de sensibilitat, anàlisi d’escenaris o mirar d’estimar la variància del VAN mitjançant eines com Crystall Ball© i altres programes d’anàlisi de projectes específics.

4) Analitzar com afectarà el risc del projecte al risc global de l’empresa: dependrà de la mida del projecte i de la correlació d’aquest amb els altres projectes de l’empresa.

5) Intentar ser tan objectius com puguem a l’hora de determinar el grau d’aversió al risc dels nostres inversors.

6) Buscar referències en el mercat sobre inversions amb un risc equiparable:

Rendibilitat d’altres projectes similars dins de l’empresa.
Rendibilitat d’accions en borsa amb risc similar.
Rendibilitat d’empreses similars dins del sector.

7) El valorador ha d’anar amb compte de no penalitzar el projecte dues vegades per risc, posant un flux de fons molt conservador i una taxa ajustada per risc. El flux de fons per considerar hauria de ser la millor estimació d’allò que pot passar.

8) Sovint s’ha observat que la prima afegida és excessiva, i que penalitza en excés projectes que, d’una altra manera, haurien estat rendibles. Recordem que el cost del capital de l’empresa ja incorpora una prima de risc respecte a la taxa sense risc. Si el projecte es troba en la línia de risc en la qual hi ha la resta de projectes de l’empresa, no s’hauria de penalitzar més.

El raonament de la taxa de descompte ajustada per risc (o millor dit, per incertesa) es basa en l’anàlisi del valor de l’empresa i en la hipòtesi que hi ha una rendibilitat exigida pels recursos que fa servir l’empresa i que aquesta depèn del volum de risc de l’empresa i del grau d’aversió al risc de l’inversor. Un inversor diversificat sentirà menys aversió al risc que un altre de no diversificat, i de la mateixa manera, un inversor que pugui desfer la seva posició en l’empresa en qualsevol moment, tindrà menys risc de liquiditat que un inversor que inverteixi en una empresa no cotitzada. Això ens porta a considerar que el cost dels recursos de les empreses no cotitzades és superior que el de les empreses que cotitzen en borsa.

Lamentablement, la qüestió de l’estimació del cost dels recursos encara no està resolta matemàticament. No ho està, perquè el procés sencer depèn de la subjectivitat del valorador a l’hora de fer l’estimació i del nivell d’aversió al risc que té.

Aquesta subjectivitat és la que ha portat analistes i acadèmics a buscar altres alternatives de valoració que explicitin millor quin és el nivell de risc de l’operació: des de la més senzilla, que és l’anàlisi de sensibilitat, fins a la més complexa, que es basa en simulacions i assignació de funcions de distribució als fluxos.

Cap d’aquests mètodes no es contradiu amb els mètodes que veurem en els apartats següents; de fet, sovint són complementaris i ajudaran l’empresa a delimitar millor el risc dels seus projectes.

3.2.Equivalent cert

De la mateixa manera que el mètode de la taxa ajustada pel risc, aquest mètode també incorpora el risc en el procés de valoració d’inversions, però ara, en comptes de penalitzar el risc amb la taxa de descompte, es penalitza el flux de fons.

És a dir, contràriament al procediment anterior, es basa en l’ajust individualitzat de cada flux de fons segons el risc específic associat a cada un.

El concepte d’equivalent cert es basa un cop més en la teoria de les decisions i la funció de preferències de l’inversor.

Per il·lustrar això, se sol posar l’exemple d’una loteria. Imaginem que ens proposen un joc d’atzar. Si ocorre X guanyarem 1.000 euros, si ocorre Y, n’haurem de pagar 100. Ens deixen jugar només una vegada.

Ara preguntem a l’inversor quina quantitat de diners estaria disposat a acceptar (quantitat segura) per tal de renunciar a la loteria presentada si la probabilitat d’ocurrència de X fos del 80%.

Un inversor que es fixés per les lleis pures de probabilitats, un inversor neutral al risc, pensarà que té una esperança de guanyar 780 euros (0,8 × 1000 + 0,2 × 100), i només renunciaria a la loteria si li paguéssim més de 780 euros; si li paguem menys, considerarà la loteria més atractiva.

Un individu que sent aversió al risc (el denominem inversor A) serà molt sensible al fet que té un 20% de probabilitats de perdre en la loteria i haver de pagar. Començarem oferint-li 300 euros, i ens haurà de dir què prefereix: si la loteria o 300 euros segurs. Si encara prefereix la loteria, li oferirem una mica més i així successivament fins que li sigui igual la loteria o la quantitat segura avui (si en cert moment diu que prefereix els diners ara, li haurem d’oferir una mica menys). Posem que la quantitat que fa indiferent l’inversor A són 500 euros.

Per a l’inversor A, 500 euros és l’equivalent cert d’aquesta loteria, que tenia una esperança matemàtica de 780 euros.

Si ara preguntéssim a un altre inversor, B, podria ser que el seu equivalent cert fos de 350.

Podem observar que B sent més aversió al risc que A; B dóna més pes al risc de perdre 100 euros que no pas A.

Podríem repetir el joc per a diferents distribucions de probabilitat entre X i Y, i continuar preguntant als inversors quina quantitat percebuda avui els resulta indiferent. Acabaríem dibuixant la seva corba de preferències, que relaciona la probabilitat que ocorri X i l’equivalent de certesa. Aquesta corba podria tenir la forma següent:

Figura 1. Funció de preferències de l’equivalent cert

La funció de preferències depèn de l’inversor i de la seva aversió al risc, i també depèn de la loteria presentada, però ens permet il·lustrar de manera gràfica la teoria de l’equivalent cert.

Suposem que els nostres accionistes tenen una funció de preferència com la de l’inversor A. Fixem-nos que:

1) Podríem establir una relació entre l’esperança matemàtica de la loteria i l’equivalent cert. En el cas del nostre inversor, quan la probabilitat de X era del 80% teníem:

α = \frac{E C}{E (L)} = \frac{500}{1000 \times 0,8 - 100 \times 0,2} = \frac{500}{780} = 0,641 5.7

Anomenarem el paràmetre α coeficient d’equivalència certa.

2) α depèn de l’actitud personal davant el risc de l’inversor.

• Si α < 1, l’individu sent aversió al risc. Com menys α, més aversió al risc.

• Si α = 1, l’individu és neutral al risc.

• Si α > 1, l’individu és propens al risc. Com més α, més amant del risc.

3) La loteria la proposàvem avui, però podríem haver considerat que la proposta era d’aquí a un any, i que ens expressessin què preferien rebre d’aquí a un any: 500 euros o jugar a la loteria proposada. Si la loteria es jugués al cap d’un any, per calcular el valor de l’equivalent cert avui, hauríem de descomptar 500 al cost d’oportunitat d’aquest valor cert, és a dir, a la taxa lliure de risc.

El mètode el podem traslladar a la valoració de projectes. Per a diferents fluxos de fons proposats en diferents moments j i diferents probabilitats d’indiferència, podrem trobar el coeficient d’equivalència certa de cada flux de fons j.

Així, seguint la fórmula [6], per trobar l’equivalent cert dels fluxos de fons estimats en cada moment només caldrà multiplicar aquest flux esperat pel seu coeficient de certesa⁽²⁾. Els fluxos de fons esperats seran multiplicats per un coeficient, de manera que la quantia resultant serà igual a l’import equivalent que per al subjecte decisor té aquest flux de fons esperat, però en condicions de certesa. És a dir, aquest flux s’haurà de descomptar a la taxa lliure de risc (K_f). Una vegada establerts els equivalents certs de cada flux de fons, podrem avaluar el projecte d’inversió mitjançant el VAN descomptat a la taxa lliure de risc.

De tal manera que:

(EC)_j = α_jE(Q_j)

I calculem:

VAN = - A + \sum_{j = 1}^{n} \frac{α_{j} E (Q_{j})}{{(1 + k_{f})}^{j}} = - A + \sum_{j = 1}^{n} \frac{(E C_{j})}{{(1 + k_{f})}^{j}} 5.8

Suposem que ens proposen una inversió a dos anys vista (per simplificar els càlculs). La inversió suposa desemborsar avui 1 milió d’euros; s’ha estimat que d’aquí a un any obtindrem un flux de fons de 500.000 euros i que d’aquí a dos recuperarem 800.000 euros. Li proposem a un inversor que analitzi el projecte. Aquest, després d’analitzar el projecte a fons, considera que al primer flux li assignaria un coeficient de certesa de 0,85, i al segon, un de 0,8. Ara podem calcular l’equivalent cert de cada flux i el valor actual de la inversió proposada.

	E(FF_j) (’000)	α_j	EC_j = αj* E(FF_j)	Factor d’actualització 1 / (1 + K_f)^j	VA_j	VAN
A =	–1.000	1	-1.000	1	–1.000,0	0,373
FF₁ =	500	0,85	425	0,96154	408,7
FF₂ =	800	0,8	640	0,92456	591,7

Taxa lliure de risc = 4%

El VAN és de 373 euros, un valor afegit molt petit. Podríem dir que el projecte no crea ni destrueix valor, satisfà la rendibilitat exigida pel nostre inversor i, a falta d’altres alternatives més interessants, s’hauria d’acceptar.

3.2.1.La relació entre la taxa de descompte ajustada per risc i el mètode de l’equivalent cert

Una vegada estudiats separadament els dos procediments principals que inclouen el risc en el càlcul de la rendibilitat associada al projecte (la taxa de descompte ajustada al risc i l’equivalent cert), els compararem.

+0,373 = - 1.000 + \frac{500}{(1 + k^{*})} + \frac{800}{{(1 + k^{*})}^{2}} 5.10

Si aïllem k^*, obtindríem la taxa de descompte ajustada per risc que ha aplicat el nostre inversor al conjunt de la inversió:

k^* = 17,843%

És a dir, l’inversor ha aplicat implícitament una prima de risc del 13,843% per sobre de la taxa sense risc.

