El movimiento

Claves para una animación realista

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Índice

1.Entender el movimiento: posición, trayectoria, velocidad y aceleración
- 1.1.Posición de un objeto
  - 1.1.1.Sistemas de referencia
- 1.2.Movimiento
  - 1.2.1.Vector de posición
  - 1.2.2.Trayectoria
- 1.3.Velocidad
- 1.4.Aceleración
- 1.5.Cambios de sistemas de referencia
2.Cómo se mueven las cosas: tipos de movimiento
- 2.1.Movimiento rectilíneo y uniforme
  - 2.1.1.Posición en función del tiempo
  - 2.1.2.Velocidad en función del tiempo
- 2.2.Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
  - 2.2.1.Posición en función del tiempo
  - 2.2.2.Velocidad en función del tiempo
  - 2.2.3.Disminución de la velocidad
- 2.3.Movimiento oscilatorio armónico simple
  - 2.3.1.Posición en función del tiempo
  - 2.3.2.Velocidad y aceleración en función del tiempo
- 2.4.Movimiento circular uniforme
  - 2.4.1.Velocidad lineal y velocidad angular
  - 2.4.2.Posición en función del tiempo
  - 2.4.3.Aceleración
3.Por qué se mueven las cosas: las fuerzas
- 3.1.Primera ley de Newton: principio de inercia
- 3.2.Segunda ley de Newton: F = ma
  - 3.2.1.Unidades de fuerza
  - 3.2.2.El peso
- 3.3.Tercera ley de Newton: principio de acción y reacción
- 3.4.Fuerza de rozamiento
- 3.5.La fuerza recuperadora en un muelle
  - 3.5.1.Fuerza en función de la posición
- 3.6.La fuerza centrípeta en un movimiento circular
4.Concepto de energía. Energía cinética y potencial. Conservación de la energía mecánica
- 4.1.Energía cinética
- 4.2.Energía potencial
  - 4.2.1.Energía potencial gravitatoria
  - 4.2.2.Energía potencial elástica
- 4.3.Conversión energía cinética – energía potencial
- 4.4.Conservación de la energía mecánica
- 4.5.Otras formas de energía
5.Animación de explosiones y colisiones
- 5.1.Sistemas de partículas
  - 5.1.1.Centro de masas
  - 5.1.2.Movimiento del centro de masas
- 5.2.Momento lineal y energía cinética de un sistema de partículas
  - 5.2.1.Energía cinética de un sistema de partículas
  - 5.2.2.Conservación del momento lineal
- 5.3.Colisiones
  - 5.3.1.Impulso neto y fuerza media
  - 5.3.2.Colisiones en una dimensión
  - 5.3.3.Colisiones en dos y tres dimensiones
6.La gravedad
- 6.1.El movimiento de los planetas
- 6.2.La ley de gravitación universal
  - 6.2.1.La gravedad
  - 6.2.2.Energía potencial gravitatoria
  - 6.2.3.Velocidad de escape
  - 6.2.4.Movimiento de los satélites
Actividades
Ejercicios de autoevaluación
Solucionario

1.Entender el movimiento: posición, trayectoria, velocidad y aceleración

El comportamiento de cada uno de los elementos que existen en el mundo real sigue unas pautas muy concretas. Las leyes físicas describen estas pautas. Tal como se explicó en el módulo 1, estas leyes físicas se pueden describir mediante expresiones matemáticas que relacionan unas variables con otras. En el caso del movimiento, conocer las leyes físicas implicadas resulta una herramienta imprescindible para poder realizar simulaciones y animaciones multimedia realistas.

En el presente módulo conoceremos qué tipos de movimientos describen los objetos que nos rodean y cuáles son las causas de estos movimientos. Relacionaremos mediante expresiones matemáticas las diferentes variables implicadas en el movimiento, es decir, la posición, la velocidad, la aceleración, el tiempo, las fuerzas y la masa de los objetos.

Con este módulo se pretende que, a partir de las relaciones matemáticas entre las diferentes variables implicadas en el movimiento de un objeto, se puedan realizar simulaciones y animaciones multimedia que muestren el movimiento de un modo realista. Para que esto sea posible, se ha descrito cada tipo de movimiento mediante la expresión del vector de posición del objeto (a partir del cual se obtienen directamente sus coordenadas) en función del tiempo.

