El cálculo de la rentabilidad

Joan Pasqual Rocabert

Joan Pasqual Rocabert es profesor del Departamento de Economía Aplicada de la Facultad de Ciencias Económicas en la Universidad Autónoma de Barcelona, autor de numerosas publicaciones sobre evaluación de proyectos, análisis coste-beneficio y economía pública.

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Índice

Introducción
1.El valor del tiempo: una cuestión de preferencias (nivel I)
2.El valor actual (VA) (nivel II)
3.El valor actual (VA) depende del tiempo (nivel II)
4.Tipos de proyectos (nivel I)
5.El valor actual (VA) depende de la tasa de descuento r (nivel I)
6.El VAN como una función continua de la tasa de descuento r (nivel II)
7.La tasa de descuento en el VAN (nivel I)
8.El VAN no depende de la inflación (nivel II)
9.El VAN de un proyecto según la escala de ejecución (nivel II)
10.La rentabilidad de un proyecto según el VAN (nivel I)
11.Comparación de dos o más proyectos según el VAN (nivel I)
12.El VAN según el momento en el que se ejecuta (nivel II)
13.El mejor orden de una serie de proyectos según el VAN (nivel III)
14.La TIR como una función inversa del VAN (nivel I)
15.La rentabilidad de un proyecto según la TIR (nivel I)
16.Comparación de dos o más proyectos según la TIR (nivel I)
17.Algunas ventajas de la TIR frente al VAN (nivel II)
18.La TIR ante cambios de escala y momento de ejecución (nivel II)
19.La TIR ante cambios en el orden de dos proyectos (nivel III)
20.Limitaciones (superables) de los métodos VAN y TIR (nivel III)
- 20.1.La tasa de descuento
- 20.2.Problemas con las unidades de los flujos
- 20.3.Seleccionar proyectos en condiciones que no son las ideales
- 20.4.La tasa de descuento no es constante a lo largo del tiempo
21.Limitaciones del VAN y la TIR que requieren un cambio de modelo (nivel III)
22.Comparación de proyectos de duración diferente
- 22.1.Método BM
- 22.2.Método BM’
- 22.3.Método conservador (MC)
- 22.4.Método MC’
- 22.5.Comparación de métodos para considerar diferentes duraciones
- 22.6.Resumen
- 22.7.Tratamiento de proyectos con duraciones muy dispares
Actividades
Solucionario
Bibliografía
Anexo

Introducción

Manejar con cierta soltura los elementos más básicos de la matemática financiera, utilizándolos como instrumento adicional para tomar decisiones, supone ciertas ventajas. En la práctica, aumenta la calidad de la conceptualización que, necesariamente, se lleva a cabo como etapa previa a la toma de decisiones. Por lo tanto, la elección se llevará a cabo en mejores condiciones.

A veces, la matemática financiera adquiere un aspecto tan poco atractivo que algunas personas experimentan cierta repulsión en el primer contacto. Con independencia del aspecto formal, la verdad es que se trata de manejar con rigor conceptos cotidianos, lo que no tiene nada de difícil si se sigue el camino adecuado. En particular, fórmulas y conceptos como el valor actual o la tasa interna de rendimiento –lo que los bancos en España denominan tasa anual equivalente (TAE)– no son esotéricos en absoluto y, sin duda, resultan muy útiles.

En este texto encontraréis una vía cómoda para adentraros en este pequeño mundo de las finanzas elementales que, a manera de una visita guiada, quiere facilitar el aprendizaje. Para que no incurráis en costes innecesarios, se acompaña de una hoja de cálculo que se ocupará de la parte aburrida: el cálculo de fórmulas.

Empleando una hoja de cálculo es fácil observar las características financieras básicas de un proyecto, compararlo con las alternativas disponibles y determinar si es o no deseable ejecutarlo, de acuerdo con el criterio de rentabilidad que se prefiera. Asimismo, la información que proporciona la hoja de cálculo resulta útil para facilitar la comprensión de qué son en realidad, cómo se comportan y de qué modo se interpretan las características relevantes de un proyecto; por este motivo, es recomendable empezar esta visita guiada por los indicadores de deseabilidad de un proyecto teniendo a mano la hoja de cálculo.

Este texto se puede seguir de varias maneras, dependiendo de cuál sea la información de la que se dispone, qué nivel se quiere conseguir y el método de trabajo que prefiere cada uno:

Una introducción elemental y rápida (nivel I): capítulos 1, 4, 5, 7, 10, 11, 14, 15 y 16
Una información más completa (nivel II): añadid los capítulos 2, 3, 6, 8, 9, 12, 17 y 18
Un estudio más avanzado (nivel III): añadid los capítulos 13, 19, 20 y 21
Los capítulos restantes conforman el nivel IV.

Para refrescar conceptos, pasad sin entreteneros por los niveles que os sean familiares, pero asegurándoos de que manejáis con agilidad los conceptos que van apareciendo y que sabríais resolver los ejercicios que se plantean. En cualquier caso, se puede seguir el camino convencional, empezar por el capítulo uno, continuar con el dos, etc., o trabajar los capítulos siguiendo el orden marcado por los niveles, o sea comenzar con los capítulos de nivel I, continuar con los de nivel II y acabar con los de nivel III y IV.

1.El valor del tiempo: una cuestión de preferencias (nivel I)

El tiempo es oro, dicen. De hecho, un consumidor estará dispuesto a pagar más o menos por un bien de consumo dependiendo de cuánto pueda disponer de él. Se considera, por regla general, que las preferencias de los individuos son tales que, puestos a elegir, resulta más deseable consumir hoy que mañana. Por eso mismo, cuando en lugar de bienes se trata de lo contrario, el individuo preferirá aplazar la acción que resulta inútil en lugar de ejecutarla inmediatamente.

En la España de los felices años sesenta, si uno pretendía adquirir un Seat 600 debía esperar varios meses; tantos que floreció un mercado más o menos legal de derechos de compra del anhelado cochecito. Los consumidores más impacientes pagaban con gusto una cantidad adicional en este mercado peculiar para evitar la espera. Lo importante aquí es que esta impaciencia es una fuente de valor y se puede cuantificar.

El aspirante a propietario del 600 prefiere disponer del automóvil ahora (periodo 0) que esperar un año (periodo 1). Si pagase 1.000 euros por el coche en el año 0, porque le resulta indiferente tener el coche en el momento actual (0) o en el siguiente (1), en 1 debería recibir el coche más una cantidad de dinero que le compensará por la espera, 170 euros, por ejemplo.

En estas condiciones, al consumidor le es indiferente disponer de 1.000 euros en el año 0 (proyecto I) o tener 1.170 euros el 1 (proyecto II); las preferencias del individuo entre consumo presente y consumo futuro para este bien concreto se pueden expresar, pues, como una relación de indiferencia entre los proyectos I y II:

Periodos	0	1	Preferencias
Proyecto I Proyecto II	1.000 0	0 1.170	Indiferencia entre los proyectos I y II

Periodos

Preferencias

Proyecto I

Proyecto II

1.000

1.170

Indiferencia entre los

proyectos I y II

Si se conocen las preferencias, el valor específico de la tasa de descuento intertemporal del consumidor que es relevante para este tipo de bienes se calcula con facilidad. Supongamos que D es su tasa de descuento; para el consumidor, la cantidad de 1.170 euros en el periodo 1 es igual a 1.000 euros en el 0, lo que significa que se está dando menos peso o importancia a lo que ocurre en el periodo 1 por el simple hecho de que sucede más tarde; concretamente, este peso más pequeño se refleja en el factor de ponderación 1/(1 + D), que es inferior a 1 para todo D mayor de 0. La operación de ponderar los impactos o valores económicos según el tiempo, de modo que sean equivalentes a otra cantidad que se produjera en el periodo actual (el 0), se denomina actualización. Así, el valor actual de 1.170 euros en 1 es de 1.170/(1 + D) euros para este consumidor. Sus preferencias señalan que hay igualdad entre los 1.000 euros del momento 0 y el valor actual de los 1.170 euros del periodo 1, esto es:

1 .000 = 1.170 / (1 + D) (1)

de la cual:

\begin{array}{l} (1 + D) = 1.170 / 1 .000 \\ D = 0, 17 = 17 % \end{array} (2)

La tasa D encontrada mide la impaciencia relativa del consumidor, la mayor utilidad para no demorar el consumo. Cuanto mayor sea la tasa, más intensa es la preferencia por el consumo actual. Una tasa nula refleja indiferencia entre consumo presente y futuro, mientras que con una tasa infinita el individuo preferirá consumir solo en el periodo actual.

El funcionamiento de la tasa D es muy simple. Por ejemplo, supongamos que el mismo consumidor de antes recibe un regalo en el momento actual por valor de 3 euros y otro en el periodo siguiente por valor de 5,85 euros. Está claro que el valor total de estos dos regalos no es igual a 3 + 5,85 = 8,85 porque las preferencias de este consumidor típico dan más importancia a lo que ocurre hoy que a lo que sucederá mañana, tanto por la impaciencia por el consumo como por la posibilidad de invertir. Si, dado que es obligado, se tiene en cuenta el factor tiempo, la valoración de estos dos regalos en términos del momento actual será de 3 euros más los 5,85 euros actualizados, o sea ponderados por el factor de descuento temporal

1 / (1 + D)

, lo que da un valor actualizado (VA) de 3 + 5,85/1,17 = 8 euros. Dicho de otro modo, al consumidor le es indiferente recibir ahora mismo un regalo por valor de 8 euros o bien de 3 euros ahora y 5,85 al final de un periodo, porque 8 euros es el valor actual de 3 euros en el momento 0 junto con 5,85 euros en el 1, teniendo en cuenta las preferencias de este consumidor.

Suponed ahora que el individuo en cuestión no dispondrá de dinero para comprar el Seat 600 hasta el periodo 1, pero puede pedir un crédito al tipo r por periodo. Si r es inferior al 17%, el consumidor aumentará su utilidad comprando el coche a crédito porque su ganancia subjetiva para anticipar el consumo es del 17% (D = 0,17) y el coste de este avance es menor (r < D). Si el tipo de interés del crédito supera el 17% (r > D), preferirá esperarse hasta el periodo 1 y si r es igual al 17% (r = D) le serán indiferentes las dos opciones. Supongamos que r = 10%, por ejemplo; dado que r < D, el consumidor contratará un crédito para anticipar el consumo, dispondrá del coche en el periodo 0 y deberá pagar el precio del coche más los intereses correspondientes al periodo 1, lo que representa un total de 1.100 euros. El consumidor gana con esta operación de crédito porque el pago en el periodo 1 es de 1.100 euros cuando estaría dispuesto a pagar hasta un máximo de 1.170 euros.

Que el consumidor disponga de suficiente dinero para pagar al contado no significa que prefiera siempre consumir en el periodo actual. Si este individuo tiene la oportunidad de llevar a cabo una inversión que proporciona una rentabilidad de r*%, el coste de oportunidad para consumir ahora en lugar de invertir en el periodo 0 y consumir en el 1 es del r*% y, en términos netos, este coste es de (D - r*). Por lo tanto, el consumidor elegirá consumir ahora si r* < D, mientras que optará por invertir y aplazar el consumo hasta el periodo siguiente cuando r* > D.

Cuando se está trabajando con bienes que se compran y se venden con dinero, el problema siempre es muy simple (las tasas r y D son reales, no nominales):

Consumir hoy o mañana. Si un individuo puede conseguir un crédito al tipo r por periodo, le será indiferente disponer de M unidades monetarias hoy o bien de M · (1 + r) unidades en el periodo siguiente. En consecuencia, le interesará un crédito para consumo si el coste r es inferior a su tasa de preferencia temporal D.
Cuándo se debe invertir. Si una inversión proporciona un beneficio del r*% (ved la sección 10), es natural pensar que la operación no será interesante salvo que el coste r del capital que se necesita sea inferior a este r*% de rentabilidad.
Consumir o invertir. Se invertirá cuando la rentabilidad r* de este proyecto supere la tasa de descuento D del consumidor que mide la impaciencia por el consumo (suponiendo que la rentabilidad r* de la inversión es mayor que el coste del capital r).

2.El valor actual (VA) (nivel II)

Se asume que es más importante lo que ocurre en el presente que lo mismo en un momento futuro y, a medida que un hecho se aleja en el tiempo, se le asigna una importancia o ponderación menor. Dicho de otro modo, los factores de ponderación de un impacto cualquiera disminuyen de manera exponencial respecto al tiempo t t = 0, 1, ..., T en el que se produce. Si se dispone de una cantidad de dinero a₀ (positiva o negativa) en el momento 0, de a₁ en el 1, de a₂ en el 2, y así sucesivamente hasta llegar a la cantidad T que se produce en momento final T, la importancia de cada una de estas cantidades decrece a medida que se alejan en el tiempo. Si la tasa de descuento es r, la ponderación de las cantidades anteriores (flujos) es de 1 para

a_{0}

, de

1 / (1 + r)

para

a_{1}

, de

1 / {(1 + r)}^{2}

para

a_{2}, ...

y de

1 / {(1 + r)}^{T}

para el último flujo

a_{T}

. Estas cantidades ponderadas (actualizadas) ya se pueden sumar y se obtiene el valor actual (VA), que vale:

VA = a_{0} + a_{1} / (1 + r) + a_{2} / {(1 + r)}^{2} + a_{3} / {(1 + r)}^{3} + ... + a_{^{T}} / {(1 + r)}^{T}

En resumen:

Valor actual

Periodos	0	1	2	...	T – 1	T
Flujos	a₀	a₁	a₂	...	a_{T – 1}	a_T
Ponderación	1	1/(1 + r)	-	...	1/(1 + r)^{T – 1}	1/(1 + r)^T
Valor actual	a₀ + a₁/(1 + r) + a₂/(1 + r)² + ... + a_{T – 1}/(1 + r)^{T – 1} + a_T/(1 + r)^T

El valor actual (VA) de los flujos a₀, a₁, ..., a_T es de:

VA = a_{0} + a_{1} / (1 + r) + a_{2} / {(1 + r)}^{2} + ... + a_{T - 1} / {(1 + r)}^{T - 1} + a_{T} / {(1 + r)}^{T} (3)

Por ejemplo, si r = 10%, el VA de:

Periodos	0	1	2	3
Flujos	–100	–10	100	1.000

se calcula:

Periodos	0	1	2	3
Flujos	–100	–10	100	1.000
Ponderación	1	1/(1 + 0,1) = 0,90909	1/(1 + 0,1)² = 0,82645	1/(1 + 0,1)³ = 0,75131
Valor actual = 724,87 =	–100	–9,0909	+82,645	+751,31

o sea:

VA = - 100 - 10/1,1 + 100/1, 1^{2} + 1000/1, 1^{3} = 724,87 (4)

Dicho de otro modo, a partir de las cantidades a₀, a₁, ..., a_T, cada una de ellas referida a un periodo diferente en el tiempo (0, 1..., T, respectivamente), se calcula una única cantidad referida al momento 0 (el actual). Esta cantidad, que es el VA, resulta equivalente en términos económicos a los flujos originales periodificados a₀, a₁, ..., a_T, como se muestra en el gráfico:

a₀

↓

a₁

↓

a₂

↓

a₃

↓

...

a_{T – 2}

↓

a_{T – 1}

↓

a_T

↓

↑

...

T – 2

T – 1

que con los datos del ejemplo anterior sería:

–100

↓

–10

↓

100

↓

1.000

↓

↑

VA = 724,87

Cuando se calcula el VA de los flujos

a_{0}, a_{1}, ..., a_{T}

y estos flujos reflejan los saldos entre todos los beneficios y costes de una operación económica, entonces el VA recibe la denominación de valor actual neto (VAN).

Retomando el caso del comprador del 600, la expresión:

1 .000 = 1.170 / (1 + D) (5)

que se había encontrado en el apartado “El valor del tiempo: una cuestión de preferencias” es la misma que surgiría de calcular el VAN de los proyectos A y B siguientes:

	0	1
A	–1.000	1.170
B	1.000	–1.170

Si se expresan las preferencias del consumidor en la forma A, lo que dice es que renunciaría a 1.000 euros en el momento 0 si le garantiza que percibirá como mínimo 1.170 euros en el 1. Con la forma B, se dice lo mismo de otro modo: el consumidor pagaría 1.170 euros como máximo en el periodo 1 a cambio de disponer de 1.000 euros inmediatamente. El VAN de los proyectos A y B, calculados a la tasa D, valen:

\begin{array}{l} VAN (A; D %) = - 1 .000 + 1.170 / (1 + D) = \\ = VAN (B; D %) = 1 .000 - 1.170 / (1 + D) = \\ = 0 para D = 17 % \end{array} (6)

En otras palabras, la tasa de preferencia temporal del consumidor es de D = 17%, como ya sabíamos.

3.El valor actual (VA) depende del tiempo (nivel II)

Una cantidad cualquiera –una obligación o un derecho, si se quiere– tiene mucha menos importancia cuanto más alejada esté del momento actual y cuanto mayor sea la tasa de descuento. Es perfectamente normal que alguien esté más preocupado por la cuenta del restaurante que no admite demora, que por una obligación de pago cien veces mayor que se debe cancelar treinta años más tarde.

Supongamos un flujo cualquiera de un proyecto, como

a_{t}

, que puede ser positivo o negativo. Si se actualiza este flujo –se calcula su valor actual (VA)– resulta un valor de

a_{t} / {(1 + r)}^{t}

, por lo que si

a_{t} > 0

, al actualizarlo, disminuye de valor y, por el contrario,

a_{t} < 0

, aumenta.

Tomando una tasa del 100% (r = 1), comprobad que el VA de un impacto –un coste o un beneficio– depende también del momento (t) en que se produce el flujo, con

a_{t} = 24

en este caso. Dado que la tasa es del 100% (r = 1), cada vez que el flujo at se desplaza un periodo hacia el futuro, su valor actual del flujo se reduce a la mitad:

r = 1	VA(a_t; t = 1)	VA(a_t; t = 2)	VA(a_t; t = 3)	VA(a_t; t = 4)	VA(a_t; t = 5)	VA(a_t; t = 10)
a_t = 24	a₁ = 12	a₂ = 6	a₃ = 3	a₄ = 1,5	a₅ = 0,75	a₁₀ = 0,023

Lo que ocurre en el ejemplo anterior no es fruto del azar. Cualquier flujo futuro, sea del signo que sea, es menos importante que si se produjera en el momento actual. Por este motivo, si se pudiera elegir, se situarían todos los flujos positivos en el momento actual y todos los negativos en el periodo más lejano posible; de este modo el VA sería máximo.

Dado que el crecimiento (o decrecimiento) de un capital a una tasa determinada no es proporcional sino exponencial respecto al tiempo, es interesante disponer de una regla para visualizar este efecto. Con la regla del 69 se determina cuál es el tiempo T* que debe transcurrir para duplicar el capital invertido K a una tasa r.

La regla del 69. El planteamiento es simple: si se invierte un capital K a una tasa r durante T años se obtiene un total acumulado de K’:

K {(1 + r)}^{T} = K' (7)

Dado que lo que se quiere es duplicar el capital, K’ ha de ser igual a 2K, por lo que se debe cumplir que:

\begin{array}{l} K {(1 + r)}^{T} = 2 K \\ {(1 + r)}^{T} = 2 \\ T \cdot l n (1 + r) = l n 2 \\ \begin{matrix} T = l n 2 / l n (1 + r) \end{matrix} \\ T = 0,693147 / l n (1 + r) \\ T = 69 / l n (1 + r) \end{array} (8)

redondeando y tomando r en tanto por ciento. Dado que ln(1+r) es aproximadamente igual a r para valores pequeños de r, la expresión anterior se puede sustituir por la aproximación lineal:

T = 69 / r (9)

donde r se expresa en %. Sin embargo, se usa más la fórmula:

T = 70 / r (10)

dado que facilita el cálculo mental y es algo más precisa. Así, son necesarios setenta años para duplicar el capital inicial cuando la tasa de acumulación r es del 1%, mientras que si la tasa es del 7% basta con diez años para que se multiplique por dos la cantidad invertida, y si el PIB de un país crece a una tasa del 3,5%, al cabo de veinte años aproximadamente el PIB se habrá doblado. A continuación, se muestran algunos valores calculados mediante la fórmula exacta (*):

Tiempo T* necesario para duplicar el capital inicial invertido a la tasa r

Tasa r	1%	2%	3%	5%	7%	8%	9%	12%	15%	19%	26%	32%	41%	59%	100%
T*	70	35	23,5	14	10,2	9	8	6	5	4	3	2,5	2	1,5	1

4.Tipos de proyectos (nivel I)

El primer paso para evaluar un proyecto consiste en averiguar el tipo de operación económico-financiera de que se trata. Hay cuatro tipos básicos de proyectos: inversiones, créditos, regalos y pérdidas. En una primera aproximación, estas operaciones se pueden describir como sigue:

Tipos básicos de proyectos

Regalo	⇔ Todos los flujos son no negativos y al menos uno es estrictamente positivo
Pérdida	⇔ Todos los flujos son no positivos y al menos uno es estrictamente negativo
Inversión	⇐ Todos los costes se producen antes que los beneficios
Crédito	⇐ Todos los beneficios se producen antes que los costes

Cómo debéis haber notado, mientras que la definición de regalo y pérdida es completa, porque incluye las condiciones necesarias y suficientes (⇔), la de inversión y crédito no lo es, porque no indica las condiciones necesarias (⇒), solo muestra las suficientes (⇐). Las condiciones necesarias y suficientes para caracterizar una inversión y un crédito las desarrollaremos en las secciones siguientes.

Una inversión es la operación contraria a un crédito. Un regalo es una operación contraria a una pérdida.

Comprobad que los proyectos A, B, C y D están correctamente caracterizados:

	0	1	2	Tipo de operación
A	–10	–10	25	Inversión
B	10	10	–25	Crédito
C	10	10	25	Regalo
D	–10	–10	–25	Pérdida

	0	1	2	Tipo de operación
–A	10	10	–25	Crédito
–B	–10	–10	25	Inversión
–C	–10	–10	–25	Pérdida
–D	10	10	25	Regalo

	0	1	2	3	4	5	Tipo de operación
K	1	1	7	0	3	3	Regalo
A	1						Regalo
L	–1	–1	0	–1	0	–8	Pérdida
I					–3	–3	Pérdida

	0	1	2	3	4	5	Tipo de operación
A	–1	1	7	0	0	2
B	–1	0	–2	–1	–9	3
C	1	1	0	1	1	–9	Crédito
D	8	0	0	–3	–3	–3	Crédito

Observad ahora que al multiplicar por menos uno todos los flujos de un proyecto, se obtiene la operación contraria (se pasa de inversión a crédito y de regalo a pérdida y viceversa):

Si los proyectos tienen la característica de regalo o de pérdida, todos los flujos tienen el mismo signo, positivo en los regalos y negativo en las pérdidas, por lo que la caracterización es inmediata a simple vista. Comprobad que los proyectos K y A son regalos, mientras que L e I son pérdidas:

Por el contrario, cuando se trata de inversiones y créditos, algunos flujos del proyecto son positivos y otros negativos y la característica de inversión y crédito no siempre es obvia. Cuando todos los flujos de un proyecto tienen un mismo signo y, a partir de un periodo determinado, lo cambian pero mantienen el signo nuevo hasta el final, no hay ninguna ambigüedad. Caracterizad los proyectos:

Los proyectos A y B son inversiones y los C y D, créditos. No hay ambigüedad en la clasificación porque los flujos de estos proyectos cambian de signo una sola vez. Cuando los flujos del proyecto presentan más de un cambio de signo, determinar si es una inversión o un crédito deja de ser intuitivo y requiere algunos cálculos.