Tenint en consideració la valoració que tots dos mètodes efectuen del risc, una primera diferència és que, mentre que la taxa de descompte ajustada al risc valora el risc total associat, en conjunt, al projecte d’inversió i el quantifica en una prima que s’afegeix a la taxa de descompte, l’equivalent cert valora el risc associat de manera individual a cada flux de caixa i el tradueix en un coeficient d’ajust.

L’equivalència entre tots dos mètodes ens permet demostrar que la taxa de descompte ajustada al risc considera que el risc augmenta una taxa constant amb el transcurs del temps. Per contra, el mètode de l’equivalent cert permet atribuir a cada flux de caixa el risc que li correspon, que pot ser constant, creixent o decreixent amb el temps (si bé la situació habitual és que sigui creixent amb el temps).

Si partim de l’expressió que utilitzem per aplicar el mètode de la taxa de descompte ajustada al risc i la multipliquem i dividim per (1 + k_f)^j, obtindrem:

VAN = - A + \sum_{j = 1}^{n} \frac{E (Q_{j})}{{(1 + k^{*})}^{j}} = - A + \sum_{j = 1}^{n} \frac{{(1 + k_{f})}^{j}}{{(1 + k_{f})}^{j}} \frac{E (Q_{j})}{{(1 + k^{*})}^{j}} 5.11

Fixem-nos que podem comparar aquest mètode amb l’equivalent cert i denominem:

α_{j} = \frac{{(1 + k_{f})}^{j}}{{(1 + k^{*})}^{j}} 5.12

Podem establir l’equivalència següent entre el mètode anterior i el de l’equivalent cert:

VAN = - A + \sum_{j = 1}^{n} \frac{E (Q_{j})}{{(1 + k^{*})}^{j}} = - A + \sum_{j = 1}^{n} \frac{α_{j} E (Q_{j})}{{(1 + k_{f})}^{j}} 5.13

Per tant, el coeficient d’ajust implícit en el mètode de la taxa de descompte ajustada al risc és:

α_{j} = {[\frac{(1 + k_{f})}{(1 + k^{*})}]}^{j} 5.14

Un inversor que sent aversió al risc aplicarà una prima positiva a la seva inversió: k^* > k_f

Exemple

En el cas anterior hem establert que:

{VAN}_{EC} = - 1.000 + \frac{500 \times 0,85}{1,04} + \frac{800 \times 0,8}{{1,04}^{2}} = 0,373 milers d'euros 5.9

Podríem mirar quina taxa de descompte hi ha implícita en aquests càlculs:

Cosa que implica que

Per tant:

decreix amb el temps a una taxa constant i igual a

És a dir α₁ > α₂ > ... > α_n

Això és coherent amb el fet que normalment se suposa que els fluxos de fons, com més allunyats en el temps estiguin, més incerts són, motiu pel qual l’inversor els castigarà més.

Alguns autors sostenen que el mètode de l’equivalent cert és superior al de la taxa de descompte ajustada per risc, perquè permet ajustar α_i al nivell de risc de cada flux de fons sense pressuposar que els fluxos de fons futurs són més incerts; no obstant això, l’equivalent cert és un concepte teòric difícil d’aplicar a la pràctica.

Tots dos mètodes es miren el projecte d’una manera diferent. El mètode de la taxa ajustada per risc es mira el projecte i el seu risc de manera global. Mentre que el mètode de l’equivalent cert es mira període a període el risc del flux de fons presentat.

Com hem dit, les crítiques més fortes cap als dos mètodes anteriors es deuen a l’alt grau de subjectivitat al qual estan subjectes a l’hora de calcular el risc i al grau d’aversió al risc de cada individu. Els mètodes següents miren de delimitar millor el concepte de risc del projecte.

3.3.Anàlisi de sensibilitat

L’anàlisi de sensibilitat té com a objectiu principal delimitar el risc de pèrdua del projecte de manera indirecta, avaluant quant han de variar les nostres estimacions perquè el projecte deixi de ser atractiu.

Val la pena destacar que, de fet, el primer mètode d’avaluació indirecta del risc, ja ho hem vist en el mòdul anterior, era el termini de recuperació descomptat del projecte d’inversió. Recordem que el període que transcorre fins que els fluxos de fons permeten recuperar el cost de la inversió lligada a l’adquisició de l’actiu fix es denomina termini de recuperació. Com hem comentat, encara que el termini de recuperació no sigui l’eina decisiva per a ordenar i seleccionar projectes, és una ràtio molt utilitzada en la majoria de valoracions. Davant de dues inversions amb un VAN similar, la direcció prendrà la que tingui un termini de recuperació més baix. Deixant de banda la preferència per la liquiditat de l’empresa, hi ha també el fet que, com més allunyats estiguin els fluxos de fons en el temps, més incertesa tenim sobre la seva realització.

El termini de recuperació és una forma molt basta d’aproximar el factor risc. En aquest apartat, analitzarem altres formes d’aproximar aquest factor i d’incorporar-lo en la nostra anàlisi.

Quan el responsable de la presa de decisions d’inversió té al davant un escenari en el qual totes o algunes de les magnituds que defineixen el projecte d’inversió no poden considerar-se com a certes sinó com a variables aleatòries, té especial interès l’anàlisi de la sensibilitat dels resultats obtinguts utilitzant els criteris més estesos en el càlcul de la rendibilitat d’un projecte d’inversió: el VAN i la TIR.

L’anàlisi de sensibilitat respon a la següent pregunta: quant ha de variar X perquè la inversió deixi de ser atractiva?, essent X alguna de les magnituds que defineixen el projecte d’inversió (desemborsament inicial, fluxos de fons o taxa de descompte). Per exemple, quin és l’escenari de vendes que fa que el VAN de la inversió sigui nul? Quin és el preu màxim que podríem pagar per un actiu? O, el que és el mateix, a quin nivell de vendes la TIR és igual a la rendibilitat exigida a la inversió?

L’estudi de l’anàlisi de sensibilitat introdueix indirectament el factor risc a l’anàlisi. L’objectiu últim és obtenir una aproximació del grau de confiança que podem concedir a les rendibilitats obtingudes. Si, per exemple, una caiguda del 10% de les vendes invalida el projecte, tenim un marge d’actuació molt petit, ja que el projecte és molt sensible a l’acceptació del nostre producte en el mercat. En canvi, si la caiguda de les vendes que anul·la el valor afegit per al projecte fos del 50%, dormiríem més tranquils.

Hem dit que era un mètode que no explicitava l’assignació de probabilitats, però sí que ho fa de manera indirecta: una vegada obtingut el resultat de les diferents variables, s’haurà d’estimar com a probable que aquest escenari es compleixi. Si creiem que amb un 50% de probabilitat les vendes podran estar per sota del límit que marca el punt mort del VAN, possiblement no farem el projecte; en canvi, si confiem que les vendes, amb un 80% de probabilitats, seran més grans que el punt mort, segons el nostre grau d’aversió al risc decidirem fer la inversió o no.

Tot seguit, desenvoluparem la manera de fer una anàlisi de sensibilitat (sense utilitzar probabilitats) de la decisió òptima adoptada partint del criteri del VAN (la mateixa metodologia seria extrapolable per al cas de la TIR i, per això, deixem que l’estudiant en faci l’exercici de desenvolupament).

Segons el criteri del VAN, una inversió resulta rendible i, per tant, l’analista haurà d’acceptar-la si el valor d’aquesta variable és positiu. Com ja s’ha estudiat en el mòdul 4, el valor del VAN és donat per l’expressió següent:

VAN = - A + \sum_{j = 1}^{n} \frac{Q_{j}}{{(1 + k)}^{j}} = - A + \sum_{j = 1}^{n} \frac{C_{j} - P_{j}}{{(1 + k)}^{j}} 5.15

El flux de fons Qj és la nostra millor estimació del flux de fons net com a diferència entre el corrent de cobraments i pagaments en un moment j qualsevol.

Tanmateix, sempre que treballem amb estimacions pot passar que els valors reals (a posteriori) difereixin dels valors estimats. Si això és així, la decisió que hàgim considerat com a òptima prenent com a base els valors estimats pot resultar errònia. Per tant, la decisió d’«acceptar» o «rebutjar» un projecte d’inversió, atès que sempre s’ha d’adoptar prenent com a base valors estimats, conté un cert grau de risc, que es deu al possible error en les estimacions.

Ara bé, la variació de cada una de les magnituds anteriors respecte al valor estimat no afecta igual el valor del VAN. L’anàlisi de sensibilitat té precisament com a objectiu analitzar dins de quin interval pot variar cada una de les diferents magnituds que influeixen en el valor del VAN (suposant que la resta de magnituds continuen constants) sense que canviï de signe. En el cas concret que el valor esperat del VAN fos positiu, ens preguntaríem: dins de quin interval pot variar cada una de les diferents magnituds perquè el VAN continuï essent positiu?

Per entendre millor l’anàlisi de la sensibilitat del VAN davant de variacions de les magnituds que l’integren, il·lustrarem l’explicació amb un exemple.

Suposem una inversió que requereix un desemborsament inicial de 30.000 u. m. i que és definida pels fluxos de fons estimats següents:

Any 0	Any 1	Any 2	Any 3
–30.000	16.000	9.000	20.000

La taxa de descompte que es considera adequada per actualitzar els fluxos de fons és k = 8%.

El VAN d’aquesta inversió serà igual a:

VAN = - 30.000 + \frac{16.000}{(1,08)} + \frac{9.000}{{(1,08)}^{2}} + \frac{20.000}{{(1,08)}^{3}} = 8.407,51 5.16

Fixem-nos que el VAN és positiu i, consegüentment, seria interessant fer la inversió.