Figura 1

1.1.Posición de un objeto

En un juego de guerra de barcos, determinamos las posiciones de los barcos del contrincante mediante una letra y un número. Los barcos tienen sus piezas colocadas en una cuadrícula. La posición de cada pieza está determinada por el número correspondiente a la fila de la cuadrícula a la que pertenece y por la letra de la columna en que está situada.

Figura 2

1.1.1.Sistemas de referencia

La posición de un objeto se determina mediante las coordenadas de ese objeto en un sistema de referencia concreto. Un sistema de referencia cartesiano determina la posición de un objeto mediante la distancia que lo separa de dos ejes perpendiculares, a los que se suele llamar eje x o eje de abscisas, y eje y o eje de ordenadas. En el sistema de referencia de la figura, el punto dibujado se halla en las coordenadas (20, 30).

Figura 3

Para describir la posición de cualquier objeto en un plano nos basta con definir un par de ejes perpendiculares y un punto de origen, el (0,0), punto que denominamos origen de coordenadas. Por ello decimos que el plano es bidimensional. Necesitamos dos coordenadas, dos dimensiones, para determinar la posición de un objeto.

Si en lugar de determinar la posición de un objeto en un plano nos planteamos determinarla en el espacio, necesitaremos un sistema de referencia con tres ejes perpendiculares entre sí. En este caso, necesitaremos tres coordenadas para determinar la posición del objeto. Por ejemplo, la posición de la bombilla de una lámpara se puede determinar mediante las coordenadas x e y del punto del suelo sobre el que está, y la altura z respecto del suelo.

En la figura se representa la posición de la bombilla de una lámpara en un espacio tridimensional, una habitación, respecto a un sistema de referencia formado por tres ejes perpendiculares que coinciden con una esquina de la habitación.

Figura 4

La posición de un objeto depende de dónde coloquemos el sistema de referencia o, dicho de otro modo, depende del sistema de referencia elegido. La elección del sistema de referencia adecuado puede simplificar muchísimo la tarea de describir correctamente un movimiento para poder realizar una animación con el ordenador.

Un sistema de referencia cartesiano determina la posición de un objeto mediante la distancia que lo separa de dos ejes perpendiculares, que se suelen denominar eje x o eje de abscisas, y eje y o eje de ordenadas.

La posición de un objeto depende del sistema de referencia elegido.

1.2.Movimiento

El movimiento es la variación de la posición de un objeto. Puesto que la posición del objeto está determinada por las coordenadas respecto de un sistema de referencia concreto, el cuerpo está en movimiento cuando alguna de sus coordenadas en este sistema varía. Por lo tanto, el movimiento es siempre relativo al sistema de referencia elegido.

Para poder afirmar que un objeto está en movimiento, debemos especificar respecto a qué sistema de referencia lo está. Ahora mismo, nuestro ordenador está encima de una mesa. La mesa está en reposo respecto a la Tierra. Pero la Tierra se mueve a una enorme velocidad por el espacio, dando vueltas alrededor del Sol; éste se mueve respecto del centro de la galaxia y ésta, a su vez, tiene un movimiento respecto a cualquiera de las demás galaxias del universo. ¿Podemos decir que el ordenador está en reposo? No, si no especificamos respecto a qué sistema de referencia.

Figura 5

El movimiento es la variación de la posición de un objeto y es siempre relativo al sistema de referencia elegido.

1.2.1.Vector de posición

Para estudiar el movimiento de un modo preciso, se define el vector de posición de un objeto como un vector que tiene su origen en el origen de coordenadas y su extremo en el objeto. Si las coordenadas del objeto son (x, y), el vector de posición se puede expresar como

\vec{r} = x \vec{i} + y \vec{j} 2.1

donde

\vec{i}

\vec{j}

son vectores unitarios, es decir, de módulo unidad, en las direcciones de los dos ejes de coordenadas.

El movimiento de un objeto en un plano se puede descomponer siempre en la suma de dos movimientos rectilíneos en las direcciones de los ejes del sistema de referencia. Uno de éstos será el movimiento que describe la coordenada x y el otro, el movimiento que describe la coordenada y. En todo momento, la suma de los vectores correspondientes a las posiciones de las dos coordenadas, es decir, el vector

x \vec{i}

y el vector

y \vec{j}

, nos dará el vector de posición del objeto.