Tanto al evaluar un proyecto de inversión como al medir un impacto determinado, conviene tener presente que ninguna decisión es inocua y que la trascendencia de la elección depende siempre de las alternativas concretas existentes. La propuesta que se examina se debe comparar con la mejor del resto de las alternativas factibles. Ante un proyecto de inversión pública (el caso privado es simétrico), el conjunto de alternativas explícitas o implícitas de las que se dispone en general es:

Ejecutar el proyecto de inversión que se está evaluando.
Ejecutar otro proyecto de inversión (público o privado).
Transferir los recursos al sector privado para que sean invertidos.
Consumir en lugar de invertir (en el sector público o en el privado).
La inacción, dejando ociosos los recursos.

Nota

Como debéis haber observado, optar por la última alternativa (sería el criterio del “perro del hortelano” –ya sabéis, ni come ni deja comer–; seguirlo supone una pérdida neta para el conjunto de la economía) tiene poco sentido, salvo que se incurra en el coste de oportunidad que significa la demora de llevar a cabo una mejor inversión en el futuro, y tan rentable que merezca soportar el coste de la espera.

5.El valor actual (VA) depende de la tasa de descuento r (nivel I)

La tasa de descuento mide la importancia de disponer de un saldo hoy en lugar de mañana. Así, si la tasa es del

100 % (r = 1)

, significa que el valor de 2.000 euros en el periodo 1 equivale a

2 .000 / (1 + r) = 1 .000

euros en el periodo cero. Si en el periodo dos

(t = 2)

el saldo de un proyecto vale 24

(a_{2} = 24)

y la tasa de descuento es del 100% (r = 1), el VA de 24 en el periodo 2 es inferior, vale

24 / 2^{2} = 6

. Pero si en lugar de 24 tuviéramos un saldo de

- 24

en el mismo periodo

(a_{2} = - 24)

, entonces el VA correspondiente aumenta, dado que

- 24 / 2^{2} = - 6

. Comprobad que la importancia de este efecto de aumento o disminución sobre un flujo original que vale 24 en el momento

t = 2

depende de la tasa de descuento:

t = 2	VA(r = 0%)	VA(r = 10%)	VA(r = 20%)	VA(r = 50%)	VA(r = 100%)	VA(r = 200%)
a₂ = 24	24	19,83	16,67	10,67	6,00	2,67

Dado que cuanto más alto sea el VA, mejor, parece que lo ideal sería que, considerando unos flujos periodificados, la tasa de descuento r sería siempre tan baja como fuera posible, si los flujos son positivos, y tan alta como fuera posible si los flujos son negativos. Como veremos en seguida, puede ocurrir cualquier cosa: en primer lugar, comprobaremos que la suposición se cumple y, en segundo lugar, que es necesario matizar. Por ejemplo, supongamos que el proyecto de inversión es:

1	2
–7	15

Si la tasa de descuento es constante y vale

r = 0, 1

, resulta:

VA (r = 0, 1) = - 7 / (1 + 0, 1) + 15 / {(1 + 0, 1)}^{2} = 6,0 3 (11)

Pero la tasa no siempre será constante. Por lo que hemos dicho, si las tasas fueran de

r_{1} = 0, 11

en el periodo 1 y de

r_{2} = 0,0 9

en el segundo, el VAN sería más alto que con

r_{1} = 0, 1 = r_{2} = 0, 1

ya que vale:

VA(r₁ = 0,11, r₂= 0,9) = -7/(1+0,11) + 15/[(1+0,11)·(1+0,09)] = 6,09

Por eso mismo, el VA correspondiente a las tasas

r_{1} = 0,0 9

r_{2} = 0, 11

será más bajo que el VA calculado en una tasa constante de

r_{1} = 0, 1 = r_{2} = 0, 1

, que resulta:

VA (r_{1} = 0,0 9, r_{2} = 0, 11) = - 7 / (1 + 0,0 9) + 15 / [(1 + 0,0 9) \cdot (1 + 0, 11) = 5, 98 (12)

Si el proyecto fuera el contrario que el anterior, o sea:

1	2
7	–15

entonces se encontraría el resultado simétrico, y sería preferible una tasa más baja en el primer periodo, porque el flujo es positivo, y más alta en el segundo, dado que el flujo es negativo.

Se trata ahora de ver que la suposición de la que se ha partido no es del todo correcta. Es decir, no es cierto que el VA aumente siempre que aumenta la tasa de descuento en los periodos con flujos negativos y disminuye en los positivos, porque lo que cuenta es el factor de ponderación del flujo de cada periodo. Utilizando el mismo proyecto, con

r_{1} = 0, 1

r_{2} = 0, 1

, resulta un VA inferior, en lugar de superior como se presuponía:

VA (r_{1} = 1, r_{2} = 0, 1) = - 7 / (1 + 1) + 15 / [(1 + 1) \cdot (1 + 0, 1)] = 3,32 (13)

La razón de este resultado es clara: la tasa de cualquier periodo afecta al flujo en este periodo y a todos los que lo siguen, con lo que el factor de actualización del flujo cambia y lo que marca la importancia de un flujo es precisamente este factor de ponderación, no la tasa del periodo. Cuando la tasa de descuento es constante no hay ningún conflicto: la ponderación es inferior si la tasa es superior y viceversa.

En resumen:

1	2	VA(r₁ = r₂ = 10%)	VA(r₁ = 11%, r₂ = 9%)	VA(r₁ = 9% = r₂ = 11%)	VA(r₁ = 100% = r₂ = 10%)
–7	15	6,03	6,09	5,98	3,32
7	–15	–6,03	–6,09	–5,98	–3,32

Otra vez, el ejemplo que acabamos de exponer sirve para presentar un caso general. Dada una tasa de descuento constante, cuando se trata de una inversión, el VA disminuye con la tasa de descuento y, si se trata de un crédito, el VA aumenta con la tasa.

Por este motivo, cuando no está claro si un proyecto que presenta flujos positivos y negativos tiene la característica de crédito o de inversión, hay que recurrir a esta propiedad para diferenciarlos. Dado que la función VA no siempre será monótona (o siempre crece o siempre decrece), es necesario observar las variaciones del VA como consecuencia de aumentos marginales de la tasa.

Una manera cómoda de operar consiste en encontrar el VA y volverlo a calcular aumentando la tasa en un 1%(o un 1‰) y observar si el VA crece o decrece.

Considerad el proyecto siguiente:

0	1	2
2	–8	7

Dado que tiene más de un cambio de signo, la caracterización como inversión o crédito no es obvia. Usando la regla de caracterización que depende de si el VA crece o no, resulta que el VA decrece para tasas entre el 0 y 75% y crece a partir del 75%. Por lo tanto, este proyecto se comporta como una inversión para tasas inferiores al 75% y como un crédito para tasas iguales o superiores al 75%.

Por ejemplo, para una tasa de r = 10% resulta VA(r = 0,1) = 0,5124 y con r = 10,1% el VA disminuye, puesto que VA(r = 0,101) = 0,5085, y por lo tanto para r = 10%, el proyecto se comporta como un crédito; para una tasa de r = 80%, VA(r = 0,8) = -0,2840 y si la r fuera algo mayor, como por ejemplo r = 80,8%, entonces el VA es menos negativo, VA(r = 0,808) = -0,2834, aumenta, por lo que en el punto r = 0,8 el proyecto se comporta como un crédito.

Examinad la representación gráfica de este proyecto:

En resumen, considerando un proyecto con algunos flujos positivos y otros negativos y una tasa de descuento constante y no negativa:

Si al aumentar marginalmente la tasa r el VA disminuye, se trata de una inversión.
Si al aumentar marginalmente la tasa r el VA aumenta, se trata de un crédito.

6.El VAN como una función continua de la tasa de descuento r (nivel II)

Dado un proyecto cualquiera, que está caracterizado por unos flujos periodificados, K₀, K₁, K₂, ..., K_T (saldos netos):

0	1	2	...	T
K₀,	K₁,	K₂,	...	K_T

el VAN es una función continua de la tasa de descuento:

VAN (K_{t}, r) = K_{0} + K_{1} / (1 + r) + K_{2} / {(1 + r)}^{2} + ... + K_{T} / {(1 + r)}^{T} (14)

Por ejemplo, el VAN del proyecto S, con un ámbito temporal definido por los periodos 0, 1 y 2:

	0	1	2
S	–3	5	1

vale:

VAN (S; r) = - 3 + 5 / (1 + r) + 1 / {(1 + r)}^{2} (15)

El proyecto O tiene un ámbito temporal de 64 periodos (63 + 1), aunque la mayoría de los flujos son iguales a cero.

Representando solo los flujos no nulos:

	0	2	35	63
O	–4	6	8	5

el VAN de O vale:

VAN (O; r) = - 4 + 6 / {(1 + r)}^{2} + 8 / {(1 + r)}^{35} + 5 / {(1 + r)}^{63} (16)

El proyecto L tiene también un ámbito temporal de 64 periodos, con unos pocos flujos con valores no nulos y se ejecuta en el momento 1, con un periodo de retardo respecto al proyecto del ejemplo anterior:

	1	2	35	63
L	2	–5	10	10

Su VAN es de:

VAN (L; r) = 2 / (1 + r) - 5 / {(1 + r)}^{2} + 10 / {(1 + r)}^{35} + 10 / {(1 + r)}^{63} (17)

Actividad

Calculad algunos valores para el VAN(r) de los proyectos S, O y L:

VAN(r)	r = 0	r = 0,1	r = 0,5	r = 1
S	3	2,37	0,778	–0,25
O	15	1,26	–1,33	–2,5
L	17	–1,93	–0,889	–0,25

Aunque se toma siempre como punto para calcular el valor actual el periodo 0 y, además, lo habitual es que se defina como inicio de los proyectos el periodo 0, esta última convención se puede alterar a voluntad, dado que el cálculo del VAN admite que el signo de los periodos sea positivo o negativo, como en los proyectos E, R y A:

	–3	–2	–1	0	1	2
E			–5	6	6
R	2	2	0	0	2	–9
A			–6	12	–5

La interpretación es inmediata; el proyecto R se ejecuta en el momento –3 y los proyectos E y A se inician en el periodo –1. El VAN de estos proyectos vale, respectivamente:

\begin{array}{l} VAN (E; r) = −5· (1+r) + 6 + 6/ (1+r) \\ VAN (R; r) = 2· {(1+r)}^{3} + 2· {(1+r)}^{2} + 2/ (1+r) − 9/ {(1+r)}^{2} \\ VAN (A; r) = −6· (1+r) + 12 − 5/ (1+r) \end{array} (18)

Actividad

Calculad algunos valores para el VAN(r) de los proyectos E, R y A:

VAN(r)	r = 0	r = 0,1	r = 0,5	r = 1
E	7	5,95	2,5	–1
R	–3	–0,54	8,58	22,75
A	1	0,85	–0,33	–2,5

Representad ahora los datos de las funciones VAN(r) de los proyectos {S, O, L, E, R, A} en la gráfica:

7.La tasa de descuento en el VAN (nivel I)

El VAN de un proyecto, sea del tipo que sea, existe siempre. Como hemos visto en las secciones anteriores, la función VAN se puede emplear para caracterizar proyectos cuando su naturaleza no sea evidente. La caracterización del proyecto es importante porque el papel que tiene la tasa de descuento (la r) en una inversión, por ejemplo, es muy diferente del correspondiente a un crédito.

El VAN de una inversión disminuye a medida que aumenta la tasa de descuento r (la pendiente de la función VAN es negativa), dado que r representa el coste del capital, y cuanto más alto es el coste, más pequeña es la rentabilidad. El VAN contabiliza el beneficio (pérdida) total para llevar a cabo una inversión rentable (no rentable); expresa el aumento de la riqueza, en términos del momento presente, que se deriva de ejecutar el proyecto.

Cuando se trata de un crédito, el VAN aumenta con la tasa de descuento (la pendiente de la función VAN es positiva). La tasa r representa el tipo de interés de mercado (el precio del capital) y, considerando un coste determinado del crédito, consecuencia de los flujos de cobros y pagos correspondientes, cuanto mayor sea el tipo de interés, más favorable es la diferencia entre el coste efectivo del crédito y lo que resultaría de concertarlo al precio de mercado. El VAN refleja la ganancia (pérdida) total para obtener un crédito (comprar capital) a un precio inferior (superior) al de mercado.

Cuando la operación tiene la característica de regalo, el VAN decrece con la tasa de descuento. La tasa representa aquí la disminución de valor de un flujo por el hecho de no producirse en el presente, sino en un periodo futuro, en todo o en parte; el factor de descuento para un periodo genérico t vale

1 / {(1 + r)}^{t}

, como en cualquier otro caso.

Lo mismo ocurre cuando la operación tiene características de pérdida, si bien en este caso el VAN crece con la tasa, dado que cuanto mayor es la tasa, menor es la pérdida. El VAN expresa el valor total de la pérdida si se produjera en el momento actual.

En resumen, dados unos flujos periodificados y una tasa de descuento no negativa, las condiciones necesarias y suficientes para caracterizar una operación son las siguientes:

Inversión. Al aumentar la tasa r, el VAN disminuye. Los signos de los flujos pueden ser negativos o positivos.
Crédito. Al aumentar la tasa r, el VAN aumenta. Los signos de los flujos pueden ser negativos o positivos.
Regalo. Al aumentar marginalmente la tasa r, el VAN disminuye. Los signos de los flujos son todos positivos.
Pérdida. Al aumentar marginalmente la tasa r, el VAN aumenta. Los signos de los flujos son todos negativos.

El VAN del proyecto de inversión:

Periodos	0	1
Flujos	–10	12

vale:

VAN (r) = - 10 + 12 / (1 + r) (19)

donde, si r = 0:

VAN (r = 0 %) = - 10 + 12 = 2 (20)

y para r = 0,2:

VAN (r = 20 %,) = - 10 + 12 / 1, 2 = 0. (21)

El VAN de este proyecto es positivo para todos los valores de r inferiores al 20%

(r < 0, 2)

, negativo para valores mayores que el 20% y es cero cuando la tasa de descuento es del 20%,

r = 0, 2

. Cuanto mayor es el valor de r (el coste del capital), más pequeño es el valor del VAN (esto es, la rentabilidad de la inversión medida en términos absolutos, en cantidad total de dólares por ejemplo):

0	1	VAN(0%)	VAN(10%)	VAN(15%)	VAN(20%)	VAN(25%)	VAN(30%)
–10	12	2,000	0,909	0,435	0,000	–0,400	–0,769

El VAN(r) decrece siempre con la tasa de descuento porque es un proyecto de inversión.

Actividad

Representad los datos anteriores en la gráfica:

Para comprobar cómo varía el VAN según la tasa de descuento r en cada tipo de operación, utilizad la hoja de cálculo; id cambiando el valor de la tasa r, calculad el VAN correspondiente y observad si crece o decrece al aumentar la tasa de descuento:

	0	1	Operación	VAN(10%)	VAN(20%)	VAN(30%)
F	–1	2	inversión	0,818	0,667	0,538
I	1	–2	crédito	–0,818	–0,667	–0,538
L	1	2	regalo	2,818	2,667	2,538
O	–1	–2	pérdida	–2,818	–2,667	–2,538

Representad gráficamente los proyectos {F, I, L, O}:

Dado que la función VAN no siempre es monótona⁽¹⁾, conviene observar si crece o decrece en el punto relevante aumentando marginalmente la tasa de descuento (un 1 por mil, por ejemplo). El proyecto R tiene una TIR del 100% y el VAN se calcula con una tasa r del 10%. La función VAN no es monótona, por lo que interesa saber cómo se comporta (crece o decrece) en el punto relevante

(r = 10 %)

con independencia de que en otros puntos (como en

r * = 1

) suceda lo contrario:

⁽¹⁾Una función es monótona si siempre crece o siempre decrece. Si un proyecto se caracteriza por solo dos flujos y se ejecuta en el momento 0, entonces la función VAN es monótona. Una condición necesaria pero no suficiente para que el VAN tenga esta característica es que los flujos presenten un cambio de signo como máximo.

	0	1	2	VAN(r = 10%)	VAN(r = 10,01%)	VAN(r* = 100%)	VAN(r = 100,1%)
R	2	–8	8	1,3388	1,3383	0	0,0000005
				el VAN decrece		el VAN crece

El proyecto R se comporta como una inversión cuando la tasa es del 10%. Sin embargo, si la tasa adecuada fuera del 100%, entonces R adquiere la característica de crédito.

La tasa de descuento r no siempre es constante en el tiempo, y puede variar en cada periodo; en este caso, que es el general, la función VAN se expresa:

VAN = a_{0} + a_{1} / (1 + r_{1}) + a_{2} / [(1 + r_{1}) \cdot (1 + r_{2})] + ... + a_{T} / [(1 + r_{1}) \cdot (1 + r_{2}) \cdot ... \cdot (1 + r_{T})] (22)

y la interpretación del resultado es la habitual. Por ejemplo, supongamos que

r_{1} = 5 %

r_{2} = 7 %

son las tasas de descuento apropiadas para los periodos 1 y 2 respectivamente; entonces el VAN de proyecto:

0	1	2
–10	12	15

vale:

\begin{array}{l} VAN (r_{1} = 5 %, r_{2} = 7 %) = - 10 + 12 / 1,05 + 15 / (1,05 \cdot 1,07) = \\ = - 10 + 11,43 + 13,10 = 14,78 \end{array} (23)

8.El VAN no depende de la inflación (nivel II)

Los flujos de un proyecto pueden estar expresados en unidades físicas (u. f.):

Flujos en unidades físicas

	0	1	2	3	Unidades físicas
HT	–2	1	1	1	Horas de trabajo
TM	–100	–100	300	200	Toneladas de manganeso
BVT	66	30	10	–180	Botellas de vino tinto

El cuadro precedente expresa los flujos de dos inversiones y un crédito expresados en unidades físicas (u. f.). Se cambian dos horas de trabajo en el periodo actual por una hora en cada uno de los periodos uno, dos y tres; también se invierten cien toneladas de manganeso en el periodo cero y como contrapartida se consiguen trescientas toneladas en el periodo dos y doscientas en el tres y, finalmente, se consiguen sesenta y seis botellas de vino en el periodo cero, treinta en el uno y diez en el dos a cambio de entregar ciento ochenta en el tres.

Es habitual que los flujos se expresen en unidades monetarias constantes (u. m. constantes), que no es más que el resultado de multiplicar cada una de las cantidades expresadas en u. f. por el precio que rige en un periodo, típicamente el periodo inicial (el cero). Si en el periodo cero los precios de los proyectos de la tabla anterior son de

P^{0} HT = 10

P^{0} TM = 3

P^{0} BVT = 2

entonces las unidades de los flujos resultantes serán u. m. constantes del periodo cero:

Flujos en unidades monetarias (constantes)

	0	1	2	3	Unidades
HT	–20	10	10	10	u. m. constantes del periodo cero
TM	–300	–300	900	600	u. m. constantes del periodo cero
BVT	132	60	20	–360	u. m. constantes del periodo cero

Asimismo, en lugar de valorar todos los flujos al precio vigente en un mismo periodo (u. m. constantes), se pueden valorar los precios que rigen cada periodo, con lo que se obtienen unos flujos expresados en unidades monetarias corrientes (u. m. corrientes). Supongamos que f es la tasa de inflación, que por comodidad se supondrá constante; entonces, aplicando este aumento porcentual por periodo a los flujos anteriores, se obtienen los flujos expresados en u. m. corrientes:

Flujos en unidades monetarias (corrientes)

	0	1	2	3	Unidades
HT	–20	10(1 + f)	10(1 + f)²	10(1 + f)³	u. m. corrientes
TM	–300	–300(1 + f)	900(1 + f)²	600(1 + f)³	u. m. corrientes
BVT	132	60(1 + f)	20(1 + f)²	–360(1 + f)³	u. m. corrientes

Para calcular el VA se utiliza la tasa de descuento real r, cuando los flujos están expresados en unidades físicas o en unidades monetarias constantes, o la tasa nominal i, que es la adecuada para actualizar los flujos expresados en u. m. corrientes. La relación entre la tasa nominal i, la real r y la tasa de inflación f es

\begin{matrix} (1 + i) = (1 + r) \cdot (1 + f) \end{matrix}

El VA del coste del trabajo (HT) se puede calcular a partir de los datos en unidades físicas:

VA (HT; u . f) = - 2 + 1 / (1 + r) + 1 / {(1 + r)}^{2} + 1 / {(1 + r)}^{3} unidades físicas (24)

Este VA se puede expresar fácilmente en u. m. constantes (del periodo 0); basta con multiplicarlo por el precio del periodo inicial, que vale

P^{0} HT = 10

\begin{array}{l} VA (HT; u . m . constantes) = 10 \cdot VA (HT; u . f .) = \\ = 10 \cdot [- 2 + 1 / (1 + r) + 1 / {(1 + r)}^{2} + 1 / {(1 + r)}^{3}] \end{array} (25)

El VA del trabajo, calculado a partir de los flujos en u. m. corrientes, vale:

\begin{array}{l} VA (HT; u.m. corrientes) = - 20 + 10 (1 + f) / (1 + i) + 10 {(1 + f)}^{2} / {(1 + i)}^{2} + 10 {(1 + f)}^{3} / {(1 + i)}^{3} = \\ = - 20 + 10 (1 + f) / (1 + r) (1 + f) + 10 {(1 + f)}^{2} / {(1 + r)}^{2} (1 + f) 2 + 10 {(1 + f)}^{3} / {(1 + r)}^{3} {(1 + f)}^{3} = \\ = - 20 + 10 / (1 + r) + 10 / {(1 + r)}^{2} + 10 / {(1 + r)}^{3} = \\ = 10 \cdot VA (HT; u. f.) = \\ = (P^{0} HT) \cdot VA (HT; u. f.) \end{array} (26)

Pero algunos precios concretos pueden variar de manera muy diferente que la tasa de inflación f y, en este caso, la regularidad observada entre los flujos expresados en unas u otras unidades no se mantiene. Si los precios de las horas de trabajo HT en cada periodo son

P^{0} HT = {10 P}^{1} HT = {11 P}^{2} HT = {14 P}^{3} HT = 12

, entonces se obtiene:

Periodos	0	1	2	3	Unidades
HT	–2	1	1	1	u. f. (horas de trabajo)
P^t_HT	10	11	14	12	precios
HT·(P^t_HT)	–20	11	14	12	u. m. corrientes

Para que sea más fácil comparar estos datos de coste con otros, se pueden transformar en u. m. constantes. Para ello, como antes, basta con descontar la inflación:

Periodos	0	1	2	3	Unidades
HT	–2	1	1	1	u. f. (horas de trabajo)
HT·(PtHT)	–20	11	14	12	u. m. corrientes
HT	–20	11/(1 + f)	14/(1 + f)²	12/(1 + f)³	u. m. constantes

El VA(HT), calculado a partir de las u. m. corrientes, es ahora de:

VA (HT; u . m . corrientes) = - 20 + 11 / (1 + i) + 14 / {(1 + i)}^{2} + 12 / {(1 + i)}^{3} (27)

valor que es diferente del encontrado en (25) a causa de que el aumento en los precios no coincide con la tasa de inflación. El VA(HT) se puede calcular también a partir de los flujos en u. m. constantes:

VA (HT; u . m . constantes) = - 20 + 11 / (1 + f) (1 + r) + 14 / {(1 + f)}^{2} {(1 + r)}^{2} + 12 / {(1 + f)}^{3} {(1 + r)}^{3} (28)

y el resultado coincide con lo encontrado en (27), dado que como hemos visto en (*):

{(1 + i)}^{t} = {(1 + r)}^{t} {(1 + f)}^{t} (29)

En resumen, cuando los precios que valoran los impactos de un proyecto en cada periodo varían igual que la inflación, entonces es indiferente calcular el VA a partir de flujos en unidades monetarias constantes o corrientes. Supongamos que

X_{t}

son los impactos de un proyecto en un periodo genérico t, medidos en unidades físicas; si el precio en el periodo inicial 0 es

P_{0}

, se obtiene

K_{t} = X_{t} P_{0}

(u. m. constantes), flujo que descontado con la tasa real resulta:

VAN (\cdot) = X_{t} P_{0} / {(1 + r)}^{t} (30)

Para pasar el flujo

K_{t}

a u. m. corrientes basta con conocer el precio

P_{t}

, que por hipótesis se va modificando igual que la inflación, esto es

P_{t} = P 0 {(1 + f)}^{t}

, y se obtiene

R_{t} = X_{t} P_{0} {(1 + f)}^{t}

(u. m. corrientes). Este flujo se debe descontar de la tasa nominal, y por lo tanto y recordando la relación entre la tasa nominal y real (*), resulta:

\begin{array}{l} VAN (\cdot) = X_{t} P_{0} {(1 + f)}^{t} / {(1 + i)}^{t} = \\ = X_{t} P_{0} {(1 + f)}^{t} / [{(1 + r)}^{t} {(1 + f)}^{t}] = \\ = X_{t} P_{0} / {(1 + r)}^{t} \end{array} (31)

con lo que el VAN computado a partir de u. m. corrientes coincide con el calculado con los flujos en u. m. constantes.