Analitzarem, a continuació, en quina mesura poden variar algunes de les magnituds que influeixen en el valor del VAN⁽³⁾ de tal manera que el valor d’aquest continuï essent positiu. Així, analitzarem consecutivament:

a) en quina mesura pot variar A,

b) en quina mesura pot variar Q_j, i

c) en quina mesura pot variar k.

a) Variació de A

A partir de l’equació del VAN:

VAN = - A + \sum_{j = 1}^{n} \frac{Q_{j}}{{(1 + k)}^{j}} 5.17

podem deduir fàcilment que, perquè el valor del VAN continuï essent positiu, el valor de A hauria de satisfer:

A < \sum_{j = 1}^{n} \frac{Q_{j}}{{(1 + k)}^{j}} 5.18

En el nostre exemple, tindrem:

A < [\frac{16.000}{(1,08)} + \frac{9.000}{{(1,08)}^{2}} + \frac{20.000}{{(1,08)}^{3}} = 38.407,51] 5.19

Per tant, la decisió continuarà essent acceptar el projecte sempre que, encara que A variï, ho faci dins de l’interval [0; 38.407,51].

Fixem-nos que 38.407,51 no és altra cosa que la inversió inicial més el VAN trobat anteriorment.

b) Variació d’Q_j

En aquest cas, també a partir de l’equació del VAN podem deduir que, perquè sigui positiu, el valor d’Q_j haurà de complir:

Q_{j} > [A - \frac{Q_{1}}{(1 + k)} - \frac{Q_{2}}{{(1 + k)}^{2}} - ... - \frac{Q_{j - 1}}{{(1 + k)}^{j - 1}} - \frac{Q_{j + 1}}{{(1 + k)}^{j + 1}} - ... - \frac{Q_{n}}{{(1 + k)}^{n}}] \cdot {(1 + k)}^{j} 5.20

Per obtenir aquesta expressió, només cal igualar l’expressió del VAN a zero i aïllar Q_j.

Si apliquem la relació anterior al nostre exemple, i per al cas de j = 2, resultarà que:

Q_{2} > [30.000 - \frac{16.000}{(1,08)} - \frac{20.000}{{(1,08)}^{3}}] \cdot {(1,08)}^{2} = - 806,52 5.21

El resultat anterior ens indica que la decisió d’acceptar la inversió continuarà essent l’òptima encara que Q2 variï, sempre que ho faci dins de l’interval [-806,52; ∞].

c) Variació de k

En aquest cas, com que el VAN és una funció decreixent de k, la taxa de descompte que anul·la l’expressió del VAN (la TIR del projecte) serà la taxa de descompte llindar entre acceptar i rebutjar. Si k supera aquesta taxa fronterera, la decisió d’acceptar la inversió deixarà de ser l’òptima. En el nostre exemple, la taxa de descompte llindar serà determinada per l’equació:

VAN = 30.000 - \frac{16.000}{(1 + k)} + \frac{9.000}{{(1 + k)}^{2}} + \frac{20.000}{{(1 + k)}^{3}} = 0 5.22

La taxa de descompte que iguala a zero l’equació del VAN és k = 22,37%. Noteu que aquesta taxa no és res més que la TIR del projecte.

Per tant, mentre k (la TIR) es mantingui dins de l’interval [0,08; 0,2237], la decisió d’acceptar la inversió continuarà essent l’òptima.

⁽³⁾A la pràctica, la magnitud que l’analista coneixerà amb més probabilitat és el desemborsament inicial. De fet, hi ha motius per tenir un grau alt de confiança en la seva estimació, ja que es pot suposar que la majoria d’elements que en formen part són coneguts. No obstant això, analitzarem també fins a quina quantia seria possible que variés sense que es veiés modificada la decisió d’acceptació del projecte.

L’anàlisi de sensibilitat pot fer-se analitzant directament el flux de fons resultant del total de cobraments i pagaments, però adquireix el sentit màxim si el relacionem amb variables clau del projecte. Es tractaria de donar resposta a preguntes del tipus: quant poden baixar les vendes sense que perdem diners amb la inversió? Com és de sensible el projecte a les hipòtesis que hem fet sobre els costos?

Per poder fer aquest tipus d’estimacions, cal disposar d’un full de càlcul amb totes les dades detallades de la nostra estimació. En el mòdul 3, hem remarcat que havíem de parametritzar el màxim possible el nostre model de previsió financera amb la finalitat de fer una anàlisi de sensibilitat. És a dir, hem de vincular les cel·les entre si segons les hipòtesis de partida. Gràcies a funcions com «cercar objectiu», «solucionador» o les «taules de dades», podrem fer una bona anàlisi de sensibilitat. Vegem algunes d’aquestes eines mitjançant un exemple pràctic.

El director financer d’Indústries Ramis està valorant un projecte d’inversió nou que després de ser analitzat pels diferents departaments, presenta els fluxos de fons següents:

Indústries Ramis viu en un món sense inflació i per a aquest projecte, preveu unes vendes de 500.000 euros, un marge brut del 50% i uns costos fixos d’explotació de 210.000 euros.

La maquinària necessària per desenvolupar el projecte costarà 70.000 euros i s’amortitzarà en 8 anys (màxim permès fiscalment). La vida útil del projecte és de 5 anys i estima que podrà vendre la maquinària al final del període per uns 20.000 euros, amb la qual cosa hi haurà una petita pèrdua en termes fiscals (el preu de venda és inferior al valor net de l’actiu) que implicarà un estalvi d’impostos en el moment de la venda.

Aplicant la taxa de descompte del 10% habitual en els projectes d’inversió, i que és representativa del cost mitjà dels seus recursos, el projecte genera un valor de 48.303 euros i una TIR de 24,7%. No obstant això, vol tenir una mica més d’informació sobre el risc d’aquest projecte.

Com que, en el seu full de càlcul, els costos variables estan referenciats en les vendes, l’amortització en la inversió inicial i els impostos en el benefici d’explotació, i l’estalvi d’impostos previst per la pèrdua en la venda de l’actiu fix (valor de venda inferior al valor net comptable), podrem utilitzar el nostre full de càlcul per fer una anàlisi de sensibilitat.

Ara, mitjançant la funció «buscar objectius», podem fer que les diferents variables de la nostra anàlisi variïn per tal d’ajustar el VAN a zero. Anirem anotant els resultats en una taula i analitzant les variacions resultants.

Figura 2. Exemple funció Excel «buscar objectius»

En l’exemple que hem presentat, a priori el projecte era molt rendible, amb un VAN de 48.303 euros. No obstant això, el valor afegit del projecte és força sensible a les variacions de les vendes i dels costos. Ens haurem de preguntar quina probabilitat hi ha que les vendes se situïn per sota de 462.959 euros? És possible que augmenti la proporció de costos variables per sobre de 53,6%? Poden augmentar un 8,7% els costos fixos?

Aquest mètode d’anàlisi reflecteix també el grau de palanquejament operatiu del projecte. Podrem comprovar que si canviem la proporció de costos variables i fixos, de manera que els costos variables suposin el 75% de les vendes i els costos fixos siguin només de 85.000 euros, les vendes podrien baixar un 15% sense que el projecte passi a ser econòmicament no rendible.

Una de les discussions acadèmiques no resoltes és determinar en quina taxa hem de fer l’anàlisi de sensibilitat. Si la fem en el cost dels recursos, aquesta taxa ja pressuposa que els fluxos variaran al llarg del temps. Per això, molts consideren que l’anàlisi de sensibilitat s’hauria de fer en la taxa sense risc, per tal de no prejutjar el risc del projecte per endavant i no penalitzar en excés en cas que el projecte sigui poc arriscat. En el cas anterior, si descomptem en la taxa sense risc, el marge de confiança augmenta i les vendes poden caure fins a un 10% sense que tinguem una pèrdua econòmica.

Una altra manera de fer l’anàlisi de sensibilitat amb l’Excel és mitjançant les taules. Suposem que volem analitzar la sensibilitat del VAN a les vendes i a la taxa de descompte. Per a això, dins del mateix full de càlcul anterior, dibuixarem una taula com la que es presenta en la figura següent. En el requadre superior dret, hem de vincular la cel·la que conté la fórmula del valor actual net. En les files superiors, posarem diferents estimacions de les vendes. En la columna esquerra, posarem diferents taxes de descompte.

Ara marcarem la totalitat de la taula i anirem al menú «Dades» i seleccionem «taula» (a l’Office 2007/8 tornarem a trobar aquesta opció en la icona «anàlisi i si?..»). Se’ns obrirà una finestra que ens demana quina cel·la és la cel·la de referència que haurem de canviar per les dades que tenim en les files (en el nostre cas, vincularem la cel·la del nostre full de càlcul que conté la primera estimació de vendes), i quina cel·la conté el valor que haurem de canviar per les dades reflectides en les columnes (vincularem la cel·la que ens marca la taxa de descompte que cal aplicar en el càlcul del VAN).

Figura 3. Exemple de funció Excel «taula de dades»

Quan ho acceptem, se’ns calcularà el VAN per a les diferents combinacions de vendes i taxa de descompte:

Aquest tipus d’eines ens permeten alhora analitzar com varia el valor en variar la taxa de descompte. Si considerem que el projecte és molt arriscat perquè admet poca variabilitat en les vendes, podem veure què passaria si per a la nostra millor estimació (500.000) augmentem la taxa de descompte al 20%. Com era d’esperar, per sobre del 24% (la TIR del projecte era 24,7%) el projecte deixa de ser rendible econòmicament. Però per a nivells inferiors de vendes, la TIR baixa sensiblement (el VAN s’anul·la a una taxa inferior).