Tal como comentamos en el módulo de introducción, el ratón aprovecha esta descomposición para guiar el movimiento del cursor a partir del registro de sólo dos componentes del movimiento perpendiculares entre sí.

Figura 6

El vector de posición de un objeto es un vector que tiene su origen en el origen de coordenadas del sistema de referencia elegido y su extremo, en el objeto.

El movimiento de un objeto en un plano se puede descomponer siempre en la suma de dos movimientos rectilíneos en las direcciones de los ejes del sistema de referencia.

1.2.2.Trayectoria

Cuando un objeto está en movimiento, la trayectoria del objeto es la línea que éste describe, es decir, el conjunto de puntos situados en las posiciones que ha tenido el objeto móvil desde que se inició este movimiento.

Figura 7

La trayectoria de un objeto en movimiento es la línea de puntos que recorre el objeto a lo largo de su movimiento.

1.3.Velocidad

Para estudiar el movimiento de un punto, no basta con conocer en cada instante su posición con respecto a los ejes coordenados del sistema de referencia, sino que, además, es necesario determinar cómo varía de posición. La velocidad representa la rapidez con que varía el espacio recorrido por el móvil respecto al tiempo. Así pues, podemos relacionar la velocidad con el espacio recorrido en un determinado tiempo mediante la fórmula

v = \frac{e}{t} 2.2

donde e es la distancia recorrida y t es el tiempo en que ha recorrido esta distancia. Las unidades de velocidad son siempre una unidad de espacio dividida por una unidad de tiempo. Así, por ejemplo, son unidades de velocidad los metros por segundo (m/s), los kilómetros por hora (km/h) o los píxeles por segundo (píxel/s).

La velocidad es, en realidad, una magnitud vectorial, ya que, además de estar caracterizada por su módulo, tiene asociado un sentido y una dirección. El vector velocidad nos indica hacia dónde se mueve el móvil. De este modo, la dirección del vector velocidad, es decir, la recta sobre la que se dibuja el vector, es siempre tangencial a la trayectoria. Su sentido, es decir, hacia dónde señala el vector, es siempre el sentido del movimiento. A diferencia del vector de posición, el origen del vector velocidad no se sitúa en el origen del sistema de referencia, sino que se sitúa sobre el objeto en movimiento.

Así, el vector velocidad se caracteriza por los siguientes aspectos:

el módulo: la rapidez con que cambia la posición del móvil;
la dirección: la recta sobre la que se encuentra el vector;
el sentido: hacia dónde señala el vector;
el punto de aplicación: el móvil.

Puesto que la posición del móvil en un plano se puede determinar con sus dos coordenadas, la velocidad del móvil se puede descomponer en la velocidad de cada una de sus coordenadas. De este modo, la velocidad del móvil en cualquier dirección se puede descomponer en dos velocidades perpendiculares entre sí.

El vector velocidad expresa de forma clara esta descomposición en dos componentes perpendiculares:

\vec{v} = v_{x} \vec{i} + v_{y} \vec{j} 2.3

Figura 8

Al igual que un movimiento en el plano se puede descomponer en dos movimientos perpendiculares, dos movimientos perpendiculares sumados dan un sólo movimiento en el plano.

Figura 9

Velocidad de la piragua (amarillo) y velocidad del agua (rojo).

La velocidad es una magnitud vectorial cuyo módulo representa la rapidez con que varía el espacio recorrido por el móvil respecto al tiempo, cuya dirección es tangencial a la trayectoria, de sentido el del movimiento y punto de aplicación sobre el móvil.

La velocidad del móvil se puede descomponer en la suma de las velocidades de cada una de sus coordenadas.

Ejemplo

Por otro lado, la velocidad se puede calcular como la derivada del vector posición respecto al tiempo:

\vec{v} = \frac{d \vec{r}}{d t} 2.4

Esta notación quiere decir, simplemente, que hay que derivar el vector posición. Es notación. No penséis que se trata de dividir un diferencial entre otro.