Pero los precios que afectan a los flujos de un proyecto específico se pueden modificar de manera muy diferente a lo que refleja la tasa de inflación f. En este caso, el precio de un impacto cualquiera en un periodo genérico t,

P_{t}

, será tal que

P_{t} \neq P_{0} {(1 + f)}^{t}

. Lo correcto en estos casos es primero pasar los flujos a u. m. corrientes usando la valoración de los precios

P_{t}

que regirán en cada periodo y, segundo, calcular el VAN mediante la tasa de descuento nominal y, lo que sería lo mismo, descontando la inflación de los flujos expresados en u. m. corrientes, con lo que se obtendrían u. m. constantes, y computar el VAN con la tasa de descuento real r.

9.El VAN de un proyecto según la escala de ejecución (nivel II)

Si se ejecutan N proyectos idénticos –una cadena de tiendas, por ejemplo–, el VAN resultante es igual a N veces el VAN del proyecto original. La relación es, pues, de estricta proporcionalidad:

	0	1	Operación	VAN(10%)	Observaciones
A	–1	2	Inversión	0,8182
2A	–2	4	Inversión	1,6364
10A	–10	20	Inversión	8,1818	VAN(k·A) = k·VAN(A) ∀ k
50A	–50	100	Inversión	40,9091

10.La rentabilidad de un proyecto según el VAN (nivel I)

El criterio para no rechazar un proyecto es siempre el mismo para cualquier tipo de operación: VAN > 0.

Si el VAN de una operación es positivo (negativo), el de la operación contraria será negativo (positivo). Lo mismo ocurre con el crecimiento o decrecimiento del VAN respecto a la tasa r, como recordaréis observando los proyectos siguientes:

	0	1	Operación	VAN(2%)	VAN(7%)	El VAN:
A	–100	105	Inversión	2,94	–1,87	disminuye con la tasa r
B	100	–105	Crédito	–2,94	1,87	aumenta con la tasa r
C	–100	–105	Pérdida	–202,9	–198,1	aumenta con la tasa r
D	100	105	Regalo	202,9	198,1	disminuye con la tasa r

Actividad

Manteniendo el valor de la tasa de descuento en el 10%, determinad el tipo de operación de la que se trata y comparad la rentabilidad de los proyectos que se expresan a continuación según el valor del VAN de cada uno. Repetid la operación con una tasa del 150% y comparadla con los resultados anteriores. Observad que si un proyecto es rentable, el proyecto inverso, formado por los mismos flujos cambiados de signo, no lo es, y viceversa. Para cualquier tasa positiva, los regalos son siempre rentables, pero las pérdidas nunca lo son, mientras que una inversión o un crédito serán interesantes o no según la tasa de descuento.

	0	1	Operación	VAN(10%)	¿Es rentable?	VAN(150%)	¿Es rentable?
J	–1	2	inversión	0,8182	Sí	–0,2	No
O	1	–2	crédito	–0,8182	No	0,2	Sí
T	1	2	regalo	2,8182	Sí	1,8	Sí
A	–1	–2	pérdida	–2,8182	No	–1,8	No

11.Comparación de dos o más proyectos según el VAN (nivel I)

El criterio básico es el mismo para cualquier tipo de proyecto: entre dos proyectos, todo el resto constante, se elegirá el que tenga un VAN mayor. En la práctica habrá que matizar este criterio, como veremos más adelante. Observad los proyectos que se presentan en la tabla:

	0	1	2	VAN(10%)	Observaciones
S	–1	2		0,8181	Inversión rentable
O	–1	0	5	3,1322	Inversión rentable
N	–1	–1	10	6,3554	Inversión rentable
R	–10	20		8,1818	Inversión rentable
I	–10	0	50	31,3223	Inversión rentable
A	–10	–10	100	63,5537	Inversión rentable

Los proyectos S, ..., A, están ordenados de VAN menor a mayor. Teniendo en cuenta los supuestos habituales, esta ordenación es correcta. Sin embargo, en una situación más realista, estos proyectos son difícilmente comparables de manera directa, porque el ámbito temporal es diferente (dos periodos para unos proyectos y tres para otros) y porque la cantidad que hay que invertir tampoco es la misma. Las dificultades para que no se cumpla la cláusula ceteris paribus (todo lo demás constante) las abordamos más adelante.

Actividad

Representad los proyectos {S, O, N, R, I, A}:

Otra manera de comparar dos proyectos cualesquiera A y B es calcular el VAN de la diferencia, VAN(A - B). Si VAN(A - B) > 0 esto significa que el proyecto A es preferible que el B. Al calcular el VAN del proyecto diferencia VAN(A - B) se está determinando lo que se gana para ejecutar A en lugar de B, esto es, el coste de oportunidad en el que se incurriría si se ejecutara el proyecto menos rentable, medido en términos absolutos. En resumen:

\begin{matrix} A es preferible a B \Leftrightarrow VAN (A) > VAN (B) \Leftrightarrow VAN (A - B) > 0 \end{matrix}

Actividad

Comprobad, numérica y gráficamente, que, dados los proyectos U y F, se cumple

VAN (U) > VAN (F) \Leftrightarrow VAN (U - F) > 0

El VAN es capaz de elegir el mejor proyecto aunque no se trate de inversiones ni créditos, sino de regalos y pérdidas.

Actividad

Elegid el mejor proyecto entre S y P y el menos malo entre Q y R:

	0	1	2	Operación	VAN(10%)	Observaciones
S	3	3	1	Regalo	6,55
P	2	2	5	Regalo	7,95	Es mejor P que S
Q	–10	–10	–20	Pérdida	–35,62
R	–20	–7	–7	Pérdida	–32,15	Es mejor R que Q

El VAN permite comparar proyectos de diferente tipo. Así, es posible decidir si es mejor aceptar el regalo A o llevar a cabo la inversión M, por ejemplo. Comparad todos los proyectos examinados en esta sección, ordenadlos de VAN mayor a VAN menor y tratad de establecer una regla general, por ejemplo, “todo proyecto de pérdida es peor que cualquier regalo, por insignificante que sea el regalo” o “siempre es posible encontrar el regalo más pequeño que sea capaz de disuadir a un promotor para que desista de una inversión”.

Finalmente, y no por ello menos importante, conviene no olvidar que el VAN mide una sola característica del proyecto, la rentabilidad que proporciona en términos absolutos. Dado que en la práctica las cosas suelen ser más complicadas de lo que sugieren los manuales, no es extraño que un solo indicador no sea suficiente para conocer la deseabilidad de un proyecto cualquiera. En particular, el VAN no depende de la duración del proyecto. Como se muestra en la tabla, los proyectos X, Y, Z y W tienen el mismo VAN y sin embargo son diferentes. El proyecto X dura dos periodos, el Y y el Z tres y el W tiene una vida de cuatro periodos. Además, el X y el Z empiezan en el momento número uno, mientras que el Y y el W se ejecutan en el periodo cero.

	0	1	2	3	VAN(r = 1)
X		–1	2		1,8182
Y	0	–1	2		1,8182
Z		–1	2	0	1,8182
W	0	–1	2	0	1,8182

Para enfatizar la importancia de la duración, considerad los dos proyectos siguientes y preguntaos si no es preferible el proyecto A, que dura dos años, que el B, que dura ciento uno, a pesar de que el VAN de A es inferior al de B:

	0	1	2		99	100	VAN(r = 10%)	Observaciones
A	–1	2				1,8182
B	–1	0	0	...	0	40000	1,9026

En los apartados siguientes analizamos esta característica de los proyectos, la duración, con más detalle.

12.El VAN según el momento en el que se ejecuta (nivel II)

Si un proyecto es rentable, cuanto antes se lleve a cabo, mejor. Si no se ejecuta inmediatamente se incurre en un coste de oportunidad, que es mucho más elevado cuanto mayor sea el VAN del proyecto original y cuanto más tiempo se aplace.

Actividad

Comparad los proyectos A y B y observad cómo disminuye el VAN a medida que aumenta el retraso en su ejecución (un periodo –

A_{1}

B_{1}

–, cuatro periodos –

A_{4}

– y tres periodos –

B_{3}

– en el ejemplo):

	0	1	2	3	4	5	VAN(10%)
A	–1	2					0,8182
A1		–1	2				0,7438
A4					–1	2	0,5588
B	–10	20					8,1818
B1		–10	20				7,4380
B3				–10	20		6,1471

Actividad

Con un examen gráfico, observad las relaciones de dominio entre un proyecto rentable y el mismo proyecto cuando se retrasa la ejecución:

De paso, observad que se pueden tener en cuenta números de periodo negativos sin ningún problema, como en el proyecto Ç:

	–2	–1	0	1	2	3
	–20	–20	70	25	–33	47

El VAN de Ç vale:

\begin{array}{l} VAN (Ç) = - 20 \cdot {(1 + r)}^{2} - 20 (1 + r) + 70 + 25 / (1 + r) - 33 / {(1 + r)}^{2} + 47 / {(1 + r)}^{3} = \\ = 54,57 con una tasa de r = 10 % \end{array} (32)

Actividad

Comparad ahora el VAN del proyecto A con el VAN de este mismo proyecto avanzándolo dos periodos, VAN(

A_{- 2}

), o retrasándolo uno, VAN(

A_{1}

	–2	–1	0	1	2	VAN(10%)
A			–1	2		0,8182
A_–2	–1	2				0,9900
A₁				–1	2	0,7438

Repetid el ejercicio anterior con una tasa superior al

100 % (r > 1)

. Encontraréis que la ordenación de mejor a peor es ahora la contraria que antes:

{A_{1}, A, A_{- 2}}

. Dado que para tasas superiores al 100% el proyecto A no es rentable, lo ideal sería no ejecutarlo nunca y cuanto más se atrase la ejecución de A, mejor.

13.El mejor orden de una serie de proyectos según el VAN (nivel III)

Como hemos visto en el apartado anterior, dada una serie de proyectos rentables, lo mejor sería ejecutarlos todos simultáneamente. Pero esto no siempre será posible debido a las restricciones inevitables en los recursos disponibles, por lo que hay que plantearse cuál es el mejor orden de prioridad en la ejecución de los proyectos preseleccionados.

Actividad

Supongamos los proyectos originales A, B y C; repasad que VAN(A) + VAN(B) + VAN(C) = VAN(A + B + C); comparad el resultado de ejecutar todos los proyectos a la vez, VAN(A + B + C), con el de ejecutarlos uno tras otro en el orden ABC, VAN(ABC), en el orden ACB, VAN(ACB), y con la ejecución simultánea de A y B seguido por el C superpuesto un periodo,

VAN ([A + B] C_{- 1})

	0	1	2	3	4	5	VAN(10%)	Observaciones
A	–1	2					0,8182	Inversión
B	–3	7					3,3636	Inversión
C	–2	3					0,7273	Inversión
A + B + C	–6	12					4,9091	Inversión
ABC	–1	2	–3	7	–2	3	4,0948	Inversión
ACB	–1	2	–2	3	–3	7	3,7166	Inversión
[A + B] C _–1	–4	7	3				4,8430	Inversión

El valor de un proyecto genérico X que no se ejecuta inmediatamente (o sea, en el periodo 0), sino con un retraso de d periodos, es de:

VAN (X; d) = VAN (X; 0) {(1 + r)}^{- d} (33)

Cuando no todos los proyectos seleccionados se pueden ejecutar simultáneamente, se plantea el problema de encontrar la ordenación óptima. A continuación examinaremos el caso particular en el que no es posible ejecutar un proyecto hasta después de que el anterior haya acabado. El mejor orden entre dos proyectos genéricos X e Y con rentabilidades VAN(X) y VAN(Y) y duraciones de x e y, respectivamente, será el que proporcione un mayor beneficio en términos del VAN total:

\begin{array}{l} el orden XY será preferible al orden YX⇔VAN (XY) > VAN (YX) ⇔ \\ ⇔VAN (X) + VAN (Y) \cdot [{(1 + r)}^{- x}] > VAN (Y) + VAN (X) \cdot [{(1 + r)}^{- y}] ⇔ \\ ⇔VAN (X) - VAN (X) \cdot [{(1 + r)}^{- y}] > VAN (Y) - VAN (X) \cdot [{(1 + r)}^{- y}] ⇔ \\ ⇔VAN (X) \cdot [1 - {(1 + r)}^{- y}] > VAN (Y) \cdot [1 - {(1 + r)}^{- x}] \\ ⇔VAN (X) / [1 - {(1 + r)}^{- x}] > VAN (Y) / [1 - {(1 + r)}^{- y}] \\ ⇔VR (X) > VR (Y) \end{array} (34)

donde VR(X) y VR(Y) se definen como el valor de reserva de X y de Y, respectivamente.

14.La TIR como una función inversa del VAN (nivel I)

Ana deja 100 u. m. a Óscar durante un periodo. Si todo va bien, pasado el tiempo fijado Ana recibirá las 100 u. m. prestadas más 7 más en concepto de intereses, porque ha pactado con Óscar un tipo de interés del 7%

(r * = 0,07)

. Ana actúa como prestamista y al conceder un crédito a Óscar está llevando a cabo una inversión. El proyecto de inversión de Ana se resume en una cantidad de (–100) en el periodo 0 y (+107) en el 1:

	0	1	Operación
Ana	–100	107	Inversión

Para Óscar, que asume el papel de prestador, esta operación tiene la característica de crédito; los flujos son los mismos que para Ana pero con el signo contrario, consigue 100 en el periodo 0 y debe pagar 107 en el 1. En resumen, 100 en 0 y –107 en 1:

	0	1	Operación
Óscar	100	–107	Crédito

Para conocer mejor estas operaciones, se han calculado algunos valores para la función VAN:

	0	1	VAN(0%)	VAN(3%)	VAN(5%)	VAN(7%)	VAN(10%)
Ana	–100	107	7,00	3,88	1,90	0	–2,73
Óscar	100	–107	–7,00	–3,88	–1,90	0	2,73

Lo primero que se observa en el cuadro es que Ana y Óscar están en polos opuestos. Todo lo que es positivo para él es negativo para ella, y viceversa, y además en igual medida.

Cuando la tasa de descuento es nula (el precio de mercado del capital es cero), Ana obtiene un VAN positivo, mientras que Óscar consigue exactamente la misma cantidad, pero con el signo contrario; una tasa nula significaría que es posible conseguir capital a precio cero; por lo tanto, Ana gana al prestar el 7% lo que le cuesta el 0% y Óscar pierde al elegir un crédito del 7% cuando lo podría conseguir por nada. Ocurre lo mismo, aunque en menor medida, si la tasa de descuento es del 3 o del 5%; Ana continúa ganando al invertir al 7% el capital que puede conseguir a un precio más bajo; el beneficio de Ana se compensa con lo que pierde Óscar por comprar a un precio superior al de mercado; en términos netos, Ana gana (Óscar pierde) cuatro puntos

(7 % - 3 %)

o dos puntos

(7 % - 5 %)

según si la tasa de descuento es del 3 o del 5%.

Es interesante ver lo que sucede cuando la tasa de descuento apropiada –el coste o precio de capital– es del 7%: para esta tasa el VAN de los proyectos de nuestros héroes es nulo,

VAN (r = 7 %) = 0

. El significado está claro: no hay ganancias extraordinarias para el que vende a precio de mercado ni costes de oportunidad para el que compra al mismo precio.

La tasa r* para la que el VAN es cero es la tasa de crecimiento del capital y mide la rentabilidad de las inversiones y el coste de los créditos, en términos relativos.

El VAN de Óscar –o el de Ana, da igual– se anula para un valor de r = 0,07, lo que significa que la TIR es del 7%. En consecuencia, Ana obtiene una rentabilidad del 7% de su inversión y el coste del crédito para Óscar es también del 7%. Se llega a este mismo resultado de manera más directa usando la definición de TIR.

La TIR es toda aquella r* de modo que VAN(r*) = 0. O sea, igualando el VAN a cero y calculando la r que cumple esta condición.

Si Ana busca la TIR de su proyecto de inversión, resolverá la sencilla ecuación:

\begin{array}{l} VAN (r) = - 100 + 107 / (1 + r) = 0 \\ 107 / (1 + r) = 100 \\ 107 / 100 = (1 + r) \\ r * = 0,07 = 7 % \end{array} (35)

Dado que para

r * = 0,0 7

VAN = 0

, el valor de la TIR es del 7% y coincide con lo que encontraría Óscar, aunque cada uno lo interpretará de manera opuesta. Para la inversora Ana, cuanto mayor sea la TIR, mejor, porque cuanto más alta sea la TIR, mayor es la rentabilidad que consigue. Por el contrario, Óscar quiere una TIR tan baja como sea posible, porque cuanto más baja es la TIR, más pequeño es el coste de su crédito.

Actividad

Representad los proyectos de Ana y Óscar:

Los cálculos que han llevado a cabo Ana y Óscar se pueden sistematizar, de manera que sirvan para cualquier otro caso del mismo tipo.

Dados los flujos periodificados

K_{t}

de un proyecto, se define la TIR como la tasa r* de manera que:

VAN (K_{t}, r *) = K_{0} + K_{1} {(1 + r *)}^{- 1} + K_{2} {(1 + r *)}^{- 2} + ... + K_{T} {(1 + r *)}^{- T} = 0 (36)

Por lo tanto, la TIR es la raíz de la función

VAN (K_{t}, r *)

, r* en el proyecto de inversión de la gráfica:

Si r* es la TIR de

VAN (K_{t}, r *)

, también es la TIR del proyecto contrario, esto es, de

VAN (- K_{t}, r *)

. El valor de r* es el mismo pero la interpretación cambia. La TIR de un crédito refleja el coste para el prestatario y la rentabilidad para el prestamista. Por lo tanto, cuanto mayor (pequeña) sea la TIR, mejor (peor) para el prestamista y peor (mejor) para el prestatario.

Dado que la TIR no es más que la intersección con el eje de abscisas –r– de la función

VAN (K_{t}, r *)

, si no hay intersección la TIR no existe. Por este motivo, la TIR no permite comparar proyectos con todos los flujos del mismo signo, es decir, con característica de regalo o de pérdida y no es completo como criterio de decisión.

Para que haya una TIR real, es necesario que no todos los flujos tengan el mismo signo, pero no es suficiente, como se pone de manifiesto al dibujar la gráfica VAN(r) del proyecto siguiente, que es una inversión para tasas superiores al 5%:

0	1	2	TIR	Observaciones
–100	200	–105		No existe raíz real

Actividad

Calculad la TIR de los proyectos que siguen, después de observar cómo evoluciona el VAN según la tasa de descuento. Dado que no siempre se tiene a mano una hoja de cálculo, es útil saber calcular la TIR por el método de prueba y error; intentadlo, si se sigue un método razonable, con dos o tres iteraciones basta para conseguir la TIR con una buena aproximación.

El método de la “caza del león en el desierto” funciona muy bien. Antes de nada, se divide el desierto en dos partes, esto es, se buscan dos valores de r, de manera que para uno –r₁– el VAN sea positivo y para el otro –r₂– negativo; entonces no falla: si el león no está en una parte es que está en la otra, o sea, la TIR estará en algún lugar entre r₁ y r₂ porque la función VAN es continua. Se toma ahora el valor medio r₃ = (r₁ + r₂)/2 y, como antes, pueden pasar dos cosas: o el VAN(r₃) es positivo o es negativo. Si el VAN(r₃) es positivo, esto indica que el león se encuentra entre r₂ y r₃; entonces se calculará el VAN de r₄ = (r₂ + r₃)/2. Si el VAN(r₃) es negativo, está claro que el león se encuentra en algún punto entre r₁ y r₃, por lo que el nuevo punto que hay que explorar será r₄ = (r₁ + r₃)/2. Se va procediendo de este modo, dividiendo el desierto y delimitando zonas cada vez más pequeñas donde se encuentra el león, hasta que se ha marcado un espacio que es más pequeño que la jaula de la que se dispone –esto es, se consigue la precisión deseada en el cálculo de la TIR–, se coloca la jaula en este lugar y, sin duda, el león estará dentro; furioso, pero dentro.

	0	1	Operación	VAN(10%)	VAN(20%)	VAN(30%)	TIR
J	–10	11,1	Inversión	0,0909	–0,75	–1,4615	11,0%
U	–10	20,0	Inversión	8,1818	6,6667	5,3846	100,0%
E	–10	9	Inversión	–1,8182	–2,5	–3,0769	–10%
G	10	–10,5	Crédito	0,4545	1,25	1,9231	5,0%
O	10	–11,3	Crédito	–0,2727	0,5833	1,3077	13,0%

15.La rentabilidad de un proyecto según la TIR (nivel I)

A diferencia del VAN, que tiene una única regla de decisión para cualquier tipo de proyecto,

VAN > 0

, para decidir si se rechaza un proyecto usando la TIR es indispensable conocer el tipo de proyecto del que se trata; si

r_{0}

es la tasa de descuento de referencia, el criterio para no rechazar un proyecto es:

Inversión	Crédito
r* > r₀	r* ≤ r₀

Actividad

Caracterizad los siguientes proyectos, calculad el VAN para las tasas

r = 10 %

r = 20 %

r = 200 %

. Determinad el valor o valores de la TIR de cada proyecto, teniendo en cuenta que la TIR no siempre existe.

	0	1	2	Operación	VAN(10%)	VAN(20%)	VAN(200%)	TIR
A	–10	11			0	–0,8333	–6,3333	10%
S	10	–25		Crédito	–12,727	–10,8333	1,6667	150%
C	–10	–25		Pérdida	–32,727	–30,8333	–18,3333	No existe
E	–10	9,9			–1,00	–1,75	–6,7	–1,0%
T	–10	10			–0,9091	–1,6667	–6,6667	0,0%
I	–1	10,5	–10		0,2810	0,8056	1,3889	5,92 y 844,1
C	2	–8	7		0,5124	0,1944	0,1111	29,3% y 170,7%

Cuando un proyecto presenta más de un cambio de signo en los flujos, se ha de sospechar que hay más de una TIR y se tienen que encontrar todas.

Actividad

Representad la función VAN(r), encontrad las dos TIR del proyecto A y las tres del B y, en ambos casos, calibrad las consecuencias de asumir una de las TIR del proyecto al azar y considerarla como única:

	0	1	2	TIR
A	200.000	–800.000	799.999	99,8% y 100,2%

	0	1	2	3	4	5	TIR
B	10	–80	74	–10	105	–100	3,17%, 16,01% y 592,5%

Cuando la tasa de descuento de referencia

r_{0}

no es constante, la interpretación del resultado en términos de deseabilidad del proyecto no es tan clara si se usa la TIR.

Actividad

Dadas las tasas que reflejan el coste de oportunidad del capital en los periodos 1 y 2,

r_{1} = 6 %

r {}_{2}= 10 %

, intentad decidir si es rentable la inversión:

	0	1	2	TIR	Observaciones
ZZ	–200	106	122	8,98%

16.Comparación de dos o más proyectos según la TIR (nivel I)

Si todo el resto es constante, entre dos proyectos se preferirá el que presente una TIR mayor si se trata de inversiones (más rentabilidad), y el que presente una más pequeña si se trata de créditos (menos coste). La comparación entre dos proyectos de diferente tipo (una inversión con un crédito, por ejemplo) no se puede llevar a cabo de manera directa, sobre todo cuando uno o más tienen la característica de regalo o de pérdida.