Si fem una valoració de l’anàlisi de sensibilitat com a mètode d’anàlisi d’inversions, hem d’assenyalar que, a causa de la seva senzillesa (els resultats s’obtenen de manera molt fàcil utilitzant un simple full de càlcul), té molta acceptació i és molt utilitzada per part dels responsables financers. A més, la informació que aporta és tremendament útil. De fet, ens indica quin és el llindar màxim fins al qual poden modificar-se les diferents magnituds que influeixen en la rendibilitat del projecte perquè la decisió d’acceptar el projecte que l’analista pren no canviï.

L’anàlisi de sensibilitat és important per a la gestió del risc d’un projecte, ja que permet identificar els riscos principals del projecte.

Si decidim tirar endavant el projecte, saber els principals riscos que té serà molt útil: podrem monitoritzar-los, plantejar accions de cobertura per pal·liar-los o limitar-los, i desenvolupar plans de contingència per salvar el projecte si el risc latent arriba a emergir.

El mètode ajuda a avaluar el nivell del risc; encara que sigui de manera subjectiva, podrem expressar quina probabilitat hi ha que les vendes baixin per sota del mínim que anul·la el valor del projecte. Si creiem que la probabilitat és elevada, considerarem que el projecte és de risc alt.

No obstant això, també té una deficiència important. Es tracta del fet que analitza aïlladament l’efecte que la variabilitat de cada variable té sobre la rendibilitat del projecte d’inversió i, a la pràctica, les variables rellevants d’un projecte d’inversió solen estar estretament relacionades. Si les vendes disminueixen, pot ser que sigui per una baixada de preus del nostre producte o per una reducció de les unitats venudes. Si el que cau són les unitats venudes, els nostres costos variables seran més baixos. Però si el que cau és el preu de venda, els costos podrien no variar. D’altra banda, si les nostres vendes són inferiors a les previstes, podem optar per deixar estar el projecte o per prendre mesures correctores per solucionar-lo.

Una anàlisi més profunda ens porta a l’anàlisi d’escenaris.

3.4.Anàlisi d’escenaris

L’anàlisi d’escenaris permet als directius analitzar combinacions de variables diferents, però coherents. A més, també resulta molt útil per als encarregats de les estimacions dels fluxos de fons, que preferiran oferir unes estimacions partint d’un escenari particular, en lloc d’un sol valor.

L’anàlisi d’escenaris pot fer-se amb la finalitat de quantificar un risc, responent a la pregunta: com es veurà afectada la rendibilitat del projecte si...?

També pot plantejar-se com a tres possibles escenaris: optimista, més probable i pessimista, i assignant probabilitats d’ocurrència als diferents escenaris podrem calcular el VAN mitjà del projecte.

Posem un exemple.

Indústries Martí

El director financer d’Indústries Martí ha avaluat tres escenaris: un d’optimista, un de realista i un altre de pessimista. Atorga una probabilitat d’ocurrència del 15% al primer, del 70% al segon i del 15% al tercer. El resultat dels diferents escenaris és:

	Optimista	Més probable	Pessimista
Probabilitat	15%	70%	15%
A	–100.000	–100.000	–105.000
FF1	30.625	30.625	16.625
FF2	32.025	30.625	16.625
FF3	33.201	30.625	16.625
FF4	34.118	30.625	16.625
FF5	99.993	82.500	80.100

	Optimista	Més probable	Pessimista	Global
VAN (10%)	64.643,46 €	48.303,14 €	–2.565,19 €	43.123,94 €
TIR	28,47%	24,73%	9,26%	22,91%

El valor actual net i la TIR de cada escenari descomptat al cost exigit pels recursos de l’empresa és:

Com que ha estimat les probabilitats de cada escenari, podrà estimar el VAN i la TIR esperats segons les previsions que ha fet.

VAN(E) = \sum_{i = 1}^{m} VAN p_{i} = 64.643,46 \times 0,15 + 48.303,14 \times 0,70 - 2565,19 \times 0,15 = 43.123,94 5.23

Amb la TIR no es compleix que:

TIR = \sum_{i = 1}^{m} {TIR}_{i} P_{i} 5.24

Sinó que hem de calcular el flux de fons esperat de cada període i la TIR d’aquests:

0 = - A + \sum_{i = 1}^{n} \frac{E (Q_{i})}{{(1 + TIR)}^{i}_{i}} = - 100.750 + \frac{28.525}{{(1 + TIR)}^{1}} + \frac{28.735}{{(1 + TIR)}^{2}} + \frac{28.911,4}{{(1 + TIR)}^{3}} + \frac{29.049}{{(1 + TIR)}^{4}} + \frac{84.764}{{(1 + TIR)}^{5}} 5.25

Resolent amb el full de càlcul, trobem:

TIR = 22,91%

Les crítiques que sol tenir aquest mètode és que delimita els escenaris a optimista, realista i pessimista, quan el ventall de possibilitats és molt més gran. A més, el concepte d’optimista i pessimista també és molt subjectiu, i també l’assignació de probabilitats a cada escenari d’ocurrència. El tercer problema és suposar que tots els fluxos de fons tenen la mateixa distribució de probabilitats. Aquest últim inconvenient ens porta a l’últim mètode.

3.5.El VAN esperat i la TIR esperada

En l’apartat anterior, hem considerat que podem associar una probabilitat única a cada escenari. Però no seria més correcte intentar estimar l’esperança matemàtica de cada flux de fons?

Quan parlàvem del mètode de l’ajust de la taxa de descompte, havíem dit que el flux de fons que calia considerar en cada període podria calcular-se com el flux de fons més probable o com el flux de fons esperat en cada moment. Aquesta última possibilitat ens porta al criteri que sovint s’ha anomenat VAN esperat o VAN(E) i TIR esperada o TIR(E).

VAN(E) = - A + \sum_{j = 1}^{n} \frac{E (Q_{j})}{{(1 + k)}^{j}} 5.26

Essent:

E (Q_{j}) = \sum_{i = 1}^{m} Q_{i j} P (Q_{j i}) 5.27

i = 1 ... m = estats de la naturalesa.

En el cas particular en el qual P(Q_i) = constant per a tot _j, és a dir, que la probabilitat d’ocurrència d’un estat de la naturalesa és constant al llarg de la vida del projecte:

P(Q₁_i) = P(Q₂_i) = …… = P(Q_ni) = P_i

es complirà que podríem calcular el VAN de cada escenari i ponderar-lo per la seva probabilitat d’ocurrència per trobar el VAN esperat o calcular l’esperança de cada flux, i aplicar sobre aquesta el mètode del VAN:

VAN(E) = - A + \sum_{j = 1}^{n} \frac{E (Q_{j})}{{(1 + k)}^{j}} = \sum_{j = 1}^{m} {VAN}_{i} P_{i} = \sum_{i = 1}^{n} [- A + \sum_{j = 1}^{n} \frac{E (Q_{j i})}{{(1 + k)}^{j}}] P_{i} 5.28

D’altra banda, definirem l’esperança de la TIR o la TIR esperada, TIR(E), com la taxa de descompte que iguala la suma del valor actualitzat dels fluxos de fons esperats associats a un projecte d’inversió a zero.

- A + \sum_{j = 1}^{n} \frac{E (Q_{j})}{{(1 + TIR(E))}^{j}} = 0 5.29

Una vegada calculats el VAN(E) o la TIR(E) del projecte, la manera de procedir per establir la conveniència o no d’acceptar un projecte d’inversió serà la mateixa que en condicions de certesa.

Si VAN(E) > 0 ⇒ TIR(E) > k ⇒ s’acceptaria el projecte.

Si VAN(E) = 0 ⇒ TIR(E) = k ⇒ el projecte és indiferent.

Si VAN(E) < 0 ⇒ TIR(E) < k ⇒ es rebutjaria el projecte.

Tornem a tenir un problema a l’hora de considerar la taxa de descompte. Alguns autors defensen que la taxa de descompte que caldria aplicar hauria de ser la taxa lliure de risc, però aquest mètode no ens dóna cap mesura del risc, per la qual cosa, si descomptem la taxa lliure de risc, podríem trobar-nos aprovant projectes que no remuneren adequadament els inversors de l’empresa.

La taxa de descompte que caldria aplicar hauria de ser la taxa de descompte adequada per al nivell de risc que comporti aquest projecte per a l’empresa, tenint en compte les recomanacions que hem fet en l’apartat 3.1. Analitzar les probabilitats d’ocurrència ens ajudarà a delimitar millor el nivell de risc de l’empresa i comparar-lo amb el risc que té l’empresa globalment; és a dir, el mètode ajuda a delimitar el risc del projecte. Però primer hem d’assegurar-nos que el projecte crea valor per als accionistes, i això només ho aconseguirem si descomptem la taxa de descompte apropiada.

És a dir, si descomptem la taxa lliure de risc, no podem calibrar si el projecte crea valor per als accionistes o el destrueix.

Suposem una inversió amb un cost inicial de 10.000 u. m., un cost del capital del 10% i els fluxos de fons anuals que mostra la taula (en milers d’euros):

Any 1		Any 2		Any 3
Flux de fons	Probabilitat	Flux de fons	Probabilitat	Flux de fons	Probabilitat
3	0,1	2	0,1	2	0,1
4	0,25	3	0,25	3	0,25
5	0,3	4	0,3	4	0,3
6	0,25	5	0,25	5	0,25
7	0,1	6	0,1	6	0,1

Es demana trobar la conveniència de fer el projecte partint del VAN(E) i la TIR(E).

En aquest exemple, s’observa que Pi = constant.