1.4.Aceleración

Si el móvil va cada vez más deprisa o cada vez más despacio, la velocidad varía. Si el móvil cambia de dirección, siguiendo trayectorias curvilíneas, la velocidad también varía, ya que es un vector y cambia de dirección. La aceleración es la variación de la velocidad respecto al tiempo. Se da aceleración tanto si cambia el módulo del vector velocidad como si sólo cambia su dirección.

Una característica de los coches con la que solemos estar familiarizados es la aceleración que el motor puede proporcionar. Cuando oímos que un coche llega de 0 a 100 en 20 segundos, podemos calcular la aceleración que habrá tenido el coche en estos 20 segundos. La aceleración será la variación de la velocidad en el tiempo, es decir:

a = \frac{v_{f} - v_{0}}{t} 2.5

donde v_f es la velocidad final, v_o es la velocidad inicial y es el tiempo que ha necesitado el coche para pasar de una velocidad a la otra.

En el ejemplo del coche, la velocidad final es 100 km/h, la velocidad inicial es 0 km/h y el tiempo son 20 s. Para poder calcular la aceleración, necesitaremos expresar todas las magnitudes en el mismo sistema de unidades. Si elegimos el Sistema Internacional, las distancias deberán estar en metros y el tiempo, en segundos. Por lo tanto, aplicando factores de conversión

100 km/h = 100 \frac{km}{h} \frac{1 h}{3.600 s} \frac{1.000 m}{1 km} = \frac{100.000}{3.600} \frac{m}{s} = 27,78 m/s 2.6

De este modo, podemos calcular la aceleración

a = \frac{27,78 - 0}{20} = 1,39 {m/s}^{2} 2.7

Esto significa que, en cada segundo, el coche incrementa su velocidad en 1,39 m/s.

Vemos que, en las unidades de la aceleración, el tiempo está elevado al cuadrado. Esto se desprende de la fórmula de la aceleración, ya que en el numerador tenemos una resta de velocidades, lo que da una velocidad expresada en espacio/tiempo, mientras que en el denominador tenemos tiempo

\frac{\frac{Espacio}{Tiempo}}{Tiempo} = \frac{Espacio}{{Tiempo}^{2}} 2.8

La aceleración también es una magnitud vectorial. Si la velocidad del móvil aumenta y éste se mueve en línea recta, el vector aceleración apunta en el mismo sentido que el vector velocidad. Si la velocidad disminuye, el vector aceleración apunta en sentido contrario a la velocidad. Si la trayectoria es curva, el vector velocidad es tangente a la trayectoria, mientras que el vector aceleración apunta hacia el interior de la curva. Intuitivamente, podemos interpretar que el vector aceleración "tira" del vector velocidad.

En las siguientes animaciones podemos observar diferentes ejemplos de movimientos en los que la velocidad cambia y, por lo tanto, se da una determinada aceleración.

Figura 10

Figura 11

Figura 12

La aceleración es una magnitud vectorial cuyo módulo representa la variación de la velocidad con respecto al tiempo. Se produce aceleración tanto si cambia el módulo del vector velocidad como si sólo cambia su dirección.

Ejemplo

Por otro lado, la aceleración se puede calcular como la derivada del vector velocidad respecto al tiempo:

\vec{a} = \frac{d \vec{v}}{d t} 2.9

Esta notación quiere decir, simplemente, que hay que derivar el vector velocidad. Es notación. No penséis que se trata de dividir un diferencial entre otro.

1.5.Cambios de sistemas de referencia

A la hora de realizar animaciones por ordenador, puede ser muy conveniente analizar un movimiento respecto a un sistema de referencia concreto, respecto al cual el movimiento sea fácil de describir, para calcular posteriormente ese movimiento en el sistema de coordenadas que estemos utilizando con el programa de animación.

En todo momento, la coordenada de un punto en un plano respecto a un sistema de referencia se puede expresar con un par de cifras (x, y). Para indicar que estas coordenadas están referidas al sistema de referencia 1, lo indicaremos con el subíndice 1: (x₁, y₁).

Supongamos un nuevo sistema de referencia 2 con la misma orientación que el sistema 1 pero cuyo origen se encuentra en las coordenadas (x₂₁, y₂₁) con respecto al sistema 1. El subíndice 21 indica que son las coordenadas del origen del sistema 2 respecto del sistema 1.