Actividad

Calculad la TIR de los proyectos L, A, ..., S, ordenadlos de TIR mayor a menor, e indicad en cada caso si son mejores o peores que el proyecto F, considerando que el coste del capital es del 10% (

r_{0} = 0, 1

0	1	2	TIR	Mejor	Peor	Observaciones
–1	1	2	100%
–1	1	1	61,8%
–10	9	11	59,1%
10	–9	–10	54,66%
–50	40	40	37,98%
60	–50	–40	33,33%
–90	7	6	–70%
90	90	90	No existe	?	?	No comparable según la TIR
–1	6	–9	200%			Paradoja: VAN < 0 r₂

Para comparar dos proyectos, A y B, siguiendo el criterio de la TIR, es preferible recurrir a la formación del proyecto diferencia

D = A - B

. Si

r_{D}

es la TIR de D y

r_{0}

el coste del capital, el proyecto A será preferible que el B cuando:

r_D > r₀	Si el proyecto D es una inversión
r_D ≤ r₀	Si el proyecto D tiene las características de un crédito
Siempre que el proyecto D tenga la característica de un regalo (todos los flujos no negativos)

De manera que el proyecto B será preferible al proyecto A si al formar el proyecto

D = A - B

y calculando la

{TIR r}_{D}

resulta:

r_D > r₀	Si el proyecto D tiene las características de un crédito
r_D ≤ r₀	Si el proyecto D es una inversión
Siempre que el proyecto D tenga la característica de una pérdida (todos los flujos no positivos)

Actividad

Repetid el ejercicio anterior formando el proyecto diferencia y comparad los resultados. Intentad elegir el mejor proyecto o, al menos, observad las relaciones de preferencia entre algunos pares de proyectos como alternativa al F y no olvidéis caracterizar cada proyecto, (F - L), ..., (F - S), antes de interpretar los resultados:

	0	1	2	TIR	Mejor	Peor	Observaciones
F	–1	1	2	100%
F – L	0	0	1	No existe	?	?	Regalo
F – A	9	–8	–9	53,88			Crédito
F – M	–11	10	12	59,36
F – E	49	–39	–38	36,43			Crédito
F – N	–61	49	42	32,35
F – C	89	–6	–4	–75,16			Crédito
F – O	–91	–89	–88	No existe			Pérdida
F – S	0	3	11	No existe			Regalo

17.Algunas ventajas de la TIR frente al VAN (nivel II)

A diferencia del VAN, que es un indicador de rentabilidad en términos absolutos, la TIR proporciona la rentabilidad en términos relativos. Por este motivo, la comparación de dos proyectos muy diferentes puede ser más fácil con la TIR. Considerad, por ejemplo, los proyectos X e Y que se presentan en la tabla que sigue. A juzgar por el VAN, es mejor X que Y, puesto que

VAN (X) = 100 > VAN (Y) = 90

; sin embargo, la inversión inicial necesaria para conseguir estos resultados difiere: hay que invertir 50 en el proyecto X y solo 10 en el Y. La TIR indica con claridad que es preferible Y que X, lo que significa que lo ideal sería ejecutar cinco proyectos como Y. Naturalmente, no siempre será posible invertir todos los recursos (50) en proyectos como Y, por lo que la superioridad de Y respecto a X depende de las posibilidades de inversión y de reinversión. Suponed que si se invierte en Y, la única posibilidad para canalizar el resto de los recursos (40) es el proyecto Z, que es peor que Y y peor que X. Con todo, el resultado de ejecutar el proyecto Y y el Z, o sea (Y + Z), es superior al de ejecutar X, tanto por el VAN como por la TIR.

	0	1	VAN(r = 10%)	TIR
X	–50	165	100	230%
Y	–10	110	90	1.000%
5Y	–50	550	450	1.000%
Z	–40	80	32,7	100%
Y + Z	–50	190	122,7	280%

A veces, el uso de la TIR permite superar algunos problemas de falta de información. Para financiar un programa de medicina preventiva se quitan recursos del sistema hospitalario convencional. El resultado implica aumentar las defunciones en el periodo actual a cambio de disminuirlas en mayor medida en el periodo siguiente. Al tratar de valorar proyectos de esta naturaleza se choca con dos problemas espinosos: por un lado, hay que decidir qué vale la vida humana y, por otro, se debe encontrar la tasa de descuento apropiada. La imposibilidad de calcular el VAN no representa más problema con los dos proyectos U y V que se expresan a continuación; a pesar de que los costes y beneficios están valorados en vidas humanas (H), no solo está claro que V es mejor que U, sino que todo sugiere que V es un proyecto atractivo y que U no lo es en absoluto, según sus valores de TIR:

	0	1	VAN(r = ?)	TIR
U	–100 H	102 H	?	2%
V	–100 H	600 H	?	500%

18.La TIR ante cambios de escala y momento de ejecución (nivel II)

Dado que se trata de una medida de rentabilidad que no es absoluta sino relativa, la TIR mantiene el valor sea cual sea la escala en la que se ejecute un proyecto. Si una empresa consigue una rentabilidad de r*, el conjunto formado por cualquier cantidad de empresas idénticas a la primera obtendrá también una rentabilidad de r*. Dicho de otro modo, al multiplicar todos los flujos de un proyecto por una constante cualquiera, el valor de la TIR se mantiene invariable incluso cuando la constante es negativa:

	0	1	TIR
A	–1	1,5	50%
2A	–2	3	50%
10A	–10	15	50%
50A	–50	75	50%
–50A	50	–75	50%

Observad que, a pesar de que las gráficas VAN(r) son diferentes para cada uno de los proyectos anteriores, comparten el mismo punto de intersección con el eje de abscisas, esto es, tienen la misma TIR:

Asimismo, la TIR se mantiene constante ante cambios en el momento de ejecución de un proyecto, por lo que no proporciona ninguna indicación sobre los costes en los que se incurre por el hecho de retrasar un proyecto rentable o los beneficios de avanzarlo:

	–2	–1	0	1	3	4	TIR
K			–10	11			10%
K_–2	–10	11					10%
K₃					–10	11	10%

Igual que en el caso anterior, cada proyecto se corresponde con una función VAN diferente pero todos cortan el eje de la tasa r en el mismo punto porque tienen la misma TIR:

19.La TIR ante cambios en el orden de dos proyectos (nivel III)

La TIR, sin duda, no es un buen instrumento para elegir el mejor orden de ejecución de una serie de proyectos. Dados dos o más proyectos rentables, es sabido que cuantos más se lleven a cabo, mejor, y lo ideal es ejecutarlos todos a la vez. Sin embargo, si se siguiera ciegamente el criterio de la TIR, en el ejemplo que se presenta a continuación se encontraría que la mejor opción, que no puede ser otra que (A + B + C), no está situada en el primer lugar, sino que quedaría postergada por la alternativa ABC y otras.

Actividad

Observad la disparidad entre la selección de estas alternativas según la TIR y siguiendo el criterio correcto elegir la opción que proporciona un VAN más alto:

	0	1	2	3	4	5	TIR	VAN(10%)
A	–1	2					100%	0,82
B	–3	7					133,7%	3,36
C	–2	3					50%	0,73
A + B + C	–6	12					100%	4,91
ABC	–1	2	–3	7	–2	3	109,8%	4,1
ACB	–1	2	–2	3	–3	7	88,8%	3,72
[A + B] C_–1	–4	7	3				110,61%	4,84

20.Limitaciones (superables) de los métodos VAN y TIR (nivel III)

Tanto el VAN como la TIR son criterios muy útiles para determinar la bondad de un proyecto, si se tienen en cuenta sus limitaciones. El proceso que hay que seguir es simple; se trata de explicitar los supuestos que están en la base del VAN y la TIR, examinar las consecuencias de aplicar estos criterios cuando un supuesto determinado no se cumple en el supuesto que se examina y encontrar una solución. En este apartado pondremos el énfasis en los problemas que surgen como consecuencia de un uso inadecuado y la manera apropiada de abordarlos, sin necesidad de recurrir a otros modelos.

20.1.La tasa de descuento

Como es obvio, se supone que la tasa de descuento r es conocida. En el caso más típico, los flujos estarán expresados en unidades monetarias o en unidades convertibles en dinero, de modo que siempre se puede recurrir al coste de oportunidad del capital para utilizarlo como una aproximación a la tasa de descuento adecuada. Cuando se trata de un proyecto que involucra bienes que no son convertibles en dinero sin forzar el método más allá de lo razonable, no es posible determinar si el proyecto es rentable sin una estimación previa de la tasa relevante en el supuesto que se está examinando. Huelga añadir que este tipo de problemas se presenta con frecuencia, y no solo en proyectos públicos. Por fortuna, en muchos casos bastará con averiguar si la tasa apropiada es mayor o menor que el valor crítico del proyecto, la TIR:

	0	1	TIR
O	–7	7	0,0%
H	–10	11	10,0%
!!	–10	200	1.900,0%

El proyecto O no es rentable si, como es habitual, disponer de una unidad de

hoy es preferible a una mañana. El H y el !! son rentables si las tasas de preferencia temporal de los bienes medidos en

son inferiores al 10 y al 1.900%, respectivamente. Dado que O no es rentable y los otros sí, H y !! son preferibles que O. Pero aunque la TIR del proyecto !! sea superior a la de H y tan alta que provoque admiración, no se puede decir nada sobre la deseabilidad relativa de !! respecto a H, dado que están expresados en unidades diferentes. H y !! no son directamente comparables y se necesitaría disponer de una relación de equivalencia entre

para determinar cuál de los dos es mejor (se necesitaría un precio relativo, en definitiva;

= 7,24·

, por ejemplo).

20.2.Problemas con las unidades de los flujos

Como ha puesto de manifiesto el último ejemplo con los proyectes H y !!, al utilizar el VAN y la TIR se está suponiendo que todos los flujos se expresan en las mismas unidades: o todos en unidades físicas –en las mismas unidades físicas–, o todos en unidades monetarias constantes o todos en unidades monetarias corrientes⁽²⁾, sin mezclar unas con las otras. Si algunos flujos están expresados en unidades monetarias corrientes y otros en unidades monetarias constantes o físicas, por ejemplo, está claro que no se pueden sumar. Tampoco se pueden agregar mediante la función VAN ni, con más motivo, se puede calcular la TIR. Aunque esta exigencia es muy razonable, no siempre se puede cumplir en la práctica. Esta restricción limita las posibilidades de análisis racional de los proyectos con costes y beneficios de difícil valoración, como todos los que incorporan vidas humanas, por ejemplo. Con todo, en algunos casos particulares, respetar la regla de no agregación de flujos en unidades diferentes es compatible con determinar si un proyecto es mejor que otro.

⁽²⁾Como hemos visto en el apartado “Tipos de proyectos (nivel I)”, las unidades monetarias corrientes son unidades físicas valoradas a los precios que rigen en cada periodo. Las unidades monetarias constantes son estas mismas unidades físicas valoradas todas juntas en los precios de un mismo periodo –el 0, típicamente–, con independencia del periodo en el que se producen.

Actividad

Comprobad que el proyecto O, sin lugar a dudas, es mejor que el B, el V y el I; no es necesario recurrir al VAN pero sí que hay que tener en cuenta los conceptos que incorpora:

	0	1	Observaciones
O	–10 ♦	5
B	–11 ♦	5	El mismo beneficio y más coste que el O
V	–10 ♦	4	El mismo coste y menos beneficio que el O
I	–11 ♦	4	Más coste y menos beneficio que el O

Considerad ahora dos proyectos tan clásicos como universales, el O y el K, teniendo en cuenta que la conveniencia de O es indiscutible (O es rentable por hipótesis):

	0	1	...	T
O	–1	3	...	3
K	–3	12	...	12

El K es mejor que O porque los costes de K son tres veces más grandes que los de O, mientras que los beneficios por periodo son cuatro veces mayores. Para resolver cualquier duda, se compara K con el proyecto 3 · O, e igualamos así la inversión necesaria (

- 3

	0	1	...	T
3·O	–3	9	...	9
K	–3	12	...	12
K – 3·O	0	3	...	3

El proyecto K es preferible que el 3 · O porque el proyecto diferencia (K - 3 · O) es un regalo, esto es, al ejecutar el proyecto K en lugar del 3 · O se consiguen unos flujos que siempre son positivos, un beneficio de 3 por periodo entre 1 y T. Dado que O es rentable, es mejor ejecutar tres proyectos idénticos a O que uno solo. Por lo tanto, K es mejor que O y rentable; dicho de otro modo, el proyecto de inversión (K - O):

	0	1	...	T
K - O	–2	9	...	9

es rentable, lo que significa que

VAN (K - O) > 0

y, por lo tanto, que

VAN (K) > VAN (O)

aunque no es posible calcular ni el VAN(K) ni el VAN(O) por falta de datos.

En lugar de replicar el proyecto O de manera que se iguale la inversión con el proyecto K, se puede igualar el beneficio de O y K y comparar sus costes:

	0	1	...	T
4·O	–4	12	...	12
K	–3	12	...	12
K – 4·O	1	0	...	0

El resultado, como no podía ser de otro modo, es el mismo. El proyecto K es preferible que el 4 · O porque el proyecto (K - 4 · O) es un regalo. Concretamente, al ejecutar el K en lugar de invertir simultáneamente en cuatro proyectos idénticos al O, se consigue un ahorro neto de 1

en el periodo 0. Dado que O es rentable, 4 · O es mejor que O y, en consecuencia, K es preferible que O y también es rentable.

A pesar de la disparidad en las unidades de medida de los flujos, el VAN proporciona información que casi siempre es útil, como se muestra más abajo. Supongamos que r = 1 es la tasa de descuento adecuada, tanto para los flujos expresados en ♣ como en #; entonces se trata de comparar el VA de los costes y el de los beneficios en todos y cada uno de los proyectos. De este modo, queda claro que el proyecto O es mejor que el B, el V y el I, mientras que el V es preferible que el I y la comparación entre el B y el V y entre el B y el I no es posible con los datos disponibles:

	0	1	VA(r = 100%)
O	–10 ♣	–50 ♣	–35 ♣
O	10 #	40 #	30 #
B	–15 ♣	–40 ♣	–35 ♣
B	27 #	2 #	28 #
V	–30 ♣	–12 ♣	–36 ♣
V	29 #	2 #	30 #
I	–10 ♣	–56 ♣	–38 ♣
I	28 #	2 #	29 #

Suponed ahora que todos los costes de una serie de proyectos están expresados en

, por ejemplo; los beneficios son intangibles y se han valorado multiplicando la cantidad del producto, que es conocida, por un indicador de valor, un precio, si se quiere, que es el resultado de una encuesta en la que se quería valorar el bien según una escala de puntos de uno a diez. En este caso, es evidente que la tasa de descuento adecuada para los costes no debe ser la misma que la que refleja la preferencia temporal de los beneficios.

Supongamos que

r_{C} = 0, 1

es la tasa de descuento para los costes y

r_{B} = 0, 5

es la estimada para los beneficios. El cálculo del VA no ofrece ninguna dificultad aunque, como en el caso anterior, no todos los proyectos serán comparables entre sí. En el ejemplo que sigue, el único proyecto comparable es el O, que es mejor que el B, el V y el I, sin duda, mientras que los otros no son directamente comparables entre sí:

	0	1	VA
O	–10	–11	VA(10%) = –20
O	60	60	VA(50%) = 100
B	–20	0	VA(10%) = –20
B	33	90	VA(50%) = 93
V	–3	–22	VA(10%) = –25
V	70	45	VA(50%) = 100
I	–20	–1,1	VA(10%) = –21
I	78	30	VA(50%) = 98

20.3.Seleccionar proyectos en condiciones que no son las ideales

El VAN y la TIR se basan en la cláusula ceteris paribus. En particular, esto significa que funcionan bien al comparar dos proyectos que se desarrollan en un mismo ámbito temporal y manejan la misma cantidad de capital y que, en caso contrario, es esperable que surjan dificultades. Se supone, además, que el mercado de capitales es perfecto, lo que dificulta percibir la necesidad de tener en consideración restricciones financieras eventuales. En la realidad, las condiciones que se encuentran distan de responder a un modelo ideal, por lo que es necesario llevar a cabo algunas adaptaciones.

Actividad

Disponed la mejor manera de invertir 100 euros en el periodo 0, sabiendo que el coste del capital es del 10%, que el ámbito temporal acaba en el periodo 2 y que las oportunidades de inversión son:

	0	1	2	TIR	VAN
A	–200	350		75%	118,18
B	–100	250	–100	100%	44,63
C	–100	0	225	50%	85,95

Si habéis calculado el VAN y la TIR de estos proyectos, debéis haber comprobado que según la TIR el mejor proyecto es el B, y le sigue el C, dado que A no es factible. Siguiendo el VAN, el orden de preferencia sería A, C, B, pero el A se descarta porque no se dispone de una cantidad tan elevada para invertir, con lo que lo mejor es el C seguido del B. Descartado A porque no es factible, la duda es ejecutar el B o el C, recomendados por la TIR y el VAN, respectivamente, lo que tiene todo el aspecto de un problema muy conocido.

Siguiendo lo que prescribe la tradición en estos casos, se forma el proyecto diferencia (B - C) y se determina la rentabilidad de llevar a cabo el proyecto B en lugar del C:

	0	1	2	TIR	VAN	Observaciones
B – C	0	250	–325	30%	–41,3	Crédito

Así parece que se han solucionado todas las dificultades, porque tanto la TIR como el VAN del proyecto (B - C) coinciden en señalar que C es mejor que B; sin embargo, esto no es del todo cierto. Hay una alternativa mejor, dado que al ejecutar el B inmediatamente y el A en el periodo 1, (

B + A_{1}

), se obtiene un VAN más alto que con la solución encontrada más arriba:

	0	1	2	TIR	VAN
B	–100	250	–100	100%	38,89
A₁		–200	350	75%	107,44
B + A₁	–100	50	250	85,1%	152,1

Este ejemplo ilustra la necesidad de tener en cuenta el orden de ejecución, además de la combinación de proyectos factibles. La tarea de programar la ejecución de un conjunto de proyectos en un ámbito temporal predeterminado no es nada fácil, porque la mejor combinación puede incorporar un proyecto que no cumple la condición de no rechazo (VAN > 0), con lo que se aumenta la cantidad de combinaciones posibles, ya en sí misma elevada.

Actividad

Comprobad que dados los proyectos:

	0	1	2	TIR	VAN
A	–200	500		150%	254,54
B	–100	200	–105	No hay	–4,96
C	–100	0	225	50%	85,95

la mejor combinación es

B + {A1}_{}

(ejecutar B en el momento 0 y A en el 1), a pesar de que el proyecto B no tiene ninguna TIR real y el VAN(B) es siempre negativo (no olvidéis observar si el proyecto es una inversión o un crédito):

	0	1	2	TIR	VAN
B	–100	200	–105	No hay	–4,96
A1		–200	500	150%	231,41
B + A1	–100	0	395	98,75%	226,44

20.4.La tasa de descuento no es constante a lo largo del tiempo

Cuando se usa la TIR, se espera –mejor dicho, se quiere– que la tasa de descuento que expresa el coste del capital sea constante, porque de otro modo la comparación puede resultar una tarea poco agradable.

Retomad el caso ZZ ya presentado en la sección 11. Si las tasas de descuento en los periodos 1 y 2 son diferentes,

r1 = 6 %

r2 = 10 %

, se trata de decidir si es rentable la inversión ZZ:

	0	1	2	TIR	Observaciones
ZZ	–200	106	122	8,98%

La TIR de ZZ está comprendida entre

r_{1}

r_{2}

, por lo que no es inmediato saber si ZZ es rentable.

El problema es fácil de solucionar porque el signo del VAN se conoce siempre sin ninguna ambigüedad:

\begin{array}{l} VAN (r_{1} = 6 %, r_{2} = 10 %) = - 200 + 106/ (1,06) + 122/ (1,06 \cdot 1,1) = \\ = - 200 + 100 + 104,63 = 4,63 > 0 \end{array} (37)

21.Limitaciones del VAN y la TIR que requieren un cambio de modelo (nivel III)

En el apartado anterior, los problemas que surgían como consecuencia del incumplimiento en la realidad de algunos supuestos de los modelos clásicos VAN y TIR se podían resolver empleando los mismos modelos. Cuando fallan otras hipótesis, es necesario recurrir a un cambio de modelo.

Tanto en el VAN como en la TIR, los flujos positivos y negativos se descuentan a una misma tasa, porque se supone que la tasa de inversión y la de reinversión coinciden. Pero la realidad puede ser muy diferente de este supuesto. De hecho, la tasa que denota el coste del capital (r) y la tasa de rentabilidad (k) que se puede obtener con la reinversión de los fondos generados por el proyecto son diferentes generalmente. En este caso, se debe recurrir a otro modelo para determinar la rentabilidad.

Por hipótesis, los flujos positivos que genera el proyecto se reinvierten a la misma tasa de rentabilidad del proyecto, con independencia no solo de cuando se producen, de su cuantía y duración, sino también de su naturaleza (el tipo de flujo es importante porque no es lo mismo un ingreso por ventas que la medida monetaria del aumento de utilidad derivado de una mejora en el paisaje, por ejemplo). Este supuesto restrictivo no resta utilidad a los criterios VAN y TIR siempre que se apliquen cuando es apropiado. En otro caso, el decisor se expone a resultados paradójicos, dado que la TIR y el VAN no deben aplicarse cuando no se cumplen los supuestos que los sustentan.

Considerad los proyectos A, R y T, que son mutuamente excluyentes y rentables por hipótesis:

	0	1	2	TIR	VAN
A	–100	115		15,0%	4,55
R	–100	0	130	14,02%	7,44
T	–100	70	70	25,7%	21,49

De acuerdo con el VAN, la jerarquización de los proyectos, de menos a más rentabilidad, es inmediata: el peor es A, seguido del R, y el mejor es T. Según el criterio de la TIR, aunque coincide con el VAN al señalar T como el mejor, el peor no sería A sino R, seguido por A. Para dilucidar esta cuestión es necesario un cambio de modelo. En lugar de utilizar la hipótesis de que la tasa de inversión (r) coincide con la de reinversión (k), es posible la alternativa de sustituirla por datos reales; suponed que la inversión se lleva a cabo con capital ajeno, con un coste del r%, y que se devuelve íntegramente en el periodo 2. En el periodo 1 existe la posibilidad de reinvertir con una tasa de rentabilidad del k%, con k diferente de r.

Para solucionar este tipo de problemas nada más indicado que simular uno por uno los pasos que se harían en la realidad, y detallar la forma concreta de financiación del proyecto de inversión y el uso específico de los fondos positivos liberados por los proyectos, lo que se podría denominar proyecto de reinversión. Se trata, pues, de detallar los flujos que se generan en cada caso, y referir el resultado al periodo 2, porque lo que cuenta es si al final resulta mejor A, R o T, esto es, calcular el valor final neto (VFN) sobre el proyecto de inversión más el de financiación.

La forma concreta de financiación del proyecto, en cualquier caso, debe ser tal que:

La suma de los flujos periodo por periodo ha de ser siempre no negativa, excepto en el último periodo, cuando el resultado es de signo libre.
El coste de la financiación debe ser el mínimo posible.

Para la financiación del proyecto, hay dos maneras extremas, según se maximice –H1– o se minimice –H2– la dependencia respecto a recursos externos. En el primer caso (H1), que, por su simplicidad y facilidad de cálculo, constituye la hipótesis estándar, toda la financiación es externa, y es el que presentamos a continuación.