P(Q₁₁) = P(Q₂₁) = P(Q₃₁) = 0,1

P(Q₁₂) = P(Q₂₂) = P(Q₃₂) = 0,25

P(Q₁₃) = P(Q₂₃) = P(Q₃₃) = 0,3

P(Q₁₄) = P(Q₂₄) = P(Q₃₄) = 0,25

Per tant, podrem calcular el VAN de les dues maneres:

a) Com el valor actual dels fluxos de fons esperats:

VAN (E) = - A + \sum_{j = 1}^{n} \frac{E (Q_{j})}{{(1 + k)}^{j}} 5.30

Essent:

E (Q_{j}) = \sum_{i = 1}^{m} Q_{i j} P (Q_{j i}) 5.31

i = 1 ... m = estats de la naturalesa

E(Q₁) = 3 × 0,1 + 4 × 0,25 + 5 × 0,3 + 6 × 0,25 + 7 × 0,1 = 5

E(Q₂ ) = 2 × 0,1 + 3 × 0,25 + 4 × 0,3 + 5 × 0,25 + 6 × 0,1 = 4

E(Q₃ ) = 2 × 0,1 + 3 × 0,25 + 4 × 0,3 + 5 × 0,25 + 6 × 0,1 = 4

VAN (E) = - 10 + \frac{5}{(1,1)} + \frac{4}{{(1,1)}^{2}} + \frac{4}{{(1,1)}^{3}} = 0,8564 > 0 5.32

Com que el VAN és positiu, la decisió seria acceptar el projecte.

b) Com el valor ponderat dels valors actuals nets esperats:

VAN (E) = - A + \sum_{j = 1}^{n} \frac{E (Q_{j})}{{(1 + k)}^{j}} 5.33

VAN(E) = \sum_{i = 1}^{m} {VAN}_{i} P_{i} = \sum_{i = 1}^{m} [- A + \sum_{j = 1}^{n} \frac{E (Q_{j i})}{{(1 + k)}^{j}}] P_{i} 5.34

{VAN}_{1} = - 10 + \frac{3}{(1,1)} + \frac{2}{{(1,1)}^{2}} + \frac{2}{{(1,1)}^{3}} = - 4,117 5.35

{VAN}_{2} = - 10 + \frac{4}{(1,1)} + \frac{3}{{(1,1)}^{2}} + \frac{3}{{(1,1)}^{3}} = - 1,630 5.36

{VAN}_{3} = - 10 + \frac{5}{(1,1)} + \frac{4}{{(1,1)}^{2}} + \frac{4}{{(1,1)}^{3}} = 0,856 5.37

{VAN}_{4} = - 10 + \frac{6}{(1,1)} + \frac{5}{{(1,1)}^{2}} + \frac{5}{{(1,1)}^{3}} = 3,343 5.38

{VAN}_{5} = - 10 + \frac{7}{(1,1)} + \frac{6}{{(1,1)}^{2}} + \frac{6}{{(1,1)}^{3}} = 5,830 5.39

VAN(E) = \sum_{i = 1}^{m} {VAN}_{i} P_{i} = {VAN}_{1} \times P_{1} + {VAN}_{2} \times P_{2} + {VAN}_{3} \times P_{3} + {VAN}_{4} \times P_{4} + {VAN}_{5} \times P_{5} 5.40

VAN(E) = 4,117 \times 0,1 - 1,630 \times 0,25 + 0,856 \times 0,3 + 3,343 \times 0,25 + 5,830 \times 0,1 = 0,8564 > 0 5.41

Fixem-nos que el valor calculat per al VAN és el mateix que en l’apartat a).

D’altra banda, calcularem la TIR(E) de la manera següent:

- 10 + \frac{5}{(1 + TIR(E))} + \frac{4}{{(1 + TIR(E))}^{2}} + \frac{4}{{(1 + TIR(E))}^{3}} = 0 5.42

Obtenim que la TIR(E) = 15%, que és més gran que el cost mitjà ponderat del capital (10%) i, en conseqüència, la decisió seria que acceptem el projecte.

3.6.Arbres de decisió

Finalment, analitzarem dins d’aquest apartat un mètode d’anàlisi molt útil en el cas de les anomenades inversions seqüencials. Aquest tipus d’inversions són les que tenen les característiques següents:

Primer, s’analitzen al llarg d’un període complet de planificació i no només al començament.
I segon, les decisions d’inversió o els estats de la naturalesa estan connectats en el temps. És en aquest context quan té importància l’aplicació del procediment basat en els «arbres de decisió».

Abans d’explicar com es defineixen i es fan servir els arbres de decisió, és oportú assenyalar que, quan parlem d’estats de la naturalesa o decisions d’inversió connectats en el temps, parlem de situacions en les quals hi ha o bé un risc compost o bé un risc contingent.

En aquest sentit, una situació es denomina de risc simple si pot conduir a diferents resultats, depenent de quin, dins d’un conjunt d’esdeveniments incerts mútuament excloents, té lloc en realitat. D’altra banda, una situació es denomina de risc compost si pot conduir a diferents resultats i cada un dóna lloc a nous nusos d’esdeveniments (els estats de la naturalesa al llarg dels diferents períodes estan connectats entre ells).

Finalment, en l’anàlisi d’inversions denominarem contingent tot risc, simple o compost, que només es produeix si després d’haver iniciat el projecte, i per tant d’haver pres ja la decisió d’invertir, es pren més tard, i tenint en compte determinats esdeveniments, una altra decisió que pot canviar els riscos assumits (les decisions d’inversió són seqüencials o estan connectades entre elles). Per exemple, moltes inversions es posen en marxa per fases, i només s’inverteix en la segona fase si els resultats de la primera han estat favorables.

Els arbres de decisió sempre poden utilitzar-se com a eina d’anàlisi, fins i tot quan només hi ha un risc simple, però, de fet, quan està justificat que es facin servir i quan aporten claredat a l’anàlisi del projecte és en cas d’inversions seqüencials (riscos contingents) o riscos compostos.

Addicionalment, els arbres de decisió també resulten tremendament útils per prendre decisions quan el projecte per avaluar contempla alternatives on en un futur, en funció del que hagi passat, es pot prendre una decisió. Aquestes decisions futures són difícils d’incloure en el flux de fons tradicional i es poden analitzar mitjançant el que es coneix com a opcions reals.

Amb relació als arbres de decisió, podem dir que no constitueixen una aportació teòrica, sinó que només són una aportació formal (un instrument) en l’avaluació/selecció de projectes d’inversió en context de risc. Es tradueixen en una representació gràfica que serveix per visualitzar de manera global els diferents resultats que pot obtenir l’inversor segons l’alternativa escollida i l’estat que presenti l’entorn econòmic. Els components que integren un arbre de decisió són els nusos (decisionals, aleatoris o finals) i els arcs o branques.

Els nusos decisionals (□) són l’origen de branques que es corresponen amb decisions de l’inversor i són representats per un quadrat.
Els nusos aleatoris (○) són l’origen de branques que es corresponen amb estats de la naturalesa o de l’entorn econòmic i són representats per un cercle.
Els nusos finals (Δ) reflecteixen el resultat obtingut després de seguir cada una de les possibles combinacions (alternatives d’inversió – estats de la naturalesa), i són representats per un triangle.

D’altra banda, els arcs o branques uneixen dos nusos o punts i poden representar tant una alternativa d’inversió com un estat de la naturalesa.

En fer una anàlisi basada en arbres de decisió, la seqüència òptima es tria analitzant l’arbre des del final fins al principi, i per a això s’hauran de seguir els passos següents:

1) Representació gràfica del problema.

2) Estimació dels rendiments corresponents a cada una de les alternatives representades per nusos finals (Δ).

3) Assignació d’una probabilitat a cada un dels estats de la naturalesa (estaran representats per una branca).

4) Estimació del VAN(E) corresponent als nusos aleatoris (○). És a dir, càlcul de l’esperança del VAN de cada una de les branques que conflueixen al nus aleatori.

5) Estimació del VAN corresponent als nusos decisionals (□). Es triarà el VAN superior entre els associats a cada una de les branques que conflueixen en el nus decisional.

Tenim un projecte seqüencial d’inversió en el qual es consideren tres alternatives: construir directament una fàbrica per produir una mercaderia determinada; fer prèviament una investigació de mercat sobre el possible èxit o fracàs de la mercaderia per, segons el resultat de la investigació, construir la fàbrica o deixar de banda el projecte; i directament deixar de banda el projecte. Sense investigació de mercat, la probabilitat d’èxit en la decisió de construir la fàbrica s’estima en un 50%, amb un VAN de 400 u. m., i la de fracàs també en un 50%, amb un VAN de –400 u. m. S’admet que la investigació de mercat assenyali un 50% de probabilitat d’èxit i un altre 50% de probabilitat de fracàs, amb un 90% de probabilitats d’encertar en la predicció del resultat de la inversió. Fer la investigació de mercat durarà poques setmanes, i considerarem, doncs, que no afectarà els VAN. Si el cost de la investigació és de 100 u. m., es demana:

a) Construir l’arbre de decisió corresponent.

b) Determinar les probabilitats associades a cada branca de l’arbre.

c) Calcular l’esperança de la variable aleatòria VAN associada a cada punt aleatori.

Conclusió: la decisió òptima és fer la investigació de mercat.

Nus aleatori 1: construir la fàbrica.

VAN(E) = 0

Nus aleatori 2: fer investigació de mercat.

VAN(E) = 300 × 0,45(0,5 × 0,9) – 500 × 0,05(0,5 × 0,1) – 100 × 0,45(0,5 × 0,9) – 500 × 0,05(0,5 × 0,1) = 40

Nus aleatori 3: fer investigació de mercat, el resultat de la qual sigui èxit.

VAN(E) = 300 × 0,9 – 100 × 0,1 = 220

Nus aleatori 4: fer investigació de mercat, el resultat de la qual sigui fracàs.