Según la hipótesis H1, si el flujo de inversión es negativo, se pide un préstamo por esta cantidad (financiación), al tipo r y por el tiempo que falta hasta el periodo final T, el dos, en este caso. Si el flujo de inversión es positivo, se invierte todo el saldo (reinversión) al tipo r y también por el tiempo que falta hasta el periodo final, o sea, hasta el periodo T. De este modo, entre los periodos 1 y

T - 1

, la suma de los flujos del proyecto de inversión y el proyecto de financiación tendrá un valor cero, cuando el flujo de inversión sea negativo o cero, o estrictamente positivo cuando el flujo de la inversión también sea estrictamente positivo; el saldo del periodo final puede tener cualquier signo. Los flujos de la suma anterior se reinvierten al tipo k hasta el periodo T. El valor final se encuentra sumando el saldo de inversión, el de financiación y el de reinversión en el periodo final T.

Aplicando este procedimiento a los proyectos {A, R, T}, resulta:

Proyecto A	0	1	2
Inversión	–100	115
Financiación	100	0	–100(1 + r)²
Suma	0	115	–100(1 + r)²
Reinversión			115(1 + k)
Valor final			115(1 + k) – 100(1 + r)²

Proyecto R	0	1	2
Inversión	–100	0	130
Financiación	100	0	–100(1 + r)²
Suma	0	0	130 – 100(1 + r)²
Reinversión			0
Valor final			130 – 100(1 + r)²

Proyecto T	0	1	2
Inversión	–100	70	70
Financiación	100	0	–100(1 + r)²
Suma	0	70	70 – 100(1 + r)²
Reinversión			70(1 + k)
Valor final			70(1 + k) + 70 – 100(1 + r)²

En resumen, el valor final encontrado para cada proyecto es:

A	115(1 + k) – 100(1 + r)²
R	130 – 100(1 + r)²
T	70(1 + k) + 70 – 100(1 + r)²

Nota

Observad que el VAN no es más que un caso particular del VFN, dado que el VAN proporcionará la misma ordenación de proyectos que el VFN cuando la tasa de inversión y la de reinversión coincidan. En este ejemplo, basta con multiplicar el VAN por (1 + r)² para obtener el VFN cuando ocurre que r = k. Si ambas tasas no son iguales, esta equivalencia desaparece y la recomendación siguiendo un criterio u otro, en general, será diferente.

Comparando el valor encontrado al final para cada proyecto se observa que el resultado de la elección entre A, R y T depende, en este caso, del valor de la tasa de reinversión k, pero no de r, porque todos tienen el mismo término común,

[- 100 {(1 + r)}^{2}]

. La ordenación de más a menos rentabilidad, para tasas de reinversión positivas (k > 0), es, pues:

Tasa de reinversión k	Ordenación
Inferior al 13%	T > R > A
Entre el 13 y el 56%	T > A > R
Superior al 56%	A > T > R

donde resulta que no siempre será T el mejor de los tres proyectos, como se presumía al principio por el valor del VAN y la TIR.

Suponiendo una tasa de inversión de r = 10%, el VFN de los proyectos es, dependiendo de la tasa de reinversión k:

VFN(k)	k = 6%	k = 20%	k = 60%
A	0,9	17,0	63,0
R	9,0	9,0	9,0
T	23,2	33,0	61,0

Considerad ahora la hipótesis de financiación H2, que no es más que una extensión natural del modelo de Montllor. A diferencia del caso anterior, aquí se quiere recurrir a la autofinanciación tanto como sea posible, y reducir por lo tanto al mínimo la dependencia de recursos ajenos.

El procedimiento de cálculo es parecido al ya examinado, si bien aquí tanto la financiación como la reinversión no se hace por el tiempo que falta hasta el periodo final T, sino por un solo periodo cada vez.

En cada periodo, el crédito total necesario dependerá del flujo de la inversión en el periodo y o bien del pago por la devolución del crédito e intereses del periodo anterior, o bien del ingreso por el fruto de la reinversión del periodo anterior, según el caso.

El resultado señalará la necesidad de refinanciar (durante un periodo) o mostrará un excedente que se puede reinvertir (también a un periodo). Se procede de esta misma manera hasta llegar al periodo final T; en este periodo ya no se puede refinanciar y el saldo coincide con el VFN.

Este procedimiento es fácil de comprender con un ejemplo. Supongamos que tenemos el proyecto H:

	0	1	2	3
H	3	–20	21	1

Este proyecto presenta dos TIR:

r *_{1} = 37 %

r *_{2} = 434,6 %

. Para algunos valores de la tasa de descuento, el proyecto tiene la característica de inversión y para otros, de crédito. Se supondrá que la tasa de descuento adecuada es de

r = 10 %

y que la tasa de reinversión es de

k = 6 %

. Se trata de calcular el VFN aprovechando al máximo los recursos generados por el mismo proyecto (minimizar la financiación externa). A continuación, exponemos cada uno de los pasos necesarios periodo por periodo.

Periodo 0

a_{0} = 3

. Flujo de la inversión.

d_{0} = 0

. Devolución del crédito del periodo anterior; es nulo porque es el primer periodo.

v_{0} = 0

. Reinversión del periodo anterior; es nulo porque es el primer periodo.

b_{0} = 0

. Crédito total necesario; la necesidad de refinanciar es nula porque en

a_{0} + d_{0} + v_{0} > 0

c_{0} = 3

. Saldo; dado que

b_{0} = 0 {, c}_{0} = a_{0} + d_{0} + v_{0}

; dado que

c_{0} > 0

, se reinvierte.

Periodo 1

a_{1} = - 20

. Flujo de la inversión.

d_{1} = 0

. Devolución del crédito del periodo anterior;

d_{1} = 0

porque

b_{0} = 0

v_{1} = 3 (1 + k)

. Reinversión del periodo anterior;

v_{1} > 0

porque

c_{0} > 0

b_{1} = 20 - 3 (1 + k)

. Crédito total necesario; se supone que

20 - 3 (1 + k) > 0

(si no, sería

b_{1} = 0

c_{1} = 0

. Saldo;

c_{1} = 0

porque

b_{1} = 0

Periodo 2

a_{2} = 21

. Flujo de la inversión.

d_{2} = - (1 + r) \cdot [20 - 3 (1 + k)]

. Devolución crédito periodo anterior.

v_{2} = 0

. Reinversión del periodo anterior

v_{2} = 0

porque

c_{1} = 0

b_{2} = 0

. Crédito total necesario; si

(1 + r) [20 - 3 (1 + k)] - 21 \leq 0

(si no,

b_{1} = (1 + r) [20 - 3 (1 + k)] - 21

c_{2} = 21 - (1 + r) \cdot [20 - 3 (1 + k)]

. Saldo. Dado que

b_{2} = 0

c_{2} = a_{2} + d {}_{2}+ v_{2}

. Dado que

c_{2} > 0

, se reinvierte.

Periodo 3

a_{3} = 1

. Flujo de la inversión.

d_{3} = 0

. Devolución del crédito del periodo anterior.

d_{3} = 0

porque

d_{2} = 0

v_{3} = (1 + k) \cdot {21 - (1 + r) \cdot [20 - 3 (1 + k)]}

. Reinversión del periodo anterior

v_{3} > 0

porque

c_{2} > 0

b_{3} = 0

. Crédito total necesario. No se puede refinanciar porque es el último periodo:

b_{T} = 0

c_{3} = 1 + (1 + k) \cdot {21 - (1 + r) \cdot [20 - 3 (1 + k)]

. Saldo. Dado que

b_{3} = 0

c_{3} = a_{3} + d_{3} + v_{3} > 0

, y dado que este es el último periodo (

T = 3

), no hay reinversión;

c_{3} = c_{T}

es el VFN.

En resumen, el VFN del proyecto H, cuando

r = 0, 1

k = 0,0 6

y teniendo en cuenta la hipótesis de autofinanciación máxima H2⁽³⁾, resulta que es de

VFN (H) = 3, 64788

, como detallamos a continuación:

	Concepto	0	1	2	3
a_t	Flujo de la inversión en t	3	–20	21	1
mar_t	Devolución crédito de t – 1	0	0	–18,502	0
v_t	Reinversión de t – 1	0	3,18	0	2,64788
b_t	Crédito total en t	0	16,82	0	0
c_t	Saldo en t	3	0	2,498	3,64788
	Valor final neto				3,64788

Aplicando ahora este mismo procedimiento a los proyectos A, R y T, anteriores, y expresando con algo más de detalle cada uno de los pasos seguidos, resulta:

Proyecto A	0	1	2
Inversión	–100	115	0
Financiación a r	100	–100(1 + r)	0
Refinanciación a r	0	0	0
Suma	0	115 – 100(1 + r)	0
Reinversión a k	0	–[115 – 100(1 + r)]	[115 – 100(1 + r)](1 + k)
Valor final neto			[115 – 100(1 + r)](1 + k)

Proyecto R	0	1	2
Inversión	–100	0	130
Financiación a r	100	–100(1 + r)	0
Refinanciación a r		100(1 + r)	–100(1 + r)²
Suma	0	0	130 – 100(1 + r)²
Reinversión a k	0	0	0
Valor final neto			130 – 100(1 + r)²

Proyecto T	0	1	2
Inversión	–100	70	70
Financiación a r	100	–100(1 + r)	0
Refinanciación a r	0	–70 + 100(1 + r)	[70 – 100(1 + r)](1 + r)
Suma	0	0	70 + [70 – 100(1 + r)](1 + r)
Reinversión a k	0	0	0
Valor final neto			70 + [70 – 100(1 + r)](1 + r)

En resumen, el valor final encontrado para cada proyecto es:

A	115(1 + k) – 100(1 + r)(1 + k)
R	130 – 100(1 + r)²
T	70 + 70(1 + r) – 100(1 + r)²

de donde el proyecto R es mejor que el T para toda tasa r positiva, mientras que la relación entre A y R depende de los valores concretos de r y k.

Por ejemplo, para r = 10% y k = 6% resulta un VFN de:

A	VFN(A) = 5,3
R	VFN(R) = 9,0
T	VFN(T) = 26,0

Actividad

Comparad estos valores del VFN maximizando los fondos propios (H2), con los obtenidos anteriormente al maximizar los fondos ajenos (H1).

22.Comparación de proyectos de duración diferente

El análisis de dos o más proyectos con diferente vida útil plantea problemas adicionales que no siempre se resuelven adecuadamente. Hay varios sistemas razonables, aunque no siempre coincidirán en señalar un mismo proyecto como el mejor y son los que presentaremos en esta sección. En primer lugar, expondremos dos procedimientos supuestamente equivalentes que, con el título de renovación de equipos, se proponen en Brealey y Myers –de ahora en adelante, BM– y recibirán la denominación de método BM y BM’, respectivamente. En segundo lugar, exploraremos algunas variantes conservadoras con carácter experimental –MC y MC’– y, finalmente, resumiremos los resultados obtenidos.

22.1.Método BM

Cuando se quieren comparar dos o más proyectos con diferente vida, se forma un conjunto de proyectos nuevo de manera que todos tengan una duración igual al MCM de la duración de los proyectos originales, como hemos indicado. Si las diferencias en la duración no son relevantes (más adelante se relaja este supuesto), este artificio no implica más problemas. El modo de cálculo no presenta dificultades, como se muestra a continuación con algunos ejemplos.

Según el supuesto más simple, ambos proporcionarán beneficio idéntico (o coste) y solo se diferenciarán por los flujos de coste (o beneficio). Esto es precisamente lo que ocurre cuando se trata de elegir entre dos tecnologías o dos procesos para conseguir un mismo objetivo.

Supongamos que A y B son dos máquinas que se quieren comparar. Ambas hacen exactamente la misma función y se diferencian por el precio de compra, por los costes de funcionamiento y, además, por el hecho de que la máquina A dura dos periodos y la B tres, como se refleja en la tabla siguiente:

	0	1	2	3
A	–7	–5	–5	--
B	–8	–2	–2	–2

El m.c.m. de los periodos de funcionamiento de las máquinas A y B es de 6 periodos. Por lo tanto, se pueden comparar los costes de utilizar (tres) máquinas A con los de usar (dos) máquinas B. Dicho de otro modo, se están comparando dos secuencias, la cadena AAA, formada por tres máquinas A (A1, A2 y A3), y la cadena BB, compuesta por dos máquinas del tipo B (B1 y B2), con lo que se está midiendo el coste de disponer de manera continuada de máquinas A o B a lo largo de seis periodos. Tanto en un caso como en el otro, si se quisiera proseguir la actividad productiva sería necesario llevar a cabo una inversión adicional en el periodo seis (con una máquina A o B, según convenga). En resumen, si se trata de planificar la actividad únicamente hasta el periodo seis, los flujos correspondientes son los que se muestran en la tabla siguiente:

	0	1	2	3	4	5	6
A1	–7	–5	–5
A2			–7	–5	–5
A3					–7	–5	–5
AAA	–7	–5	–12	–5	–12	–5	–5
B1	–8	–2	–2	–2
B2				–8	–2	–2	–2
BB	–8	–2	–2	–10	–2	–2	–2

Recordad que se están comparando los costes de las máquinas A y B durante solo seis periodos. Si se quisiera que este ejercicio resultara equivalente al compararlas durante un tiempo ilimitado, se debería introducir el valor de la inversión en una máquina adicional, la cuarta de A y la tercera de B, en el periodo seis, como se hace en el procedimiento número 3.

El problema acaba comparando el valor actual (VA) de ambos proyectos y eligiendo el mejor (el menor en términos absolutos, en este caso). El valor actual del proyecto compuesto AAA es menor que el BB, al menos para tasas reales razonables (positivas y no superiores al 60%), de modo que la máquina B es preferible que la A porque, proporcionando un beneficio idéntico, cuesta menos. Por ejemplo, con una tasa real del

5 % (r = 0,05)

resulta

VA (AAA) = –44,5 < VA (BB) = –25,1

y se elige el proyecto con más VA, que es el BB.

Tal vez el analista tenga preferencias por la TIR para determinar la rentabilidad de cada proyecto, algo que es imposible si no se conoce la suma de los beneficios aunque, si se quiere, se puede calcular la rentabilidad de tomar la decisión correcta. Si este es el caso, se determina la TIR del proyecto diferencia

(BB - AAA)

, que mediría la rentabilidad relativa conseguida para llevar a cabo el proyecto BB en lugar del AAA. Dado que la TIR de

(BB - AAA)

es igual a la de

(AAA - BB)

, hay que estudiar si el proyecto diferencia constituye o no una inversión; en caso contrario se corre el riesgo de interpretar mal el resultado. Por otro lado, pueden aparecer varios cambios de signo en los flujos de

(BB - AAA)

, lo que implica la posibilidad de existencia de más de una raíz, algo que por suerte no ocurre en este ejemplo. Los flujos de

(BB - AAA)

son:

	0	1	2	3	4	5	6
(BB-AAA)	–1	3	10	–5	10	3	3

Calculada la TIR del proyecto diferencia

(BB - AAA)

, resulta del 391,72% y dado que se trata de una inversión (al menos para este valor de r), es preferible mantener durante seis periodos la cadena BB que la AAA, como se había determinado. En resumen, la máquina B cuesta menos que la A.

22.2.Método BM’

En lugar de calcular el VA durante un tiempo igual al m.c.m. de la vida de los dos proyectos que se estudian, lo que generalmente supone cálculos largos y aburridos, se calculan y comparan las anualidades constantes equivalentes. Para examinar este procedimiento, tan ingenioso como de aplicación simple, utilizaremos el mismo ejemplo anterior, la elección entre las máquinas A y B, que proporcionaban los mismos beneficios y unos costes que se vuelven a reproducir por comodidad:

	0	1	2	3
A	–7	–5	–5	--
B	–8	–2	–2	–2

A partir de estos datos, para cada proyecto se calcula la anualidad constante equivalente, que, aplicada durante la vida del proyecto (2 periodos para A y 3 para B), proporciona el mismo VA que los flujos originales. La fórmula es simple; supongamos que V es el VA, a, la anualidad y n, la vida del proyecto. Entonces se cumple

V = a K

, siendo

K = [1 / r - 1 / (r {(1 + r)}^{n})]

el valor actual equivalente de una anualidad constante por valor de una unidad, invertida desde el año uno hasta el n a la tasa r.

El valor de la anualidad (constante) equivalente a a será pues

a = V / K

, donde a es el valor de la anualidad buscado. En este caso, para las máquinas A y B, designando las anualidades correspondientes para a y b, resulta:

\begin{array}{l} V (A) = - 7 - 5 [1 / r - 1 / (r {(1 + r)}^{2})] \\ a = - 7 / [1 / r - 1 / r {(1 + r)}^{2}] - 5 \\ V (B) = - 8 - 2 [1 / r - 1 / r {(1 + r)}^{3}] \\ b = –8 / [1 / r - 1 / r {(1 + r)}^{3}] - 2 \end{array} (38)

Por lo tanto, los flujos originales de A y B se pueden sustituir por las anualidades a y b, dado que proporcionan el mismo VA. Conocida la tasa, se calculan a y b; suponed que la tasa es del 5% (r = 0,05), entonces V(A) = –16,3 y a = –8,77, V(B) = –13,45 y b = –4,94. Se puede escribir, pues:

	0	1	2	3	Tipo de flujo	VA(·)
A	–7	–5	–5	--	Flujo original	–16,3
A	--	–8,77	–8,77	--	Anualidad equivalente	–16,3
B	–8	–2	–2	–2	Flujo original	–13,45
B	--	–4,94	–4,94	–4,94	Anualidad equivalente	–13,45

La regla de decisión es simple: se elige el proyecto con un valor más alto de la anualidad equivalente (el valor mayor entre a y b, con el signo que le corresponde). Dado que a = –8,77 < b = –4,94, se elige la máquina B.

Según BM, determinadas las anualidades, es inmediato calcular el VA del proyecto definido como una cadena ilimitada de máquinas A –VA(A,

VA (A, \infty)

) –contra otro formato para una cadena ilimitada de máquinas B –VA(B,

VA (A, \infty)

)–. En efecto, los VA son VA(A,

VA (A, \infty)

) = a/r y VA(B,

VA (A, \infty)

) = b/r y, como se puede observar, esta información adicional no afecta en absoluto a la decisión para que el signo de (a - b) sea el mismo que el de (a/r - b/r).

22.3.Método conservador (MC)

En los procedimientos anteriores, se definían ámbitos finitos. En el BM, el ámbito temporal para el análisis de dos proyectos era el mismo para ambos y se determinaba como el m.c.m. de la vida útil de ambos. En el BM’ se mantenía el ámbito original para cada proyecto, aunque el sistema usado se extendía al caso de una cadena ilimitada de máquinas o proyectos de un mismo tipo. En un caso y en el otro, el ámbito temporal delimitado era finito.

Como alternativa, aquí se considerará un tiempo ilimitado como ámbito temporal común. Retomando el ejemplo anterior de elección entre las máquinas A y B, el problema se plantea en otros términos. Ahora se trata de estudiar qué sería preferible, si utilizar siempre máquinas A o máquinas B.

El esquema es idéntico al caso anterior, con la excepción de la inversión que es necesario hacer en el último periodo para que no se rompa la cadena, como se muestra a continuación:

	0	1	2	3	4	5	6	...
A1	–7	–5	–5
A2			–7	–5	–5
A3					–7	–5	–5
A4							–7	...
A’	–7	–5	–12	–5	–12	–5	–12	...
B1	–8	–2	–2	–2
B2				–8	–2	–2	–2
B3							–8	...
B’	–8	–2	–2	–10	–2	–2	–10	...

Como antes, se puede calcular el VA de ambos proyectos y elegir el que proporciona un VAN mayor. Concretamente, con una tasa real del 5%, resulta

VA (A') = –49,7 < VA (B') = –31

, lo que sugiere que es preferible la máquina B que la A. La interpretación de este resultado no es directa. En efecto, aunque el problema está planteado en un ámbito temporal ilimitado, de hecho, se ha comparado el VA de ambos proyectos considerando un mismo ámbito temporal finito (seis periodos) que es el m.c.m de la vida de los dos proyectos, si bien se han dispuesto los flujos de manera que se pueden replicar indefinidamente. Los inversores que practican la “táctica de tierra quemada” no verán con buenos ojos este modelo que, con razón, se ha calificado como conservador, en el buen sentido del término.

En otras palabras, en el último periodo (el seis en este caso) se deja el proyecto preparado para continuar la actividad, del mismo modo que sucedió en el periodo uno. Por este motivo el cálculo del VA será relativamente bajo dado que incluye el coste de la inversión en el periodo final (A4 y B3), pero no los beneficios que se obtendrán gracias a esta inversión. Este enfoque parece apropiado para determinar la rentabilidad que obtendrá un concesionario, que obtiene unos derechos de explotación y tiene la obligación de dejar los activos en tan buen estado al cesar la concesión como estaban en el periodo uno. En la realidad abundan las cláusulas de este tipo en las concesiones de servicios públicos (abastecimiento de agua potable a domicilio, por ejemplo). En general, el modelo se corresponde con situaciones en las que en el último periodo, por las razones que sean, se debe realizar la inversión necesaria para dejar las cosas igual o mejor que estaban en el periodo inicial.

Nota

VA (A, \infty)

Siendo: A'=A1+A2+A3+A4 y B'=B1+B2+B3

22.4.Método MC’

Con objeto de trabajar con un ámbito temporal ilimitado, se calculan las anualidades equivalentes, como en el método BM’, pero con alguna variante: en lugar de calcular las anualidades de manera que sean equivalentes a los flujos de todos los periodos originales, se calculan las anualidades equivalentes a los flujos a partir del periodo uno. Para facilitar la lectura se repiten los flujos de A’ y B’.

	0	1	2	3	4	5	6	...
A’	–7	–5	–12	–5	12	–5	–12	...
B’	–8	–2	–2	–10	–2	–2	–10	...

Al observar los datos precedentes, en los que se han destacado los flujos que se repiten indefinidamente, se evidencia que el modo más simple de plantear el problema es como sigue:

	0	1	2	3	...
A’	–7	–5	–12	...	...
B’	–8	–2	–2	–10	...

Calculando las anualidades constantes equivalentes (a’ y b’) de A’ y B’, prescindiendo de los flujos del periodo cero (operando, pues, con los flujos de los periodos 1 y 2 para A’ y periodos 1, 2 y 3 para B’), con una tasa real del 5% resulta a’ = –8,41463 y b’ = –4,53766:

	0	1	2	3	...
A’	–7	–8,41	–8,41	...	...
B’	–8	–4,54	–4,54	...	...

El cálculo de los VA de una cadena ilimitada de máquinas de un tipo y del otro es ahora inmediato.

VA (A') = –7 - 8,41463 / 0,05 = –175,292 y VA (B') = –8 - 4,53766 / 0,05 = –98,75

. El coste de mantener en funcionamiento de manera permanente máquinas o proyectos de tipo A es mayor que el correspondiente con máquinas B, por lo que se preferirían estas últimas.

22.5.Comparación de métodos para considerar diferentes duraciones

Los tres métodos examinados son muy parecidos, pero no idénticos, por lo que no siempre coincidirán en el diagnóstico. Conviene, pues, examinar con detalle y tener presente las diferencias entre los procedimientos antes de aplicarlos y evaluar los resultados. Para poner de manifiesto las primeras diferencias entre los métodos usados, a continuación volvemos a plantear el problema original junto con los flujos que se derivan del modo de tratamiento propio de cada sistema, después resumimos las características principales de cada método y, finalmente, complementamos la exposición con algunos ejemplos.

		0	1	2	3	4	5	6	...
Problema original	A	–7	–5	–5
Problema original	B	–8	–2	–2	–2
Método BM	AAA	–7	–5	–12	–5	–12	–5	–5	...
Método BM	BB	–8	–2	–2	–10	–2	–2	–2	...
Método BM’	A	--	–8,77	–8,77	–8,77	–8,77	–8,77	–8,77	...
Método BM’	B	--	–4,94	–4,94	–4,94	–4,94	–4,94	–4,94	...
Método MC	A’	–7	–5	–12	–5	–12	–5	–12	...
Método MC	B’	–8	–2	–2	–10	–2	–2	–10	...
Método MC’	A’	–7	–8,41	–8,41	–8,41	–8,41	–8,41	–8,41	...
Método MC’	B’	–8	–4,54	–4,54	–4,54	–4,54	–4,54	–4,54	...

Como es inmediato por simple inspección de la tabla precedente, a partir de un único problema original, existen diferencias en los flujos que se utilizan para determinar la bondad relativa de los proyectos A y B. En consecuencia, es esperable que surjan discrepancias entre las recomendaciones ofrecidas aplicando un sistema u otro, como consecuencia de planteamientos diferentes. Dicho de otro modo, la elección del método no siempre será inocua, como se pone de manifiesto en el resumen que sigue.

22.6.Resumen

Dado un proyecto A, caracterizado por una inversión inicial en el periodo cero y unos flujos económicos (positivos o negativos) durante una cantidad de periodos determinada hasta el periodo final

T_{z}

, B (en suma,

z = A

), se compara con otro B, que presenta las mismas características pero con duración y flujos diferentes. Un problema típico sería el de reemplazo de máquinas y equipos. Los métodos presentados se pueden resumir como sigue:

Método BM. Se define un mismo ámbito temporal para ambos proyectos, calculado como el m.c.m de la duración total de cada uno. Se determinan los VAN respectivos y se elige el proyecto con un VAN mayor.
Método BM’. Manteniendo los ámbitos temporales originales, se calculan los VAN de cada proyecto y, para una cantidad de periodos igual a la del proyecto menos uno (no se tiene en cuenta en este cómputo el periodo inicial cero porque este lapso temporal se puede suprimir al continuar el proyecto), se determinan las cuotas constantes por periodo que son equivalentes al VAN encontrado. Se elige el proyecto con una cuota constante mayor. La generalización para una cadena ilimitada de proyectos de un mismo tipo siguiendo este método, como propone BM, no es correcta porque el VAN calculado tiene en cuenta $T_{z} + 1$ periodos, presupone, pues, la necesidad de utilizar siempre $T_{z} + 1$ periodos, cuando esto únicamente es necesario la primera vez, mientras que para proseguir con un proyecto idéntico se requieren solo $T_{z}$ periodos para cada renovación.
Método MC. Se procede como en el método BM, con una excepción: para cada proyecto, al flujo correspondiente al periodo final $T_{z}$ se le suma el correspondiente al periodo inicial 0, de manera que el periodo $T_{z} + 1$ es indistinguible del periodo $1_{z}$ , y asegura indefinidamente la continuidad del proyecto. Se elige el proyecto con un VAN mayor. Sistema adecuado para el caso de proyectos largos con necesidad de reponer una o más veces algunos equipos con otros de las mismas características.
Método MC’. A partir de los datos obtenidos según el método anterior (MC), se calculan las cuotas constantes equivalentes a los VAN respectivos para $T_{z}$ periodos, de manera parecida a como se hacía con el método BM’, pero sin contabilizar el flujo correspondiente al periodo inicial 0. Por lo tanto, el resultado es un flujo inicial y unas cuotas constantes para cada proyecto por un tiempo ilimitado (en rigor, las cuotas duran $T_{z}$ periodos, pero dado que son replicables indefinidamente equivalen a cuotas ilimitadas en el tiempo). Se calculan los VAN respectivos para un tiempo ilimitado y se elige el proyecto con un VAN mayor. Tal vez sea un modelo adecuado para la gestión de recursos naturales.

22.7.Tratamiento de proyectos con duraciones muy dispares

Hasta aquí se ha supuesto que las diferencias en las duraciones de los proyectos que se quieren comparar no introducían variaciones de fondo, en todo caso, nada que no quedara reflejado en una función VAN convencional. En caso contrario, es conveniente introducir de manera explícita un factor de corrección para compensar, en lo posible, el desfase entre las cadenas de proyectos formadas artificialmente y los proyectos originales. A continuación planteamos una manera de tener en consideración de modo explícito este elemento distorsionador.

Supongamos los proyectos

y = 1, 2, ..., Y,

con duración

T^{y}

y flujos

a_{ty}^{y}

, ordenados de menos a más duración. A partir de los proyectos originales, se forman series de manera que cada una de las cadenas de proyectos, formadas artificialmente, tenga una duración total de:

T = m . c . m . {T^{1}, T^{2}, T^{3}, ..., T^{y} .} (39)

La función

{VAN}^{y}

de cada cadena de proyectos y será, en un caso cualquiera, por ejemplo, el j:

\begin{array}{l} {VAN}^{j} = Σ a_{t1}^{j} {(1 + r)}^{- t1} + Σ a_{t2}^{j} {(1 + {rK}_{2})}^{- t2} + Σ a_{t3}^{j} {(1 + {rK}_{3})}^{- t3} + Σ a_{t4}^{j} {(1 + {rK}_{4})}^{- t4} + .... \\ + Σ a_{ts}^{j} {(1 + {rK}_{s})}^{- ts}, \end{array} (40)

siendo:

t_{1} = 1, 2, ..., T^{j}, t^{2} = T^{j} + 1, T^{j} + 2, ..., {2T}^{j} .... t^{s} = T - T^{j} + 1, T - T^{j} + 2, ..., T

, donde

K_{2}, ..., K_{s}, s = T / T^{j}

son factores que dependen del inversor y quieren reflejar que dos proyectos cortos son preferibles a uno largo, y el resto constante; significa, además, que se puede conseguir la indiferencia entre estos proyectos modificando adecuadamente la relación entre la tasa de descuento para uno y otro a partir del punto en el que difieren en duración.

Como es lógico, a partir de la función

{VAN}^{j}

se puede obtener la TIR o cualquiera de las medidas de rentabilidad ya examinadas. No obstante, habrá que tener presente las modificaciones introducidas en la interpretación de los resultados.

La principal dificultad del método propuesto en este apartado radica en encontrar los valores adecuados para los factores correctores de la tasa de descuento. En todo caso, la función resultante debe concordar con las preferencias del inversor respecto a la alternativa: menos rentabilidad hoy frente a más rentabilidad mañana. Al menos uno de los proyectos es largo, y deberían tenerse en consideración las preferencias entre consumo propio y consumo de las generaciones futuras (Pasqual, 2003).

Otra alternativa, quizá más práctica, es decidir un ámbito temporal para la inversión y calcular el valor final neto para todos los proyectos candidatos (Montllor, 1978; Pasqual, 2003).

Referencia bibliográfica

J. Montllor (1978). “Un modelo determinista de proyectos agregados de inversión-financiación: El valor final neto”. Económicas y Empresariales (núm. 9, págs. 152-163).

Actividades

1) Nivel I

ER1.1. Antonio y Bernarda no se ponen de acuerdo. Antonio preferiría comprar el lavavajillas al contado, mientras que Bernarda defiende la compra a plazos. Encontrad una explicación racional a este hecho sabiendo que ambas opciones son factibles.

ER1.2. Las preferencias de Josefa entre consumo presente y futuro se pueden representar por una tasa de descuento subjetiva del D% y dispone de una cantidad de dinero que puede invertir o dedicar al consumo. Hay dos alternativas de inversión en un periodo: el depósito a plazo X, que proporciona una rentabilidad real del r_x% y la Y, que rinde el r_y%, también en términos reales (se supone que no hay inflación). Sabiendo que Josefa prefiere la inversión Y a la X y que ante la alternativa entre inversión y consumo optará por invertir, indicad la relación que existe entre r_x, r_y y D.

2) Nivel II

ER2.1. Calculad el valor actual de los flujos siguientes sabiendo que la tasa de descuento es del cien por cien (r = 1):

Periodos	–4	–2	0	1	4
Flujos	100	–100	722	50	–1.600

ER. 2.2. Paseando por la calle os encontráis tres pagarés al portador por valor de 100, 150 y 200 euros. El primero se puede cobrar inmediatamente, el segundo depués de un año y el tercero al cabo de dos. Dado que no os apetece esperar el vencimiento de los pagarés, los entregáis en un banco a cambio de una cantidad de dinero al contado. Determinad esta cantidad sabiendo que el banco aplica una tasa de descuento del 100% anual (r = 1).

ER. 2.3. Os intentan convencer de que llevéis a cabo una inversión financiera a plazo fijo con el argumento de que al final de veinte años habréis duplicado la cantidad invertida. Determinad la tasa de remuneración de esta imposición a plazo.

ER. 2.4. Un amigo os pide una cantidad de dinero K en préstamo. No os podéis negar a complacerlo, pero es cierto que solo estáis dispuestos a prestarle la mitad (K/2), por lo que recurrís a demorar la entrega de este dinero (K). Si la tasa de descuento es de r = 10%, indicad cuanto debéis retrasar la entrega de la cantidad K que vuestro amigo os ha solicitado para que, visto el préstamo desde el momento presente, solo le dejéis en realidad K/2.

Solucionario

ER. 1.1. Bernarda y Antonio estarían de acuerdo si la tasa de preferencia temporal de Antonio, D_A, la de Bernarda, D_B, y el tipo de interés real, r, fueran tales que r > D_A y r > D_B (comprarían a crédito), o bien r < D_A y r < D_B (pagarían al contado). Para que surja un conflicto como el del problema, basta con que el coste r del crédito esté comprendido entre la tasa de Bernarda y la de Antonio; en este caso ocurre que D_A < r < D_B. Dado que r > D_A, Antonio considera que el coste del crédito es demasiado caro y, en consecuencia, prefiere comprar al contado, mientras que a Bernarda le ocurre lo contrario, solo puede pensar que es mejor pagar a plazos que al contado, dado que su tasa de preferencia temporal es mayor que el coste del crédito.

ER. 1.2. Dado que Josefa prefiere la inversión Y a la X, Y es más rentable que X, o sea r_x < r_y. Si renuncia a consumir hoy para invertir, significa que D < r_y. En resumen, r_x < r_y y D < r_y, donde la relación entre D y r_x es desconocida. Por ejemplo, supongamos que r_y = 32%, r_x = 27% y D = 30%. Si la cantidad de dinero a disposición de Josefa es un total de M, entonces las alternativas son:

Periodos	0	1
Preferencias consumo	-M	1,30M
Inversión X	-M	1,27M
Inversión Y	-M	1,32M

Con estas alternativas está claro que Josefa entre invertir en X y consumir elegiría esto último, porque no está dispuesta a renunciar al consumo en el momento presente si no consigue el 30% más, como mínimo, en el periodo siguiente, y la rentabilidad de X no llega a este mínimo (r_x = 27% < D = 30%). Entre las dos inversiones, la mejor es la Y (r_y = 32% > r_x = 27%), por lo que es la inversión Y la que se debe comparar con la alternativa de dedicar los recursos M a consumo. Con Y podrá consumir un 32% más en el periodo uno, que es un valor superior al mínimo marcado por sus preferencias (r_y = 32% > D); por lo tanto lo mejor es invertir en Y.

ER. 2.1. La fórmula general para actualizar una cantidad cualquiera K_t a una tasa r es simple, VA(K_t, r) = K_t/(1+r)^t, que también se suele expresar como VA(K_t, r) = K_t (1+r)^-t, donde (1+r)^-t es el factor de actualización a la tasa r de un valor cualquiera situado en el periodo t. Por ejemplo, si t = 10, VA(K₁₀, r) = K₁₀/(1+r)¹⁰ y si t = –4, entonces, VA(K_–4, r) = K_–4/(1+r)^–4. El resultado de la actualización pedida es:

Periodos	–4	–2	0	1	4
Flujos	100	–100	722	50	–1.600
Factor (1 + r)^-t	(1 + r)⁴ = 8	(1 + r)² = 4	(1 + r)⁰ = 1	(1 + r)^–1 = 1/2	(1 + r)^–4= 1/8
Flujos actualizados	800	–400	722	25	–200

ER. 2.2. El valor nominal del primer pagaré, que es de 100 euros, coincide con el actualizado, dado que se puede hacer efectivo en el momento. El segundo pagaré es a un año y el importe nominal es de 150 euros; la cantidad equivalente en el momento actual es de 150/(1+r) = 150/2 = 75 euros. El último pagaré es por un nominal de 200 euros, que hay que pagar al cabo de dos años, por lo que su valor actualizado es de 200/(1+r)² = 200/4 = 75 euros. Por lo tanto, lo que cobrará en el momento 0 es un total de 100 + 75 + 50 = 225 euros, o sea, el valor actual de los pagarés calculado a la tasa r = 1. En resumen:

Periodos	0	1	2
Importe nominal	100	150	200
Factor de descuento (r = 1)	1	1/(1 + r) = 1/2	1/(1 + r)² = 1/4
Importe actualizado	100	75	50
Valor actual (VA)	100 + 75 + 50 = 225

ER. 2.3. Por la regla del 69, T = 70/T, de la que r = 70/T y el tipo de interés de esta inversión es de r* = 70/20 = 35% aproximadamente. Si se quiere una cifra exacta, se aísla r a partir de (*) = T = ln2/ln(1+r), de donde r = exp(ln(2)/T) –1 = exp(ln(2)/20) –1 = 3,526%.

ER. 2.4. Supongamos que T es la cantidad de periodos que se retrasa la entrega del dinero solicitado (K). Dado que queréis prestar la mitad (K/2) en términos de valor actual, se debe cumplir que K/(1+r)^T = K/2, o sea 1/(1+r)^T, de donde (1+r)^T = 2, pero a partir de esta expresión se puede deducir la regla del 69 (coincide con el tercer paso en el texto), y por lo tanto esta regla es aplicable a este caso. El tiempo T buscado es, pues, T = 70/r = 70/10 = 7 periodos, aproximadamente.

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Anexo

Anexo 1. Nuevos y viejos criterios de rentabilidad. Coherencia entre criterios (nivel IV)

Introducción

Existen abundantes referencias en la bibliografía –incluidos manuales clásicos en el tema– que analizan o exponen las bondades y los defectos de los diferentes criterios de rentabilidad que se aplican en la evaluación de proyectos.

Referencias bibliográficas

Podéis ver, por ejemplo:

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R. J. Brent (1998). Cost-benefit analysis for developing countries. Cheltenham / Northampton, MA: Edward Elgar.

Z. Bodie; R. C. Merton (2000). Finance. Nueva Jersey: Prentice-Hall.

R. E. Just; D. L. Hueth; A. Scmitz (2004). The welfare economics of public policy. Cheltenham: Edward Elgar.

R. O. Zerbe; A. S. Bellas (2006). A premier for benefit-cost analysis. Northampton, MA: Edward Elgar Publishing.

R. A. Brealey; S. C. Myers; F. Allen (2008). Principles of corporate finance (9.ª ed.). Auckland: Ed. McGraw-Hill.

D. Castelo (2001). “Anomalies in net present value caltulations?”. Economics Letters (núm. 72, págs. 127-129).

H. S. Rosen (2008). Hacienda Pública. Madrid: McGraw-Hill.

Una muestra de la diversidad de procedimientos usados para determinar la rentabilidad de un proyecto son los veinticinco criterios analizados en Remer y Nieto (1995); sin embargo, la mayoría de estos veinticinco criterios son descartables utilizando la lógica más elemental (Pasqual, 1999), de modo que se reduce el abanico de criterios defendibles a los analizados habitualmente en las referencias citadas anteriormente.

El criterio cuyas virtudes son generalmente destacadas por encima del resto es el valor actual neto (VAN), mientras que las críticas a los otros criterios se fundamentan en las supuestas incoherencias de estos con el VAN. Sirva como ejemplo de la conclusión de la mayor parte de la bibliografía sobre la cuestión la cita de Ross siguiente:

“De hecho, no es raro gastar una cantidad considerable de tiempo en clase asegurándose de que el estudiante entiende todas las maneras incorrectas de pensar sobre la toma de decisión en las inversiones –desde la regla de la tasa interna de rentabilidad (TIR) hasta el periodo de recuperación de la inversión–. Erróneos, sin duda, porque no coinciden con la regla del VAN”.

S. R. Ross (1995). “Uses, abuses, and alternatives to the net-presente-value rule”. Financial Management (vol. 3, núm. 24, pág. 96).

El hecho que permitiría descartar un criterio como criterio adecuado sería su falta de concordancia con lo que se considera el criterio básico, el VAN.

Un primer problema que haría considerar un criterio como inadecuado sería la posibilidad de que dé una respuesta diferente del VAN sobre la rentabilidad o no de un proyecto determinado. Buena parte de la discusión en torno a este problema se centra en la TIR, el segundo criterio más popular en cuanto a su aplicación práctica. De hecho, la mayoría de las referencias citadas anteriormente indican el inconveniente de la posible existencia de múltiples TIR para un proyecto determinado, y señalan que en este caso el criterio no da una solución adecuada.

Petty y otros afirman que cuando existen varias TIR:

“[…] ninguna solución es válida. Aunque cada una se ajusta a la definición de TIR, no ofrecen ninguna perspectiva sobre los verdaderos rendimientos del proyecto”. Afirman que, en este caso, la interpretación normal de la TIR pierde su significado y que “para proyectos cuyos flujos cambian de signo en más de una ocasión recomendamos el VAN como la regla de decisión más fiable”.

J. W. Petty y otros (1996). Basic financial management (págs. 249 y 255). Nueva Jersey: Prentice-Hall.

En el mismo sentido, Brent afirma que:

“se dan dos dificultades técnicas con la TIR. La primera es que puede no existir la TIR […]. La segunda es que puede haber demasiadas”, y no hay respuesta a “qué TIR debería utilizarse para comparar con el tipo de interés”, con lo que la regla dejaría de funcionar.

R. J. Brent (1998). Cost-benefit analysis for developing countries (pág. 32). Cheltenham / Northampton, Mart.: Edward Elgar.

Referencias bibliográficas

D. S. Remer; A. P. Nieto (1995). “A compendium and comparison of 25 project evaluation techniques”. International Journal of Production Economics (vol. 1, núm. 42, págs. 79-96 y 101-129).

J. Pasqual Rocabert (1999). La evaluación de políticas y proyectos. Barcelona: Icaria.

Así, por ejemplo, Gronchi afirma que la TIR solo se puede utilizar sin ambigüedad en la toma de decisiones si es única, lo que parece una conclusión bastante general en la bibliografía, mientras que si existen varias, la respuesta habitual es que “la solución es usar el valor actual neto” (Brealey y otros).

Referencias bibliográficas

S. Gronchi (1986). “On investment criteria based on the Internal Rate of Return”. Oxford Economic Series, New Series (vol. 1, núm. 38, págs. 174-180).

R. A. Brealey; S. C. Myers; F. Allen (2008). Principles of corporate finance (9.ª ed., pág. 126). Auckland: Ed. McGraw-Hill.

Sin embargo, Pasqual y otros demuestran que el supuesto conflicto en los resultados del VAN y la TIR respecto a la rentabilidad de un proyecto puede ser fácilmente superado si se tienen en consideración las características de la función VAN y se define claramente qué es una inversión y qué es un crédito. Los autores muestran que, de este modo, todas las raíces de la función VAN tienen sentido económico y que, cuando existe al menos una TIR, las recomendaciones de ambos criterios coinciden.

Un problema adicional en la aplicación de la TIR se produce cuando existen diferentes tasas de descuento relevantes para los diferentes flujos que implica un proyecto. Problema que analiza y al que se presenta una solución satisfactoria en esta investigación.

Otro criterio cuya aplicación puede implicar problemas es el plazo de recuperación de la inversión, dado que solo es aplicable en proyectos en los que únicamente hay un cambio de signo en la corriente temporal de flujos netos del proyecto. En este trabajo se presenta una nueva variante que permite obtener un criterio como el plazo de recuperación de inversión, pero con una aplicabilidad más general.

Un segundo problema que hace que se considere inadecuado un criterio es la posibilidad de que suponga una ordenación entre proyectos mutuamente excluyentes diferente de la que indicaría el VAN. Este problema se da en criterios como la TIR o el cociente beneficio/coste (CBC). El inconveniente se plantea en la afirmación siguiente de Bodie y Merton:

“Para entender mejor por qué la TIR no es una buena medida para ordenar proyectos mutuamente excluyentes, fijaos en que la TIR de un proyecto es independiente de su escala. El proyecto de plazas de aparcamiento tiene una TIR muy alta, pero su escala es pequeña comparada con el proyecto edificio de oficinas”.

Z. Bodie; R. C. Merton (2000). Finance (pág. 180). Nueva Jersey: Prentice-Hall.

O, de manera similar, en el caso del cociente B/C, como plantean Zerbe y Bellas:

“Una debilidad de la ratio B/C es que no permite al analista elegir entre proyectos mutuamente excluyentes cuando sus costes son diferentes […]. El proyecto con la ratio B/C mayor no es necesariamente el que tiene el VAN más alto”. En general, estos indicadores se rechazan y se recomienda el uso del VAN.

R. O. Zerbe; A. S. Bellas (2006). A premier for benefit-cost analysis (pág. 228). Northampton, DT: Edward Elgar Publishing.

Sin embargo, la solución a este problema ya se ofrece, de manera intuitiva, en Gittinger, Brent, y Brealey y otros, que señalan que la manera apropiada de seleccionar entre proyectos excluyentes con la TIR sería aplicar el criterio al proyecto diferencia. Lamentablemente, no presentan ninguna demostración sobre este tema y limitan esta recomendación al criterio de la TIR, e ignoran la posibilidad de aplicar el mismo método a otros criterios, como el CBC. En este trabajo se avanza en este aspecto, y se demuestra que la aplicación de ambos criterios en el proyecto diferencia es siempre consistente con el VAN, y se extiende, además, el resultado al resto de los criterios.

En el apartado siguiente se muestra que si la aplicación de los principales criterios de rentabilidad utilizados habitualmente se hace de manera correcta, estos son coherentes con la aplicación del criterio VAN. Concretamente, se muestra esto para el caso de criterios clásicos de rentabilidad, como la TIR, el CBC, que la bibliografía señala habitualmente como criterios que pueden estar en conflicto con el VAN. El trabajo muestra que la concordancia también se produce en el caso de otros criterios clásicos, como el valor final neto (VFN), la anualidad equivalente (Æ) y otros nuevos, propuestos en este trabajo, como la demora máxima de beneficios (DMB) y el plazo de recuperación de costes (PRC). El trabajo representa, pues, una extensión y generalización a los criterios más relevantes de la concordancia entre TIR y VAN ya demostrada. A continuación se demuestra que para elegir entre dos proyectos mutuamente excluyentes, la aplicación de los criterios mencionados en el proyecto diferencia o incremental es una condición suficiente para que ocurra la deseada concordancia con el VAN. Finalmente, en el último apartado se recogen las principales conclusiones del trabajo.

1. Criterios para determinar la deseabilidad de un proyecto

Un proyecto

P_{X} (X_{t}, r)

depende de unas cantidades periodificadas

X_{t}

t = M, \dots, M + T

, donde M es el momento de ejecución del proyecto, T su duración y

r_{t}

las tasas de descuento. Si no se indica lo contrario, es conviente que

r_{t} = r

M = 0

Existen cuatro tipos de proyectos –inversión, crédito, regalo y pérdida–, como se definen a continuación:

1) Inversión: si hay flujos estrictamente positivos y negativos, el proyecto se comporta como una inversión en

[r^{a ,} r^{b}]

a \leq b

, si

\partial VAN / \partial r < 0

[r^{a ,} r^{b}]

2) Crédito: si hay flujos estrictamente positivos y negativos, el proyecto se comporta como un crédito en

[r^{a ,} r^{b}]

a \leq b

, si

\partial VAN / \partial r > 0

[r^{a ,} r^{b}]

3) Regalo: todos los flujos son no negativos y al menos uno es estrictamente positivo.

4) Pérdida: todos los flujos son no positivos y al menos uno es estrictamente negativo.

2. El valor actual neto (VAN)

La función VAN mide el aumento de la cantidad de riqueza neta en el momento actual, que sería equivalente a ejecutar el proyecto.