VAN(E) = –100 × 0,9 – 500 × 0,1 = –140

Fixem-nos que si l’estudi ja s’hagués fet, tots els VAN del nus aleatori 2 serien 100 u. m. superiors, atès que el cost de l’estudi seria un cost soterrat, no recuperable. A més, el nus aleatori 4 tindria un valor de zero, ja que si l’estudi ens ha dit que el projecte serà un fracàs, no el faríem i no incorreríem en més costos.

Però aquí el que volem saber és si «val la pena fer l’estudi». Tenim dues grans alternatives: ignorar-lo i llençar-nos al mercat amb el nou projecte, o demanar una investigació de mercat que costarà 100 u. m. Aquesta segona alternativa augmenta la nostra inversió inicial i per tant, redueix el VAN de tots els nusos finals en 100 u. m., però a més, pot ser que l’estudi ens aconselli no fer el projecte i estigui equivocat (amb una probabilitat del 10%). Si l’estudi anava errat i no hem fet el projecte, haurem deixat de guanyar 400 u. m. i, a més, ens haurem gastat 100 u. m., és a dir, el cost d’oportunitat d’aquest darrer escenari és de –500 u. m.

Conclusions de l’exercici

La decisió òptima en aquest cas és fer la investigació de mercat. El VAN d’aquesta opció té un valor de 40 respecte a un VAN = 0 de l’opció de construir directament sense fer cap anàlisi prèvia.

Exemple

Per exemple:

a) opció de fer inversions continuades si el projecte d’inversió anterior va ser un èxit,

b) opció de deixar de banda un projecte, o

c) opció d’esperar (i aprendre) abans d’invertir.

Resum

En aquest mòdul, hem aprofundit en un element molt rellevant per a la presa de decisions: el concepte risc de l’operació.

Hem vist que sovint es parla de risc i incertesa com a sinònims, si bé són diferents: el risc és teòricament quantificable (mitjançant l’observació de les probabilitats objectives associades a un esdeveniment) i la incertesa, no. No obstant això, la possibilitat d’assignar probabilitats subjectives permet que puguem tractar situacions d’incertesa fent servir eines similars a les que utilitzem per analitzar riscos.

El segon element que cal tenir en compte és que si bé el risc o la incertesa es mesuren mitjançant la variabilitat del resultat esperat (la variància), la part del risc que ens preocupa a l’hora d’avaluar un projecte és la probabilitat que el projecte acabi destruint valor en termes econòmics (no satisfent la rendibilitat exigida).

Finalment, el tercer element important que cal tenir en compte, en el moment d’avaluar una operació arriscada, és que diferents individus tenen una percepció del risc diferent. Hem vist que hi ha individus que senten més aversió al risc que d’altres, i el seu grau d’aversió marcarà la preferència que tingui per les inversions. És a dir, la percepció del risc que té el responsable financer no només depèn de factors externs (més o menys objectius), sinó també de factors interns: de la seva mateixa actitud personal davant el risc. Una vegada més, hem deixat constància que les decisions financeres que prenen les empreses no provenen d’un asèptic programa informàtic, sinó que són el fruit de les reflexions que prenen persones. En conseqüència, davant del mateix escenari, la decisió per la qual finalment es decantarà una empresa serà l’una o l’altra segons la percepció i la sensació personal d’exposició al risc del responsable que l’ha de prendre.

Hem començat analitzant el mètode més utilitzat, que és el descompte de fluxos de fons ajustant la taxa de descompte per risc. Hem tornat a remarcar els errors que sovint es cometen en fer aquesta anàlisi. La persona que aplica aquest mètode ha de ser conscient dels fluxos que està utilitzant per a una bona aproximació al mètode. També hem deixat constància que, a causa dels diferents graus d’aversió al risc dels inversors i decisors, i a causa de les ineficiències dels mercats, el problema de delimitació de la prima de risc no és un problema matemàtic i al final el que preval és el sentit comú.

Atesa aquesta subjectivitat inherent al mètode, analistes i decisors s’han llançat a la recerca d’explicacions i solucions.

1) La base racional de la prima per risc la trobem en el mètode de l’equivalent cert. L’equivalent cert es basa en l’explicitació de les preferències de l’inversor per una determinada quantitat de diners en diferents moments.

Implícitament, permet trobar la prima de risc exigida per l’inversor.

El mètode de l’ajust a la taxa de descompte té molta relació amb l’equivalent cert. El primer penalitza els fluxos indirectament, exigint una rendibilitat més alta; el segon penalitza directament el flux de fons. En cap dels dos mètodes no s’explicita una mesura del risc global del projecte, però es reconeix indirectament que diferents individus tindran diferent percepció del risc i diferent grau d’aversió al risc.

2) L’anàlisi de sensibilitat i l’anàlisi d’escenaris tenen un objectiu doble:

Delimitar els marges de confiança dels paràmetres principals del projecte amb la finalitat de tenir una mesura indirecta dels riscos associats.
Delimitar els riscos principals del projecte que cal controlar i prendre mesures de control i correcció en cas que surtin a la llum.

3) Una altra alternativa, si som capaços d’assignar probabilitats, és el càlcul del valor actual net esperat (VAN(E)) i la taxa interna de rendibilitat esperada (TIR(E)).

4) Finalment, davant de projectes complexos en els quals se’ns obren diverses opcions i decisions a mesura que es desenvolupa el projecte (anàlisi de decisions seqüencials), el mètode recomanat és l’anàlisi d’arbres de decisions.

Exercicis d'autoavaluació

Exercici 1

Tenim un projecte d’inversió amb les característiques financeres que es detallen a continuació:

Cost d’adquisició = 15.000 u. m.

Duració temporal = 4 anys

Els fluxos de fons esperats són els que s’indiquen en la taula:

Any 1	5.500
Any 2	5.800
Any 3	6.250
Any 4	5.650

Any 0	1
Any 1	1
Any 2	0,9
Any 3	0,8
Any 4	0,8

Estat de la naturalesa	Probabilitat	VAN	VAN × probabilitat
Èxit	0,6	100	60
Fracàs	0,4	–40	–16

Fluxos

–648.895,00

452.701,47

95.628,83

131.531,37

107.760,66

533.982,50

Escenari	Bases	Probabilitat d’ocurrència
Pessimista	El nou model té un encaix feble i/o l’economia triga a recuperar-se. Les vendes són més baixes i el CMV/vendes és una mica superior, ja que per mantenir vendes, els preus són més baixos.	15%
Més probable	Previsió conservadora segons el que ha passat a les botigues pilot, que hem vist a PAC anteriors.	70%
Optimista	El nou model de supermercat encaixa molt bé a la zona i l’economia segueix recuperant-se a bon ritme fins el 2017. Les vendes són més elevades, i pugen una mica els costos fixos. El marge brut sobre vendes es manté estable al 75,5%	15%

FLF amb VR	2014	2015	2016	2017	2018	2019
Pessimista	-648.895,00	381.742,47	21.121,88	53.705,37	26.043,36	15.116,65
Més probable	–648.895,00	452.701,47	95.628,83	131.531,37	107.760,66	560.451,10
Optimista	–648.895,00	490.448,97	137.363,71	176.996,37	157.598,91	893.043,03

Projecte	Any 0	Any 1	Any 2	Any 3	Any 4
A	–600	75	90	105	750

	α
Any 1	1
Any 2	0,8
Any 3	0,7
Any 4	0,6

Projecte	Any 0	Any 1	Any 2	Any 3
A	–200.000	115.000	11.000	145.500

Si suposem un cost de capital del 10% anual, es demana calcular el valor actual net del projecte, tenint en compte que els fluxos de fons són valors estimats i que el risc inherent a aquestes estimacions es recull:

a) Globalment, mitjançant una prima per risc del 6% anual i constant al llarg de la vida de la inversió.

b) Individualment, per a cada flux net de fons mitjançant els coeficients de certesa següents:

c) Calculeu la taxa de descompte ajustada per risc implícita en el mètode de l’equivalent cert.

Exercici 2

La firma Y està considerant emprendre un projecte les característiques del qual són:

VAN(E) = 60 – 16 = 44

Un informe de Market Research, SA indicarà amb un 90% de confiança quin resultat es produirà.

Es demana trobar el valor màxim que pot tenir l’informe, sabent que hi ha quatre possibles estats de la naturalesa:

1) L’informe indica «èxit» i és correcte.

2) L’informe indica «èxit» i és erroni.

3) L’informe indica «fracàs» i és correcte.

4) L’informe indica «fracàs» i és erroni.

Exercici 3

a) Davant dels següents fluxos, i considerant que la taxa de descompte que s’està aplicant per valorar la inversió és de l’11,9%, feu una anàlisi de sensibilitat d’aquesta taxa de descompte. Segons el resultat obtingut, quina conclusió podeu extreure’n?

b) Partint dels fluxos anteriors, a partir d’un estudi de mercat, s’han estimat els següents escenaris:

Els resultats obtinguts es resumeixen en la següent taula:

Calculeu el valor esperat del VAN segons aquests escenaris possibles, i les corresponents probabilitats d’ocurrència. Comenteu els resultats.

Exercici 4

La firma Y dissenya i manufactura roba per al segment del sector de la moda juvenil comprès entre els tretze i els quinze anys. L’èxit o fracàs anual dels seus productes depèn de si estan de moda o no. La direcció considera si ha de fer una inversió de 40.000 u. m. en una línia de cinturons que, segons creu, estaran de moda durant dos anys; però com que el resultat del projecte és condicionat per l’evolució que experimenti la moda dels cinturons, admet en l’anàlisi tres estats:

I. Èxit total.

II. No coincident amb la moda, però acceptat parcialment (fracàs relatiu).

III. Desastre.

Els analistes del departament de màrqueting han estudiat acuradament la situació, i han estimat les xifres de beneficis següents (en milers d’u. m.) per al projecte:

Any 1

Estat I: beneficis: 80; probabilitat: 0,5.