Definición de VAN:

VAN (X_{t}; r) = X_{0} + X_{1} {(1 + r)}^{- 1} + X_{2} {(1 + r)}^{- 2} + \dots + X_{T - 1} {(1 + r)}^{- (T - 1)} + X_{T} {(1 + r)}^{- T} (41)

donde

r \neq –1

. En lo que sigue, se considerará solo el caso

r > –1

Aceptación de un proyecto X:

Se acepta el proyecto

X \Leftrightarrow VAN (X) \geq 0

y cuanto mayor sea el VAN, mejor, para cualquier tipo de proyecto.

3. El valor final neto (VFN)

La función VFN mide el aumento de la cantidad de riqueza neta en el momento final T, que sería equivalente a ejecutar el proyecto.

Definición de VFN:

VFN (X_{t}; r) = X_{0} {(1 + r)}^{T} + X_{1} {(1 + r)}^{T - 1} + \dots + X_{T - 1} (1 + r) + X_{T} \forall r (42)

Aceptación de un proyecto X:

Se acepta el proyecto

X \Leftrightarrow VFN (X) \geq 0

y cuanto mayor sea el VAN, mejor, para cualquier tipo de proyecto.

Concordancia con el VAN:

VFN (X) = {(1 + r)}^{T} \cdot VAN (X) (43)

{(1 + r)}^{T} \cdot VAN (X) \geq 0 \Leftrightarrow VAN (X) \geq 0 \forall r \neq –1 (44)

VFN (X) \geq 0 \Leftrightarrow VAN (X) \geq 0 \forall r \neq –1 (45)

4. La tasa interna de rendimiento (TIR)

La TIR mide el crecimiento del capital en términos relativos y determina la tasa de crecimiento del capital por periodo.

Definición de TIR:

toda r *_{j} de modo que VAN (X_{t}, r *_{j}) = 0 (46)

Ni la existencia ni la unicidad de la TIR están garantizadas. Puede que no exista ninguna TIR, que haya solo una o que haya más de una.

Aceptación de un proyecto X:

Dadas la TIR

r_{j} *

y la tasa de descuento

r^{0}

, se acepta el proyecto X exclusivamente si:

r_{j} * - r^{o} \geq 0 si \partial VAN / \partial r < 0 {en el punto r}_{j} * - ε (47)

r^{o} - r_{j} * \geq 0 si \partial VAN / \partial r > 0 {en el punto r}_{j} * + ε (48)

donde

ε > 0, ε \to 0

Cuando la tasa de descuento no es constante, no siempre se puede aplicar este criterio y es necesario recurrir a la TIR neta.

Casos con más de una TIR:

Cuando hay más de una TIR se aplica la misma regla de decisión, una vez encontrada la TIR relevante. Si

r_{1} * \leq r_{2} * \leq \dots r_{M} *

son las TIR del proyecto y

r^{0}

la tasa de descuento, la TIR relevante es:

r_{1} *, {si r}^{o} \leq r_{1} * (49)

r_{M} *, {si r}^{o} \geq r_{M} * (50)

r_{j} * {o r}_{j + 1} * indistintamente, {si r}_{j} * \leq r^{o} \leq r_{j + 1} * (51)

Concordancia con el VAN:

r^{o}

es la tasa de descuento usada para calcular el VAN y

r *_{j}

las TIR, los casos relevantes son los expresados en (49), (50) y (51) y se reflejan en las figuras siguientes.

Concordancia del criterio TIR con el del VAN

Caso I

r^{o} \leq r_{1} *

, se elige la TIR

r_{1} *

. En este punto, el proyecto se comporta como una inversión,

r_{1} *

mide la rentabilidad y, dado que es mayor que la tasa de descuento

r^{o}

, se acepta el proyecto. Dado que el VAN es positivo en el tramo

(- \infty, r_{1} *)

, los dos criterios concuerdan.

Caso II

r_{1} * \leq r^{o} \leq r_{2} *

, es indiferente elegir la TIR

r_{1} *

o la

r_{2} *

. Si se parte de

r_{1} *

, la rentabilidad es inferior a la tasa

r^{o}

y se descarta el proyecto. Si se toma la

r_{2} *

, el proyecto se comporta como un crédito,

r_{2} *

mide el coste y, dado que supera el coste del capital

r^{o}

, también se rechaza el proyecto. En el tramo

(r_{1} *, r_{2} *)

, el VAN es negativo y la recomendación coincide con la del criterio TIR.

Caso III

r^{o} \geq r_{2} *

, se elige la TIR

r_{2} *

. En el punto

r_{2} *

el proyecto se comporta como un crédito, el coste de este crédito es

r_{2} *

, que es inferior al coste del capital y, por lo tanto, el proyecto es aceptable. En el tramo

(r_{2} *, \infty)

, el VAN es positivo, lo que concuerda con el análisis mediante la TIR.

Si multiplicamos los flujos del proyecto representado en la figura 1 por menos uno, entonces se obtiene un proyecto como el de la figura 2 y el análisis de la concordancia entre los criterios VAN y TIR es perfectamente simétrico.

Se concluye, pues, que el resultado de la aplicación del criterio TIR coincide con el del VAN.

Concordancia del criterio TIR con el del VAN. Caso simétrico al de la figura anterior

Referencia bibliográfica

Podéis ver la demostración completa y una explicación económica detallada en:

J. Pasqual Rocabert; J. A. Tarrío; M. J. Pérez (2005). “Anomalies in net present value calculations. A solution”. Hacienda Pública Española / Revista de Economía Pública (núm. 173, págs. 47-60).

5. La tasa interna de rendimiento neta (TIR neta)

La función

VAN (X_{t}; r)

opera con unos flujos

X_{t}

que no son netos porque no incluyen el coste del capital

r^{o}

. La TIR convencional

r *

es bruta y para determinar la deseabilidad de un proyecto se compara con la tasa de descuento

r^{o}

. Pero el

VAN (X_{t}; r)

también se puede calcular a partir de los flujos descontados

n_{t} (r), n_{t} = X_{t} / {(1 + r)}^{t}

, y queda:

VAN (n_{t} (r)) = Σ n_{t} (52)

Definición de TIR neta:

Toda λ_{j}^{} tal que Σ n_{t} / {(1 + λ_{j})}^{t} = 0 (53)

con (52) = (53) si y solo si

λ = 0

Dado que los flujos

n_{t}

ya incorporan el coste del capital

r^{o}

, las TIR netas

λ *_{j}

ya no se deben comparar con

r^{o}

, y basta con saber si son positivas o negativas.

Aceptación de un proyecto X:

Se acepta X exclusivamente si:

λ_{j} * \geq 0 si \partial VAN / \partial λ < 0 en el punto λ_{j} * - ε (54)

- λ_{j} * \geq 0 si \partial VAN / \partial λ < 0 en el punto λ_{j} * + ε (55)

Si hay más de una TIR neta se opera como con la TIR convencional.

Concordancia con el VAN:

Sabemos que el uso de una TIR concuerda con el criterio VAN. Dado que la TIR neta es una TIR, se mantiene la concordancia necesariamente.

Aplicaciones:

La TIR neta es aplicable siempre que lo es la TIR convencional. Además, se puede aplicar aunque haya más de una tasa de descuento.

El cociente beneficio/coste (CBC) y el CBC neto

El CBC es el cociente entre el valor actual de los beneficios brutos, B, y el de los costes, C.

Definición del CBC:

CBC = B / C (56)

Es aplicable siempre que al menos haya un flujo estrictamente positivo y otro negativo.

Aceptación de un proyecto X:

Se acepta el proyecto X exclusivamente si:

CBC (X) = B / C \geq 1 (57)

y cuanto mayor sea el CBC, mejor. El CBC es bruto pero se puede expresar en términos netos con facilidad a partir de (57):

CBC-neto = CBC - 1 \geq 0 (58)

La ecuación (51) se puede expresar también como:

CBC-neto = (B - C) / C \geq 0 (59)

que indica el beneficio neto actualizado que se obtiene por unidad de inversión actualizada.

Concordancia con el VAN:

Tanto el CBC como el CBC neto concuerdan con el criterio VAN:

X es deseable \Leftrightarrow VAN (X) \geq 0 (60)

\Leftrightarrow B - C \geq 0 (61)

\Leftrightarrow B \geq C (62)

\Leftrightarrow B / C \geq 1 (63)

\Leftrightarrow CBC \geq 1 (64)

\Leftrightarrow CBC - 1 \geq 0 (65)

\Leftrightarrow CBC-neto \geq 0 (66)

Demora máxima admisible de los beneficios

(D_{m a x})

D_{max}

mide la demora máxima de los beneficios compatible con

VAN \geq 0

, es decir:

D tal que C = B / {(1 + r)}^{D} con r > 0 (67)

de la que:

D_{max} = (lnB - lnC) / ln (1 + r) (68)

fórmula que coincide con la anticipación máxima A de los costes compatibles con

VAN \geq 0

definida como:

A tal que C {(1 + r)}^{A} = B (69)

donde

A = D_{max}

También se puede entender

D_{max}

como la combinación de una anticipación (c) de los costes y (b) un retardo en los beneficios, de modo que

VAN \geq 0

. Es decir, la distancia o separación máxima admisible (b + c) entre costes y beneficios que es compatible con

VAN \geq 0

D_{max} = b + c tal que C {(1 + r)}^{c} = B {(1 + r)}^{- b} (70)

de la que:

C {(1 + r)}^{b + c} = B (71)

C = B {(1 + r)}^{- (b + c)} (72)

donde

b + c = D_{max}

Aceptación de un proyecto X:

Se acepta el proyecto X exclusivamente si:

D_{max} (X) \geq 0 (73)

y cuanto mayor sea

D_{max}

, mejor, para cualquier tipo de proyecto.

Concordancia con el VAN:

D_{max} = (lnB - lnC) / ln (1 + r), r > 0 (74)

dado que

ln (1 + r) > 0

{sgnD}_{max} = sgn (lnB - lnC) (75)

(lnB - lnC) \geq 0 \Leftrightarrow B - C \geq 0 (76)

(lnB - lnC) \geq 0 \Leftrightarrow VAN \geq 0 (77)

6. La anualidad equivalente (Æ)

La Æ es un flujo constante æ que proporciona el mismo valor actual que los flujos periodificados del proyecto.

Definición de Æ:

Dado un proyecto X con:

\begin{array}{l} V A N (X_{t}; r) = X_{0} + X_{1} {(1 + r)}^{- 1} + \dots + X_{T} {(1 + r)}^{- T}, l a Æ h t' = æ, t' = \\ = M', \dots, M' + T', é s t a l q u e V A N (h_{t'} = æ; r) = V A N (X_{t}; r) V A N (æ; r) = æ Φ_{M} \end{array} (78)

donde:

Φ_{M} = \sum 1 / {(1 + r)}^{t'}, t' = M', ..., M' + T' (79)

Φ_{M} = [1 / r {(1 + r)}^{M}] [1 + r - 1 / {(1 + r)}^{T}] (80)

con:

Φ_{M = 1} = 1 / r - 1 / r {(1 + r)}^{T} (81)

Φ_{M = 0} = (1 + r) / r - 1 / r {(1 + r)}^{T} (82)

VAN (X_{t}; r) = VAN (æ; r) \Leftrightarrow æ Φ = VAN (X_{t}; r) (83)

de donde:

æ = VAN (X_{t}; r) / Φ (84)

Aceptación de un proyecto X:

Se acepta el proyecto X exclusivamente si:

æ \geq 0 (85)

y cuanto mayor sea æ, mejor, para cualquier tipo de proyecto.

Concordancia con el VAN:

æ = VAN (X_{t}; r) / \sum 1 / {(1 + r)}^{t'}, t' = M', \dots, M' + T' (86)

dado que \sum 1 / {(1 + r)}^{t} > 0 \forall r > - 1 (87)

sgn (æ) = sgnVAN . (88)

7. Plazo de recuperación de costes (PRC)

El PRC es una reinterpretación del popular criterio plazo de recuperación de la inversión que amplía el ámbito de aplicación del criterio.

Definición:

Dado un proyecto X con flujos

c_{t} \leq 0

b_{t} \geq 0, t = 0, \dots, T

, se definen:

C = VA (c_{t}) {y h}_{t'} = æ, t' = 0, \dots, P, tales que VA (h_{t'}) = VA (b_{t}) (89)

El esquema es simple: a partir del proyecto X se forma el X’ con el VA(C) en el momento 0 y la anualidad equivalente æ entre los periodos 0 y P.

El PRC es el periodo más pequeño P* para el cual el VAN entre 0 y P* sea no negativo, como se muestra en la tabla 1 para un proyecto rentable.

El PRC de un proyecto rentable

Proyecto	0	1	…	P*	…	T
X	a₀	a₁	…	a_T*	…	a_T
X’	VA(C) + æ	æ	æ	æ	…	æ
VAN(X’)	< 0	< 0	< 0	≥ 0	> 0	> 0

En otras palabras, el PRC es el tiempo más pequeño P* de modo que:

C = æ Φ_{M = 0} (90)

C = æ [(1 + r) / r - 1 / r {(1 + r)}^{P *}] (91)

rC / æ = 1 + r - 1 / {(1 + r)}^{P *} (92)

rC / æ - 1 - r = - 1 / {(1 + r)}^{P *} (93)

ln [1 + r - rC / æ] = ln (1) - ln [{(1 + r)}^{P *}] (94)

De (94), se puede aplicar el PRC siempre que

r > 0

C / æ > (1 + r) / r

Aceptación de un proyecto X:

Se acepta el proyecto X, definido en

[0, T]

exclusivamente si:

PRC \leq T (95)

T - PRC \geq 0 (96)

y cuanto más pequeño sea el PRC, mejor.

Dado que el PRC es una media, puede ser positivo, cero o incluso negativo, como se observa en los ejemplos de la tabla siguiente.

Ejemplos de PRC de diferente signo

Proyecto	0	1	VAN(r = 1)	æ	PRC
X₁	–1	4	1	1,33	-0,32
X₂	–1	3	0,5	1	0
X₃	–1	2	0	0,66	1
X₄	–1	1,6	-0,2	0,53	3

Concordancia con el VAN:

Por construcción, la anualidad equivalente æ entre 0 y P* es igual al VA de los beneficios. Si el PRC no es superior a T, significa que, con las cantidades æ entre los periodos 0 y P, como mínimo se cubre el VA de los costes C. Es decir que:

VAN \geq 0 \forall P \geq P * \Leftrightarrow P * \leq T (97)

8. Teorema de concordancia del VAN

Supongamos que

ζ = {VAN, VFN, TIR, TIR-neta, CBC, CBCneto, D_{max}, PRC}

. Los criterios

ζ

concuerdan entre sí dado que la aplicación de cualquiera de estos criterios conduce siempre a la misma decisión que el VAN.

La elección entre dos proyectos mutuamente excluyentes X e Y

Supongamos un criterio de valoración

ζ_{h} \in ζ

de manera que:

un proyecto X es deseable \Leftrightarrow ζ_{h} (X) \geq 0 (98)

Entonces conviene que, dados dos proyectos X e Y mutuamente excluyentes, X es preferido que Y, si y solo si el proyecto diferencia o incremental

(X - Y)

es deseable, es decir:

X > Y \Leftrightarrow el proyecto ζ_{h} (X - Y) \geq 0 (99)

El proyecto diferencia

(X - Y)

Supongamos el proyecto X con flujos

x_{t}

t = M, …, M + T

y el proyecto Y con flujos

y_{t'}

t' = M', …, M' + T'

. El proyecto diferencia

(X - Y)

se caracteriza por los flujos

(x_{t} - y_{t'})

y un ámbito temporal formado por la unión de los dos ámbitos:

[mín {M, M'}; máx {M + T; M' + T'}]

El criterio de decisión

ζ (X - Y)

aplicado al proyecto diferencia mide el beneficio neto, medido en los términos del criterio, de ejecutar X en lugar de Y.

Uso del proyecto diferencia (X – Y). Necesidad y suficiencia

Algunos de los criterios

ζ

se pueden aplicar a dos proyectos X e Y separadamente y comparar directamente los resultados, como se justifica a continuación.

Proposición:

\exists ζ_{A ∈} ζ tal que X > Y \Leftrightarrow ζ_{A} (X) \geq ζ_{A (} Y) \Leftrightarrow ζ_{A} (X - Y) \geq 0 (100)

Demostración:

Supongamos que el VAN es el criterio

ζ_{A}

; entonces:

X > Y \Leftrightarrow VAN (X) \geq VAN (Y) (101)

X > Y \Leftrightarrow VAN (X) - VAN (Y) \geq 0 (102)

X > Y \Leftrightarrow VAN (X - Y) \geq 0 por la propiedad aditiva del VAN (103)

pero esta característica deseable no es general.

Proposición:

\exists ζ_{B} \in ζ y unos proyectos X e Y tales que no se cumple X > Y \Leftrightarrow ζ_{B} (X) \geq ζ_{B} (Y) (104)

Demostración:

Supongamos que el CBC o la TIR son el criterio

ζ_{B}

. Si los proyectos X e Y son como los de la tabla siguiente, entonces ocurre que

{CBC}_{Y} > {CBC}_{X}

{TIR}_{Y} > {TIR}_{X}

, pero

{VAN}_{X} > {VAN}_{Y}

, lo que demuestra la falta de concordancia. Sin embargo, la aplicación de estos criterios al proyecto diferencia

(X - Y)

no presenta ningún problema dado que los tres criterios coinciden en señalar que el proyecto X es preferible al Y.

Elección entre proyectos excluyentes con diferentes criterios

Proyecto	0	1	CBC	TIR	VAN(r = 0,1)
X	–100	200	1,8	100%	81,8
Y	–10	40	2,6	300%	26,4
X – Y	–90	160	1,6	77,8%	55,5

Este ejemplo muestra la necesidad de utilizar el proyecto diferencia cuando el criterio usado no está expresado en términos absolutos como el VAN y el VFN, sino relativos, como, por ejemplo, la TIR y el CBC.

Falta demostrar que la aplicación de los criterios

ζ

en el proyecto diferencia

(X - Y)

es suficiente para garantizar la concordancia. Podéis ver, por ejemplo, el caso del CBC.

Elección entre los proyectos X e Y con el criterio CBC:

La condición de preferencia entre X e Y se puede encontrar de manera mecánica:

X > Y \Leftrightarrow VAN (X) = B_{X} - C_{X} \geq VAN (Y) = B_{Y} - C_{Y} (105)

B_{X} - B_{Y} \geq C_{X} - C_{Y} (106)

\begin{matrix} (B_{X} - B_{Y}) / (C_{X} - C_{Y}) & \geq & 1 & si C_{X} - C_{Y} & > & 0 \\ (<) & (<) \end{matrix} (107)

o bien mediante la aplicación directa del teorema de concordancia del VAN:

X > Y \Leftrightarrow {CBC}_{X - Y} = B_{X - Y} / C_{X - Y} \geq 1 (108)

Aunque las dos condiciones

(B_{X} - B_{Y}) / (C_{X} - C_{Y}) \geq {1 si  C}_{X} - C_{Y} > 0

X > Y \Leftrightarrow {CBC}_{X - Y} = B_{X - Y} / C_{X - Y} \geq 1

son correctas, es esperable que

B_{X - Y} / C_{X - Y} \neq (B_{X} - B_{Y}) / (C_{X} - C_{Y})

, dado que en general

B_{X - Y} \neq B_{X} - B_{Y} {y C}_{X - Y} \neq C_{X} - C_{Y}

La condición

X > Y \Leftrightarrow {CBC}_{X - Y} = B_{X - Y} / C_{X - Y} \geq 1

es más simple de aplicar que la

(B_{X} - B_{Y}) / (C_{X} - C_{Y}) \geq {1 si  C}_{X} - C_{Y} > 0

y la interpretación cuantitativa es más directa. Con todo, si se trata de comparar una serie larga de proyectos es más apropiada la condición

(B_{X} - B_{Y}) / (C_{X} - C_{Y}) \geq {1 si  C}_{X} - C_{Y} > 0

Nota

Para aplicar la condición

X > Y \Leftrightarrow {CBC}_{X - Y} = B_{X - Y} / C_{X - Y} \geq 1

se necesitan los flujos periodificados de todos los proyectos y, en cambio, para la

(B_{X} - B_{Y}) / (C_{X} - C_{Y}) \geq {1 si  C}_{X} - C_{Y} > 0

basta con disponer del valor actual de los beneficios B_j y los costes C_j de cada proyecto j, j = 1, …, J, para poder compararlos por dos.

Proposición:

Para elegir el mejor de dos proyectos mutuamente excluyentes X e Y, la aplicación de un criterio cualquiera

ζ

al proyecto diferencia

(X - Y)

es suficiente para obtener el mismo resultado que aplicando el criterio VAN.

Demostración:

Por el teorema de concordancia del VAN, la aplicación de cualquier criterio de decisión

ζ

es siempre coherente con el VAN para cualquier proyecto P. En particular, la aplicación de cualquier criterio

ζ

al proyecto diferencia

(X - Y)

también será necesariamente coherente con el VAN.

9. Conclusiones

En este trabajo se ha evidenciado que buena parte de los problemas denunciados repetidamente en la bibliografía, que suponen que algunos criterios de decisión no se consideren adecuados para evaluar la rentabilidad de un proyecto, se pueden resolver con una interpretación y aplicación correctas de estos criterios. Es el caso de los supuestos problemas causados por la multiplicidad de tasas internas de rendimiento, que, como se ha mostrado, no invalidan el criterio si se aplica de manera correcta. Respecto a los problemas de multiplicidad de tasas de descuento, en el caso de la TIR, o del plazo máximo de recuperación de la inversión, se han sugerido alternativas como la TIR neta o el PRC, que también supondrían una recomendación que coincidiría con el criterio VAN para cualquier proyecto. Además, se han propuesto criterios nuevos que amplían la gama de medidas de deseabilidad de un proyecto, sin que disminuya la coherencia del análisis, dado que todos estos criterios concuerdan con el criterio básico, el VAN. Los resultados se resumen en el teorema de concordancia del VAN: la aplicación de cualquier combinación de ocho criterios

ζ

analizados (VAN, VFN, TIR, TIR neta, CBC, CBC neto, D_máx, Æ y PRC) para determinar la deseabilidad de un proyecto conducen siempre al mismo resultado cualitativo.

En cuanto al problema de elección entre proyectos excluyentes, se ha demostrado que el teorema de concordancia del VAN se extiende al caso de la elección entre dos proyectos mutuamente excluyentes, X e Y, si los criterios ζ se aplican al proyecto diferencia

(X - Y)

. En otras palabras, la aplicación de cualquiera de los criterios comentados daría el mismo resultado, siempre que se aplique el criterio al proyecto diferencia.

10. Referencias bibliográficas

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Anexo 2. Evaluación económica de las galerías de servicios públicos (nivel I)

Introducción

Este trabajo sobre la valoración económica de las galerías de servicios públicos (GSP, de ahora en adelante) se ha elaborado a partir de los resultados conseguidos en el proyecto de investigación sobre economía del subsuelo urbano mediante convenio entre IMPU, SA, y la Universidad Autónoma de Barcelona. Participaron en el proyecto los investigadores J. A. Acebillo, R. Arandes, J. M. Domènech, R. García-Bragado, X. Mas, C. Ocaña, J. A. Palacín, J. Pasqual (director), J. Pinyol, P. Riera, F. Ruiz y R. M. Sala.

Las GSP son unas galerías construidas en el subsuelo urbano (el espacio situado por debajo de la cota cero) destinadas a situar las canalizaciones de los servicios públicos, como por ejemplo el agua, la electricidad o la telefonía. Esta manera de situar los servicios públicos sustituye a la tradicional, que consiste en enterrar cañerías en el subsuelo sin más orden ni ley que los dictados por el principio del mínimo esfuerzo por “a quien llega primero”.

Como resultado de esta conducta, se puede hablar con propiedad de “la caótica situación en que se encuentran las canalizaciones de los servicios públicos enterrados en nuestras calles”.

J. A. Acebillo (1989). “El subsuelo urbano y las técnicas de ordenación de los servicios públicos”. CEUMT (núm. 109, págs. 52-54).

Esta situación no es nueva, como se puede leer en el tomo I de Cerdá (1867):

“De esta ligera reseña se desprende fácilmente cuán y de qué mala manera se ha de hacer, y cuán expuesto a peligros, graves a veces, ha de estar un servicio emprendido y realizado en diversas épocas, bajo distintos planes y direcciones diferentes, sin combinación alguna con otras obras subterráneas más o menos análogas, y que por consiguiente se entrelazan y amalgaman con él en la más confusa mescolanza, en el más inextricable laberinto”.

I. Cerdá (1867). Teoría general de la urbanización, y aplicación de sus principios y doctrinas a la reforma del Ensanche de Barcelona (págs. 313 y 314). Madrid.

A pesar de la antigüedad y la importancia del problema del subsuelo urbano, no se encuentran antecedentes de análisis económicos relacionados con este espacio peculiar. Por este motivo, antes de abordar el problema de valorar las GSP (sección 3), en la sección siguiente describiremos en términos económicos el subsuelo urbano, con el fin de disponer de una base teórica mínima, para intentar responder, al menos en parte, a las cuestiones que plantea la ordenación de los servicios públicos en la ciudad.

1. Caracterización y usos del subsuelo

El subsuelo urbano es un espacio, escaso y valioso, que constituye un conjunto de bienes diferentes desde una perspectiva económica. Una descripción técnica y detallada de los distintos usos del subsuelo urbano se puede encontrar en Arandes (1989 y 1990). Dependiendo del tipo de utilización se pueden distinguir tres usos principales del subsuelo:

Referencias bibliográficas

J. P. Gittinger (1987). Análisis económico de proyectos agrícolas. Madrid: Instituto de Desarrollo Económico del Banco Mundial / Ed. Tecnos.

R. J. Brent (1998). Cost-benefit analysis for developing countries. Cheltenham / Northampton, MA: Edward Elgar.

R. A. Brealey; S. C. Myers; F. Allen (2008). Principles of corporate finance (9.ª ed., pág. 126). Auckland: Ed. McGraw-Hill.

Como contenedor de estructuras urbanas.
Como contenedor de infraestructuras urbanas.
Como reserva de espacio.

El subsuelo urbano, como contenedor de estructuras, es un bien privado, sustitutivo del vuelo (el espacio situado encima de la cota cero) y mucho más apreciado cuanto mayor sea la escasez de suelo edificable y cuantas mayores restricciones de utilización del vuelo existan. Es un espacio privilegiado para la ubicación de almacenes, cámaras frigoríficas y refugios, entre otros usos, mientras que su utilización como habitáculo es menos demandada.

El subsuelo urbano, como contenedor de infraestructuras urbanas –ferrocarril, redes de servicios, etc.– deja de ser un bien privado (el consumo de una unidad disminuye el total disponible exactamente una unidad) para convertirse en subprivado, dado que el uso de una unidad de subsuelo implica la inutilización de una cantidad mayor, debido a las interferencias –externalidades negativas– que una instalación provoca en las otras.

En consecuencia, la cantidad total de subsuelo ocupado frente al inutilizado dependerá tanto de la cantidad de servicios que albergue como, especialmente, del modelo empleado para la ubicación de estos servicios. La superioridad del modelo de GSP frente al sistema tradicional radica precisamente en la reducción del grado de subprivatización, definido como el cociente entre la disminución de la cantidad de espacio disponible para otros usos y el espacio total ocupado, lo que se traduce directamente en un ahorro de espacio.

La demanda de subsuelo urbano como contenedor de infraestructuras, en una zona determinada, es creciente respecto a la cantidad de habitantes y de usuarios de la zona –depende en buena medida de la densidad– y de su renta. Asimismo, las innovaciones tecnológicas que se producen en los servicios públicos y la sensibilidad cada vez mayor de la calidad del medio ambiente, que impide situar determinados servicios en el vuelo, como torres de alta tensión, provocan fuertes desplazamientos positivos de la demanda de subsuelo en las ciudades.

Las redes de servicios públicos presentan peculiaridades importantes que hay que tener en consideración. El primer factor que hay que destacar es la antigüedad en el uso del subsuelo, no solo protagonizada por la red de saneamiento, sino también por las de suministro de agua potable y electricidad. La existencia de instalaciones más que centenarias, junto con la multiplicidad y diversidad de actuaciones en el subsuelo a cargo de agentes diferentes, así como la ausencia de una regulación estricta de la ubicación de servicios en el subsuelo, obligan a plantearse la confección de un mapa del subsuelo con el fin de conocer la ubicación de cada servicio.

El segundo factor relevante es el fuerte condicionante que provoca una instalación en las siguientes. El problema de dos líneas diferentes de ferrocarril que discurren por una misma cota y coinciden en un mismo punto, o incluso en una misma zona, no se puede solucionar sin incurrir en costes fuertes. En menor medida, se plantea el mismo problema cuando se cruzan dos canalizaciones, sobre todo cuando deben mantener entre sí una cierta distancia de seguridad.

Como reserva de espacio, el subsuelo urbano es un bien colectivo, lo que significa que el consumo (no consuntivo) de un individuo no disminuye el consumo de este que realizan los otros. Sin duda, cuando se utiliza efectivamente esta reserva, disminuye la cantidad en reserva para todos los consumidores. La ciudad necesita espacios de reserva tanto para la ubicación provisional de servicios como para ampliaciones y, sobre todo, para rediseñar las tramas urbanas con objeto de permitir la adaptación a necesidades nuevas.

Dado que se trata de un bien colectivo, no es esperable que el mercado proporcione ninguna cantidad de espacio a tal efecto; por el mismo hecho, el ciudadano medio no destinará voluntariamente ninguna cantidad a financiar este bien. En todo caso, debe ser el sector público el que, mediante el instrumento planificador y otros, se encargue de la provisión de un bien que puede llegar a constituir un factor limitativo del desarrollo y de la modernización de la ciudad. Por lo tanto, es necesario que la planificación urbanística tenga en consideración el subsuelo, del mismo modo que se encarga de ordenar el vuelo.

2. Precio y derechos de propiedad del subsuelo

Una característica del subsuelo urbano –y no solo en Europa– es la indefinición en los derechos de uso y propiedad del subsuelo público de la ciudad. Los derechos de propiedad (DDP, en adelante) del subsuelo municipal no están de manera clara en poder del municipio. En nuestro país, los DDP los tiene en parte el Estado español, dado que regula legalmente las condiciones y el precio de acceso al uso del subsuelo por parte de los principales usuarios, las compañías de servicios públicos (CDS, en adelante).

Por otro lado, los mismos usuarios directos, las CDS, tienen en buena medida los DDP, dado que el municipio, en la práctica, no puede impedir el uso del subsuelo para situar servicios de primera necesidad, cuando y del modo que las CDS consideren necesario.

Las CDS compiten entre ellas para acceder a los mejores espacios, y si una CDS sitúa una canalización en un espacio determinado, este espacio queda en su poder durante un tiempo ilimitado, aunque la instalación quede fuera de servicio. Si por razones de interés público el municipio insta a la CDS a trasladar la instalación, en general, es el propio municipio el que deberá financiar la operación, dado que la CDS, de alguna manera, tiene parte de los DDP del subsuelo de titularidad pública.

El creciente conflicto de intereses que confluyen en el subsuelo urbano de titularidad pública aconseja tratar de definir de la manera más nítida posible los DDP. Es decir, los fuertes costes de transacción pueden impedir actuaciones públicas altamente rentables. En particular, la buena o mala definición de los DDP afecta a las asignaciones de este espacio al influir en el precio del subsuelo.

Si el subsuelo urbano es un bien preciado y escaso, tanto el precio usado en las transacciones como el precio de cuenta o precio sombra para valorar este espacio en los proyectos públicos debería ser elevado. Sin embargo, cuando uno de los agentes es el sector público, existe la tendencia a asignar un precio nulo al subsuelo (no se ha encontrado ninguna referencia al precio del subsuelo en la bibliografía especializada, tampoco se ha encontrado ningún caso de utilización).

Este hecho supone fuertes inconvenientes. Por un lado, si el sector público debe elegir entre dos proyectos y al menos uno utiliza subsuelo, la información estará distorsionada en favor del proyecto que utiliza más cantidad de subsuelo. Al usar un factor productivo valorado a un precio nulo, se altera artificialmente el coste real y la rentabilidad consiguiente.

Un problema del mismo orden, la valoración nula o inadecuada del espacio ocupado, se presenta en proyectos que utilizan espacio en el vuelo sin ocupar los primeros niveles. En consecuencia, la valoración de proyectos alternativos, situado uno en el vuelo y otro en el subsuelo, no será fiable. Un caso típico de esto sería la comparación de dos proyectos alternativos de líneas de alta tensión, una aérea y otra con las líneas instaladas en una galería subterránea.

Por otro lado, en España, las compañías de servicios (CDS) pagan al municipio un porcentaje predeterminado del total facturado por el uso del vuelo y del subsuelo públicos. Con independencia de que esta cantidad sea o no muy elevada, con este sistema resulta que las CDS pagan un precio nulo por la ocupación del subsuelo público. En efecto, el precio, lo que se paga por la ocupación de una unidad más, es nulo, ya que las CDS no pagan ninguna cantidad por el uso de una porción adicional de subsuelo ni por la ocupación de un espacio determinado durante más tiempo. En consecuencia, el uso del subsuelo es necesariamente ineficiente por exceso, dado que se utilizará como si fuera un bien libre.

Una manera práctica de calcular el precio del subsuelo en una zona determinada consiste en aplicar la fórmula siguiente:

u = [p / (1 + b)] - c (109)

Referencias bibliográficas

R. Arandes (1989). “La planificació del subsòl”. Papers de Seminari, 2/88/ER/PAS. Barcelona: Institut d’Estudis Metropolitans de Barcelona / Universitat Autònoma de Barcelona.

R. Arandes (1990). “Problemàtica tècnica en la lluita per l’ús del subsòl urbà”. En: Actes del Congrés d’Urbanisme i Territori de Catalunya (págs. IV.B.55- IV.B.60). Barcelona: Federació de Municipis de Catalunya.

donde u, el precio total del espacio ocupado en el subsuelo, depende del precio total de una construcción en el subsuelo p, del beneficio del promotor b, que se supone constante para cualquier edificación en el subsuelo o en el vuelo, y del coste total de esta construcción c.

El precio u valorado de este modo es una aproximación al precio de mercado, el precio que determinaría el mercado específico que hay en la zona de la que se toman los datos. Nada tiene que ver, pues, con el precio óptimo en el sentido de Pareto ni con el de un mercado perfectamente competitivo.

La asignación eficiente del subsuelo urbano entre los distintos usos alternativos, en una economía guiada por precios, necesita un precio para el subsuelo urbano en cada zona de la ciudad. Esta información es necesaria no solo para la selección de proyectos públicos, sino también para la asignación de espacios entre los diferentes usuarios del subsuelo.

3. Valoración económica de las galerías de servicios públicos

La rentabilidad de las GSP se ha determinado examinando la variación en los costes y beneficios provocada por el hecho de situar las redes de servicios públicos en las GSP en lugar de usar el sistema tradicional de conducciones enterradas. El ámbito temporal del proyecto de GSP se establece en cincuenta años.

No se ha calculado la deseabilidad económica de las GSP frente a las conducciones aéreas, dado que la comparación de un proyecto se debe llevar a cabo en oposición al mejor proyecto alternativo, para no aumentar de manera artificial la rentabilidad. Se da por supuesto que el sistema de conducciones enterradas, en una ciudad, domina al de conducción aérea. Los agentes económicos involucrados son compañías de servicios (CDS), usuarios de los servicios, usuarios de la vía pública, usuarios del subsuelo y Administración local.

4. Costes y beneficios

Referencia bibliográfica

J. Pasqual; P. Riera (1990). “Considering urban underground land value in project evaluation studies. A practical way of estimating it”. Working Paper, 90.01. Barcelona: Universitat Autònoma de Barcelona, Departament d’Economia Aplicada.

Se han computado los conceptos de coste y beneficio tangibles y relevantes; no se han tenido en consideración los aspectos intangibles, ni los beneficios de tipo distributivo. Todos los flujos se expresan en pesetas constantes de 1990. Se han valorado los elementos de coste y beneficio siguientes:

Ahorro en el espacio usado. Al espacio efectivamente ocupado se añade el espacio hipotecado (el que queda inutilizable para los otros usuarios porque se trata de un bien subprivado), por ejemplo para respetar las distancias de seguridad entre dos conducciones de media tensión. Se ha calculado el precio del subsuelo urbano utilizando la fórmula presentada en el apartado anterior, y se elige como mejor alternativa la construcción de aparcamientos. El precio de venta de una plaza de aparcamiento es de P = 2.500.000 ptas. (precio medio neto en 1989), el coste total es de c = 1.200.000 ptas. suponiendo una tasa de rendimiento del 35% (según estimaciones de técnicos de DOYMO y de empresas inmobiliarias). Con estos datos, resulta un precio total para el subsuelo de u = 651.852 ptas. El precio por metro cúbico se encuentra considerando el espacio total ocupado por una plaza de aparcamiento (que es igual a 2,44,51,9 m³), y resulta un precio para el subsuelo urbano de 31.767 ptas./m³.

La diferencia de subsuelo ocupado entre los dos sistemas depende del volumen de zanjas que la GSP pueda sustituir. La capacidad total de la GSP no se usa desde el primer periodo, sino que se va ocupando paulatinamente, a medida que se van sustituyendo los cables obsoletos enterrados. Se supone que en el primer año, la GSP ahorra la única zanja para servicio telefónico y la mitad de las diez de electricidad. En este primer periodo, se produce un ahorro negativo de 3,15 m³ de subsuelo por cada metro lineal de GSP.

El coste de este espacio, en rigor, es privado. Sin embargo, teniendo en cuenta la peculiar asignación de los DDP, tiene el carácter de coste externo para los usuarios, dado que el precio que pagan por el consumo de subsuelo es nulo.
Construcción. Se consideran costes privados el coste de la obra civil (que incluye los accesorios, como iluminación, soportes, entradas y sistemas de seguridad) y la longitud diferencial entre el sistema de GSP y el tradicional. También se tiene en cuenta el coste externo que representan las perturbaciones que provocan las obras. El coste de material se supone idéntico en ambos sistemas.

Los costes externos, las molestias causadas por las obras, son mayores con el sistema tradicional. Se ha considerado que el coste para los residentes en la zona que está en obras es de un tercio del alquiler de su vivienda o comercio. Dado que la cifra resultante (unas 14.000.000 ptas. para el sistema tradicional) es muy pequeña en términos relativos, este coste externo que se reduce con las GSP no se incorpora al cálculo de la rentabilidad. Por el mismo motivo y en honor de la simplicidad, tampoco se computa el coste para conductores y peatones, que es favorable a las GSP, aunque por otro lado resulta fácil de calcular.
Mantenimiento. Las compañías de servicios no hacen trabajos de mantenimiento preventivo en ninguno de los dos sistemas. Se tienen en consideración solo los costes de mantenimiento de estas GSP, que representan un millón de pesetas por kilómetro el año aproximadamente, es decir, poco más de 25.000.000 ptas. al año. El coste de las averías se reduce con el sistema de GSP un 80% para las conducciones eléctricas y un 70% para comunicaciones respecto al sistema tradicional.

La reducción del número de averías y el tiempo usado en su reparación supone una disminución de los efectos negativos causados por la interrupción del servicio y por las obras de reparación. Sin embargo, estos costes externos no parecen muy importantes y no se computan.
Sustitución. Se considera que la vida media de los cables es de treinta años. A medida que los cables situados mediante el sistema tradicional llegan al final de su vida útil se van sustituyendo, y se sitúan en las GSP hasta ocupar la capacidad total. Por el sistema tradicional, la sustitución afectaría a cinco zanjas de dos circuitos de 25 kW cada uno, lo que supone abrir una zanja y reponer los dos circuitos cada seis años.

El sistema de GSP ahorra costes de reposición en cada uno de los años 2, 8, 14, 20, 26, 38 y 44. En el año 30 caducan las canalizaciones que se instalaron en 0; el coste de los materiales es el mismo en ambos sistemas, por lo que el ahorro se reduce al coste de abrir y volver a cerrar cinco zanjas por el sistema tradicional y es favorable al sistema de GSP. Simultáneamente, se va incrementando el ahorro en la cantidad de subsuelo ocupado con cada canalización, que se sitúa en la GSP en lugar de seguirse el sistema tradicional en cada uno de los años 2, 8, 14, 20 y 26.

5. Cálculo de la rentabilidad

Como medida de rentabilidad, se usa la tasa interna de rendimiento (TIR, en adelante; como es habitual, también en este caso la TIR existe y es única). Se distinguirán dos tipos de rentabilidad: la privada, que solo considerará costes y beneficios privados, y la social o total, que tendrá en consideración también los costes y beneficios externos. En este caso, de todos los flujos computados, únicamente el valor del subsuelo ahorrado con el sistema de GSP tiene carácter de externo.

La tasa real de rentabilidad privada (TIR*) es de cerca del 7% y la social o total (TIR) resulta superior al 30%, expresada también en términos reales partiendo de una ocupación del 6% de la capacidad de las GSP en el periodo uno. La rentabilidad efectivamente conseguida es muy sensible al ritmo de ocupación de las GSP; así, en el caso de ocupación completa desde el primer año, las tasas de rentabilidad privada y social serían de cerca del 40 y 900%, respectivamente.

6. Financiación de las GSP

El cálculo de la rentabilidad privada de las GSP ofrece un resultado positivo para el conjunto de usuarios. La tasa de rendimiento interno de la inversión según hipótesis muy modestas es del 7% en términos reales, sin contar el beneficio que implica el ahorro de espacio ocupado en el subsuelo. En consecuencia, los propios usuarios podrían financiar las galerías, al menos en parte, siguiendo el principio impositivo del beneficio.

Sin embargo, la configuración peculiar de los DDP proporciona un resultado desigual para cada usuario. En efecto, el sistema establecido legalmente para financiar las galerías, la Ley Reguladora de las Haciendas Locales 39/88, obliga a repartir el coste entre los usuarios –las CDS– en proporción al espacio ocupado, con lo que se incumple el principio de equidad vertical. De este modo, los servicios de comunicaciones obtendrían una rentabilidad muy alta porque requieren poco espacio; para el suministro de agua potable el cálculo es claramente negativo y para el resto se obtienen resultados intermedios.

Por otro lado, el ahorro al subsuelo ocupado es un beneficio externo debido al modo legal de pago de las CDS en los municipios. Si el titular de este espacio pudiera negociar el precio de uso, el beneficio no tendría carácter externo para las CDS, sino que lo computarían adecuadamente como beneficio propio, lo que aumentaría de manera espectacular la rentabilidad privada. En consecuencia, superadas las limitaciones que impone actualmente el sector público, la iniciativa privada estaría interesada en el uso de las GSP.

En resumen, aunque la rentabilidad potencial de las GSP es alta, el modo de financiación de las GSP establecida en la ley supone un freno importante al establecimiento de esta nueva tecnología urbana, dado que impone transferencias económicas importantes a las CDS que requieren más espacio (suministro de agua potable) en beneficio de las que requieren menos (comunicaciones).

7. Conclusiones

El subsuelo urbano es un bien cada vez más escaso y apreciado a medida que aumentan la densidad de población, la renta y la preferencia por la calidad medioambiental. La demanda de subsuelo urbano es extremamente rígida para determinados servicios, como por ejemplo redes de saneamiento y canalización de aguas pluviales o ferrocarriles, por mencionar dos servicios que imponen fuertes servidumbres a los otros usuarios del subsuelo y para los que cualquier desviación respecto a la ubicación idónea implica incrementos de los costes espectaculares.

La definición inadecuada de los DDP, especialmente para el subsuelo de titularidad pública, implica graves dificultades. Destaca el hecho de que, en la práctica, se ceda el uso del subsuelo público a precio cero, lo que implica distorsiones en la asignación entre espacios alternativos para la ubicación de determinados bienes y servicios. A la vez, el uso del subsuelo a precio nulo provoca la concentración de redes de servicios en las cotas más cercanas a la superficie, que son las de más fácil acceso, de manera que quedan infrautilizadas cotas más profundas.

A diferencia de cualquier espacio situado por encima de la cota cero (el vuelo), que es objeto de planificación, con regulación detallada de los distintos usos posibles, el subsuelo se suele obviar y deja el campo libre para la competencia no reglada entre los usuarios del subsuelo. La ausencia de normas efectivas y la intensa competencia para situar en un mismo espacio servicios que se interfieren mutuamente (cuando no son incompatibles) conducen a un resultado que ha sido calificado reiteradamente como caótico.

Las galerías de servicios públicos (GSP) para la ubicación de servicios ciudadanos constituyen un elemento innovador que permite racionalizar el uso del subsuelo a la vez que evitan, en gran medida, las interferencias entre servicios de diferentes compañías, característica propia del sistema tradicional de canalizaciones enterradas.

Las GSP estudiadas presentan una alta rentabilidad, cuyo beneficio principal es el ahorro de espacio en el subsuelo. Existen algunos beneficios que no se han computado, como por ejemplo los costes medioambientales más bajos, la disminución en los costes causados por interrupciones del servicio con motivo de averías y las interferencias que provocan las obras en aceras y calzadas. Por ello, la cifra de rentabilidad social resultante se debe considerar una cota inferior a la verdadera.

La asignación deficiente de los DDP del subsuelo público, la inexistencia de un precio positivo para el subsuelo (incluso como mero precio de cuenta) y las restricciones legales sobre el modo de financiación de las GSP constituyen graves obstáculos para la realización de proyectos de este tipo a pesar de su alta rentabilidad potencial.

Por fortuna, todos los obstáculos mencionados son evitables: los DDP se pueden reasignar, determinar el precio del subsuelo es una tarea simple y las limitaciones a las formas de financiación de las GSP se pueden relajar, cambiar por otras más razonables o suprimir sin más ni más.

La rentabilidad de las GSP se puede medir mediante el cálculo de la tasa interna de rentabilidad (TIR). Para la estimación de los flujos de costes y beneficios relevantes en cada periodo con un buen grado de aproximación, basta con valorar únicamente cinco impactos diferenciales, los que se han revelado como más importantes. Estos factores son el espacio ocupado, el coste de construcción, los costes por mantenimiento preventivo y reparaciones y el coste de sustitución de las canalizaciones.

Conviene recordar que la hipótesis sobre el ritmo de ocupación de las GSP influye decisivamente en la rentabilidad, por lo que no conviene establecerla a la ligera. No es tan importante el supuesto sobre la duración total del proyecto, dado que los principales impactos se concentran en los primeros periodos.

La información total necesaria para cuantificar y valorar los impactos principales y estar en disposición de determinar la rentabilidad de un proyecto de GSP frente al sistema tradicional se reduce a ocho datos. Para cada sistema (GSP y sistema tradicional) se requiere la información siguiente:

Volumen de subsuelo ocupado por cada metro lineal (incluidas las distancias de seguridad).
Longitud total de las canalizaciones.
Precio del metro cúbico de subsuelo.
Precio de construcción por metro lineal.
Coste del mantenimiento preventivo.
Número de averías.
Coste medio por reparación de averías.
Tiempo medio de vida de las conducciones.

Como hemos visto, una vez hecho un primer análisis de un nuevo tipo de proyecto, los costes de hacer otros se reducen de manera significativa. Los análisis coste-beneficio sobre uso del subsuelo urbano se pueden estandarizar fácilmente de tal manera que sea suficiente con la aplicación de la lógica económica a una rutina simple. Es posible, pues, pasar de una situación en la que la valoración de proyectos públicos constituye un hecho excepcional a otra en la que las valoraciones y las consiguientes ordenaciones de proyectos alternativos se realizan de manera sistemática, como ocurre en otros países con los proyectos de infraestructuras viarias, por ejemplo.

8. Referencias bibliográficas

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El cálculo de la rentabilidad

Joan Pasqual Rocabert

Introducción

Anexo