Estat II: beneficis: 30; probabilitat: 0,3.

Estat III: beneficis: 10; probabilitat: 0,2.

Any 2

Si es va presentar l’any 1 l’estat:

a) I: es considera:

Estat I: prob.: 0,6 de beneficis iguals a 100.

Estat II: prob.: 0,3 de beneficis iguals a 80.

Estat III: prob.: 0,1 de beneficis iguals a 20.

b) II: es considera:

Estat I: prob.: 0,4 de beneficis iguals a 80.

Estat II: prob.: 0,3 de beneficis iguals a 40.

Estat III: prob.: 0,3 de beneficis iguals a 10.

c) III: es considera:

Estat I: prob.: 0,1 de beneficis iguals a 70.

Estat II: prob.: 0,4 de beneficis iguals a 40.

Estat III: prob.: 0,5 de beneficis iguals a 5.

Es demana:

Analitzar el projecte d’inversió sabent que Y utilitza una taxa de descompte del 20% per reflectir el risc tan elevat que hi ha en el sector de la moda.

Exercici 5

Una empresa es planteja tirar endavant un projecte d’inversió del qual ens proporciona la següent informació: anys de durada de la inversió, inversió inicial i fluxos de fons que genera.

Sabem que l’estructura de capital de l’empresa és un 40% deute i un 60% recursos propis, i que l’empresa no té intenció de modificar aquestes proporcions en el futur. El cost del finançament aliè (deute) de l’empresa és del 7% i la rendibilitat exigida pels accionistes és del 10%. Per facilitar els càlculs, no tindrem en compte l’efecte impositiu.

Es demana:

a) Analitzeu la viabilitat del projecte per a l’empresa, sabent que després de valorar-ne el risc fixa una prima per risc addicional del 12% anual i constant al llarg de la vida de la inversió. És viable aquest projecte?

b) Un altre inversor valora el risc del projecte fixant els següents coeficients de certesa per a cadascun dels fluxos:

Calculeu l’equivalent cert del VAN per a aquest inversor; considerant que la taxa lliure de risc és el 6%. És viable per a aquest inversor?

Exercici 6

Ens trobem davant de la possibilitat de dur a terme una inversió que genera els següents fluxos de caixa:

El WACC de l’empresa inversora és del 9,95%.

Calculeu el VAN i feu l’anàlisi de sensibilitat corresponent als fluxos de l’any 0 i de l’any 1.

Solucionari

1. Solució de l’exercici d’autoavaluació 1

a) Aplicant una prima de risc del 6% anual:

k^* = 10% + 6% = 16%

VAN = - A + \sum_{j = 1}^{n} \frac{E (Q_{j})}{{(1 + k^{*})}^{j}} = - 15.000 + \frac{5.500}{(1,16)} + \frac{5.800}{{(1,16)}^{2}} + \frac{6.250}{{(1,16)}^{3}} + \frac{5.650}{{(1,16)}^{4}} = 1.176,28 5.43

b) Ajustant individualment cada flux de fons segons el seu coeficient de certesa:

(EC) _j= α_jE(Q_j)

D’aquesta manera:

(EC)₁ = α₁E(Q₁) = 1 × 5.500 = 5.500

(EC)₂ = α₂E(Q₂) = 0,9 × 5.800 = 5.220

(EC)₃ = α₃E(Q₃) = 0,8 × 6.250 = 5.000

(EC)₄ = α₄E(Q₄) = 0,8 × 5.650 = 4.520

I calculem:

VAN = - A + \sum_{j = 1}^{n} \frac{α_{j} E (Q_{j})}{{(1 + k)}^{j}} = - A + \sum_{j = 1}^{n} \frac{{(E C)}_{j}}{{(1 + k)}^{j}} 5.44

VAN = - 15.000 + \frac{5.500}{(1,1)} + \frac{5.220}{{(1,1)}^{2}} + \frac{5.000}{{(1,1)}^{3}} + \frac{4.520}{{(1,1)}^{4}} = 1.157,84 5.45

En tots dos casos, hem incorporat el risc en el mètode del VAN i hem obtingut un valor positiu. D’aquesta manera, partint d’aquests criteris, la decisió seria d’acceptar el projecte.

c) Hem de trobar la solució a l’equació següent:

{1.176,84}_{i} = 15.000 + \frac{5.500}{(1 + k^{*})} + \frac{5.800}{{(1 + k^{*})}^{2}} + \frac{6.250}{{(1 + k^{*})}^{3}} + \frac{5.650}{{(1 + k^{*})}^{4}} 5.46

Per resoldre aquesta equació, no tenim més remei que recórrer a les fórmules de la TIR que ens faciliten els fulls de càlcul i les calculadores financeres. Recordem que la TIR és la taxa de descompte que iguala el VAN a zero, amb la qual cosa haurem de passar el valor de l’equivalent cert a l’altre costat de l’equació i calcular la TIR dels fluxos següents:

Any 0 = –15.000 – 1.176,84 = –16.176,84

Any 2 = 5.500

Any 3 = 5.800

Any 3 = 6.250

Any 4 = 5.650

El resultat és una taxa de descompte ajustada per risc del 16,06%, molt semblant a l’aplicada a l’apartat a) i que implica una prima de risc del 6%.

Aquesta és una prima de risc global. Podríem mirar quina prima de risc aplica el nostre inversor a cada període.

Alternativament, podríem haver trobat la taxa de descompte ajustada per risc de cada període, segons el coeficient d’equivalència certa aplicat en cada moment. Per fer-ho, hem d’aïllar k^* de l’equació següent:

α_{j} = {[\frac{(1 + k_{f})}{(1 + k^{*})}]}^{j} 5.47

Obtenint que:

k^{*} = {[\frac{{(1 + k_{f})}^{j}}{α_{j}}]}^{1 / j} - 1 5.48

Any	K_i^*	Taxa sense risc	Prima implícita
1	10,0%	10,0%	0,0%
2	16,0%	10,0%	6,0%
3	18,5%	10,0%	8,5%
4	16,3%	10,0%	6,3%

Veiem que les primes de risc aplicades per aquest inversor varien d’un període a l’altre. Obtenint el seu màxim en el tercer període i no en el quart, com hauríem d’esperar. Això es pot deure a un problema d’inconsistència a l’hora d’assignar els equivalents de certesa, o a què la recuperació del valor residual de l’any 4 la veu més segura que no pas el flux de fons de l’any 3. El fet és que si apliquéssim aquestes taxes de descompte específiques per a cada any en comptes d’una taxa de descompte única, trobaríem el mateix VAN que aplicant la taxa única global que havíem calculat.

2. Solució de l’exercici d’autoavaluació 2

El preu màxim de l’informe serà la diferència entre:

E(VAN) amb informe – E(VAN) sense informe

El valor de l’E(VAN) sense informe ja el coneixem, i és igual a 44. Haurem de calcular el valor de l’E(VAN) si fem l’informe sota els supòsits anteriors. Per a això, podem ajudar-nos d’un petit arbre de decisió.

Fixem-nos que ens podem trobar davant de quatre possibles estats de la naturalesa finals. Cada un té associat un VAN i una probabilitat (a l’escenari 4, hem considerat que el VAN es correspon amb el cost d’oportunitat en el qual incorrem). D’aquesta manera, el valor de l’E(VAN) resultant de fer l’informe serà igual a:

VAN(E) = \sum_{i = 1}^{m} {VAN}_{i} p_{i} = 54 - 2,4 + 0 - 4 = 47,6 5.49

Ara ja podem calcular el preu màxim que estaríem disposats a pagar per l’informe.

Preu màxim de l’informe = E(VAN) amb informe – E(VAN) sense informe = 47,6 – 44 = 3,6

3. Solució de l’exercici d’autoavaluació 3

Es tracta de buscar la taxa de descompte que fa que el VAN sigui igual a zero, ja que aquesta serà la taxa màxima que podria suportar el projecte. Per definició, aquesta és la taxa interna de rendibilitat. Així, si calculem la TIR del projecte, aquesta és del 29,77%.

	VAN = 0	Punt de partida
Taxa descompte màxima	29,77%	11,90%

La sensibilitat a la taxa de descompte no és preocupant, tenim força marge de maniobra, de l’11,9% actual fins al 29,77%.

El VAN es pot trobar de dues maneres, primer fent l’FLF ponderat per les probabilitats d’ocurrència, i calcular el VAN, o calcular els diferents VAN, i fer la suma ponderada.

Segons aquesta anàlisi d’escenaris, i segons les probabilitats assignades, el VAN del projecte pujaria a 280.994,71 euros.

Observem que és lleugerament inferior al VAN més probable, ja que en cas que les coses vagin malament, hi hauria una pèrdua important. En l’escenari més optimista, en canvi, els beneficis són copiosos.

4. Solució de l’exercici d’autoavaluació 4

Per resoldre aquest exercici, ens hem d’ajudar d’un arbre de decisió:

Després d’haver representat gràficament el problema, fixem-nos que, de la interrelació entre els estats que poden donar-se en el primer i el segon any, podem obtenir nou resultats diferents (en la taula estan representats per triangles, i es corresponen amb els nusos finals). Com que en fer una anàlisi basada en arbres de decisió, hem d’examinar l’arbre des del final fins al principi, procedirem de la manera següent:

a) Estimarem els rendiments corresponents a cada una de les nou alternatives representades per nusos finals (□):

Nus final 1: VAN = - 40 + \frac{80}{(1,2)} + \frac{100}{{(1,2)}^{2}} = 96,11 5.50

Nus final 2: VAN = - 40 + \frac{80}{(1,2)} + \frac{80}{{(1,2)}^{2}} = 82,22 5.51

Nus final 3: VAN = - 40 + \frac{80}{(1,2)} + \frac{20}{{(1,2)}^{2}} = 40,5 5.52

Nus final 4: VAN = - 40 + \frac{30}{(1,2)} + \frac{80}{{(1,2)}^{2}} = 40,5 5.53

Nus final 5: VAN = - 40 + \frac{30}{(1,2)} + \frac{40}{{(1,2)}^{2}} = 12,7 5.54

Nus final 6: VAN = - 40 + \frac{30}{(1,2)} + \frac{10}{{(1,2)}^{2}} = - 8,05 5.55

Nus final 7: VAN = - 40 + \frac{10}{(1,2)} + \frac{70}{{(1,2)}^{2}} = 16,94 5.56

Nus final 8: VAN = - 40 + \frac{10}{(1,2)} + \frac{40}{{(1,2)}^{2}} = - 3,8 5.57

Nus final 9: VAN = - 40 + \frac{10}{(1,2)} + \frac{5}{{(1,2)}^{2}} = - 28,19 5.58

b) Estimarem el VAN(E) corresponent als nusos aleatoris (O). És a dir, calcularem l’esperança del VAN de cada una de les branques que conflueixen en el nus aleatori.

Nus aleatori 2: VAN(E) = 96,11 × 0,6 + 82,22 × 0,3 + 40,5 × 0,1 = 86,38

Nus aleatori 3: VAN(E) = 40,5 × 0,4 + 12,7 × 0,3 – 8,05 × 0,3 = 12,7

Nus aleatori 4: VAN(E) = 16,9 × 0,1 – 3,8 × 0,4 – 28,19 × 0,5 =13,95

Nus aleatori 1: VAN(E) = 86,38 × 0,5 + 12,7 × 0,3 – 13,95 × 0,2 = 45,69

El valor esperat del VAN corresponent al primer nus aleatori es correspon amb el VAN(E) d’aquest projecte d’inversió. Com que és positiu, la decisió hauria de ser d’acceptació.

5. Solució de l’exercici d’autoavaluació 5

a) Primer, calcularem el WACC de l’empresa:

0,4 × 0,07 + 0,6 × 0,1 = 0,088

Aplicant una prima per risc addicional del 12%, la nova taxa d’actualització dels fluxos de caixa serà:

8,8% + 12%= 20,8%

i el VAN:

VAN2_0,8% = (-)64,47

El projecte no és viable per a aquest inversor.

b) Ajustant cada flux pel seu coeficient de certesa, obtenim:

EC₁= α₁ × E(Q₁)= 1 × 75 = 75

EC₂= α₂ × E(Q₂)= 0,8 × 90 = 72

EC₃= α₃ × E(Q₃)= 0,7 × 105 = 73,5

EC₄= α₄ × E(Q₄)= 0,6 × 750 = 450

VAN_EC = (-)47,01

Obtenim que el projecte no és viable per a aquest inversor.

6. Solució de l’exercici d’autoavaluació 6

Primer, calculem el VAN de la inversió i obtenim que és de 23.157,68 €.

L’anàlisi de sensibilitat del flux de 0 consisteix a veure fins on podria variar el desemborsament inicial perquè la inversió continués sent viable. Dit d’una altra manera, calculem el desemborsament inicial que iguala el VAN a 0.

-Flux 0 = \frac{115.000}{(1,0995)} + \frac{11.000}{{(1,0995)}^{2}} + \frac{145.500}{{(1,0995)}^{3}} 5.59

Flux 0 = –223.157,68 €

Per tant, el flux de 0 té un marge d’error de 23.157,68 €. El projecte podria suportar que el desemborsament inicial, estimat en 200.000 €, pugés fins a 223.157,68 €. Per a desemborsaments inicials superiors, la inversió deixaria de ser viable.

Fem ara la mateixa anàlisi per al flux de l’any 1.

0 = - 200.000 + \frac{Flux 1}{(1,0995)} + \frac{11.000}{{(1,0995)}^{2}} + \frac{145.500}{{(1,0995)}^{3}} 5.60

Aïllant el flux de l’any 1, obtenim:

Flux 1=89.538,13 €

Per aquest valor del flux de l’any 1, el VAN s’iguala a 0. Per tant, si el flux de l’any 1 baixés per sota de 89.538,13 €, el VAN passaria a ser negatiu i la inversió deixaria de ser viable. L’estimació és que el valor que prendrà aquest flux és de 115.000 €, per tant, el marge d’error és de 25.461,87 €.

Glossari

anàlisi d’escenaris f: Criteri que té com a objectiu principal delimitar el risc de pèrdua del projecte de manera indirecta, avaluant quant han de variar conjuntament combinacions de variables diferents, però coherents, perquè el resultat del projecte deixi de ser atractiu.
anàlisi de sensibilitat f: Criteri que té com a objectiu principal delimitar el risc de pèrdua del projecte de manera indirecta, avaluant quant han de variar les nostres estimacions de cada una de les variables que afecten el resultat del projecte perquè el projecte deixi de ser atractiu.
arbre de decisió m: No constitueix una aportació teòrica, sinó tan sols són una aportació formal (un instrument) en l’avaluació/selecció de projectes d’inversió en context de risc. Es tradueix en una representació gràfica que serveix per visualitzar de manera global els diferents resultats que pot obtenir l’inversor segons quina sigui l’alternativa escollida i l’estat que presenti l’entorn econòmic.
context aleatori, d’incertesa parcial o de risc m: Situació en la qual les diferents magnituds es coneixen en termes de probabilitat objectiva o subjectiva.
context cert m: Situació en la qual cada una de les magnituds que defineixen el projecte d’inversió només pot presentar un estat, amb una probabilitat, per tant, igual a la unitat.
context de total incertesa m: Situació en la qual les magnituds que defineixen la inversió poden presentar diferents estats, però no es coneixen les probabilitats respectives.
equivalent cert m: Mètode d’anàlisi d’inversions que incorpora el risc en el procés de valoració d’inversions mitjançant l’ajust individualitzat dels fluxos de fons, segons el risc específic associat a cada un.
inversor avers al risc m: Inversor que, en igualtat de condicions, tendirà a seleccionar la inversió que li sembli que té menys risc. Només es decantarà per l’alternativa més arriscada si n’obté una rendibilitat més alta.
inversor neutral al risc m: Inversor que es guia per les lleis pures de probabilitats. Entre dues alternatives que tinguin el mateix rendiment esperat, serà indiferent, encara que una sigui més arriscada que l’altra.
inversor propens al risc o amant del risc: Inversor que tendirà a triar l’alternativa més arriscada.
inversió seqüencial f: Inversió que es caracteritza perquè s’analitza al llarg d’un període complet de planificació i no només al començament, i perquè les decisions d’inversió o els estats de la naturalesa estan connectats en el temps.
prima de risc (ρ) f: Increment de la rendibilitat mínima que s’exigeix al projecte d’inversió en compensació al risc associat i a l’efecte que aquest té sobre el risc global del negoci.
risc m: Des d’un punt de vista financer, considerem que som davant d’una situació de risc si hi ha la possibilitat que els resultats reals difereixin dels esperats i, més en concret, si considerem plausible la possibilitat que el rendiment real (econòmic) a posteriori sigui negatiu o inferior al que, a priori, consideràvem necessari per acceptar el projecte.
risc compost m: Risc associat a una situació que pot conduir a diferents resultats i cada un donar lloc a nusos d’esdeveniments nous (els estats de la naturalesa, al llarg dels diferents períodes, estan connectats entre si).
risc contingent m: Risc associat a una situació en la qual després d’haver iniciat el projecte i, per tant, d’haver pres ja la decisió d’invertir, s’ha de prendre posteriorment i, segons determinats esdeveniments, una altra decisió que pot canviar els riscos assumits.
risc simple m: Risc associat a una situació que pot conduir a diferents resultats, depenent de quin, dins d’un conjunt d’esdeveniments incerts mútuament excloents, té lloc en realitat.
taxa de descompte ajustada per risc f: Mètode d’anàlisi d’inversions que incorpora el risc en el procés de valoració d’inversions, i que es basa en la hipòtesi segons la qual hi ha una rendibilitat exigida pels recursos que utilitza l’empresa i que aquesta depèn del volum de risc de l’empresa i del grau d’aversió al risc de l’inversor.
taxa interna de rendibilitat esperada (TIR(E)) f: Criteri de decisió en context de risc que es basa en el càlcul de la taxa de descompte que iguala el valor actual dels fluxos de fons esperats amb el desemborsament inicial.
valor actual net esperat (VAN(E)) m: Criteri de decisió en context de risc que es basa en el càlcul de la suma del valor actual de tots els fluxos de fons associats a un projecte d’inversió en context de risc: el desemborsament inicial i els fluxos de fons esperats.

Bibliografia

Dos manuals pràctics analitzats des de la perspectiva de les escoles de negoci:

Faus, J. (2001). Políticas y decisiones financieras para la gestión del valor de la empresa. Estudios y Ediciones IESE, SL.

Termes, R. (1998). Inversión y coste de capital. Manual de finanzas. McGraw Hill.

Manuals clàssics de finances:

Brealey, R.; Myers S. (1999). Fundamentos de financiación empresarial. McGraw Hill.

Fernández, M. (1992). Dirección financiera de la empresa. Ed. Pirámide.

Suárez, A. S. (2005). Decisiones óptimas de inversión y financiación en la empresa. Editorial Pirámide.

Ross, S.; Westerfield, R.; Jaffe, J.; Jordan, B. (2008). Modern Financial Management. McGraw-Hill.

Més temes sobre la percepció del risc vist des d’una perspectiva psicològica:

Slovic, P. (2000). The perception of risk. The Earthscan Risk in Society Series.

Anàlisi d’inversions II

Marta Gómez Puig

Lídia Pradas López

revisor Carme Molina Cobo

revisor Susana Sardà García

Introducció

Objectius

Solucionari