Las nuevas coordenadas del punto respecto al sistema 2 serán (x₂, y₂), en las que:

\begin{array}{l} x_{2} = x_{1} - x_{21} \\ y_{2} = y_{1} - y_{21} \end{array} 2.10

Figura 13

Si, además, los ejes del sistema de referencia 2 están girados respecto a los del sistema 1 con un ángulo a, entonces las nuevas coordenadas del punto respecto al sistema 2 serán:

\begin{array}{l} x_{2} = (x_{1} - x_{21}) cos α + (y_{1} - y_{21}) sin α \\ y_{2} = (y_{1} - y_{21}) cos α - (x_{1} - x_{21}) sin α \end{array} 2.11

Figura 14

2.Cómo se mueven las cosas: tipos de movimiento

El tipo de movimiento que describe un objeto se puede clasificar según la velocidad o según la trayectoria. Atendiendo a la velocidad, el movimiento puede ser uniforme, si la velocidad es constante, o acelerado, si la velocidad varía con el tiempo. En este último caso, la aceleración puede ser uniforme o puede variar con el tiempo.

Según la trayectoria, el movimiento no se puede clasificar tan fácilmente, ya que la trayectoria puede ser cualquier curva, pero estudiaremos el movimiento rectilíneo, es decir, cuando la trayectoria es una línea recta, y el circular, cuando es una circunferencia. Estudiaremos también el movimiento oscilatorio armónico, que es el que describe, por ejemplo, un peso colgado de un muelle al estirarlo. Este último tipo de movimiento es especialmente útil, ya que, como veremos, un movimiento circular uniforme se puede descomponer en dos movimientos oscilatorios armónicos simples.

2.1.Movimiento rectilíneo y uniforme

Como ya sabemos, el movimiento rectilíneo y uniforme se caracteriza porque el vector velocidad del móvil no cambia de módulo, ni de dirección ni de sentido. Como la velocidad es constante, el espacio recorrido por el móvil en un tiempo determinado es siempre el mismo. A partir de la definición de velocidad:

v = \frac{e}{t} 2.12

Podemos obtener el espacio recorrido en un determinado tiempo conociendo la velocidad:

e = v \cdot t 2.13

O el tiempo necesario para que el móvil recorra un cierto espacio:

t = \frac{e}{v} 2.14

2.1.1.Posición en función del tiempo

Puesto que la posición de un punto en un plano viene determinada por el vector de posición

\vec{r} = x \vec{i} + y \vec{j}

respecto de un sistema de referencia, podemos expresar el vector de posición en función del tiempo como

\vec{r} (t) = {\vec{r}}_{0} + \vec{v} t 2.15

donde

{\vec{r}}_{0}

es el vector de posición inicial del móvil.

2.1.2.Velocidad en función del tiempo

Podemos expresar el vector velocidad en función del vector de posición y del tiempo como:

\vec{v} = \frac{\vec{r} (t) - {\vec{r}}_{0}}{t} 2.16

Figura 15

En un movimiento rectilíneo y uniforme, el vector velocidad del móvil no cambia de módulo, ni de dirección ni de sentido.

Como la velocidad es constante, el espacio recorrido por el móvil en un tiempo determinado es siempre el mismo.

En el movimiento rectilíneo y uniforme, el vector de posición del móvil para cada instante de tiempo viene dado por la expresión

\vec{r} (t) = {\vec{r}}_{0} + \vec{v} t 2.17

Ejercicio

Un punto sobre el plano describe un movimiento rectilíneo y uniforme. El vector de posición inicial del móvil es

{\vec{r}}_{0} = 5 \vec{i} + 7 \vec{j}

en metros, es decir, sus coordenadas son (5,7). El vector velocidad es

\vec{v} = 2 \vec{i} + 3 \vec{j}

en metros/segundo. Calculad las coordenadas del móvil al cabo de 50 segundos.

2.2.Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Si el móvil se mueve siguiendo una trayectoria rectilínea pero cada vez más deprisa, entonces el movimiento es rectilíneo y acelerado. Si esta aceleración es siempre la misma, es decir, la velocidad aumenta siempre al mismo ritmo, entonces el movimiento es rectilíneo y uniformemente acelerado. En este caso, la aceleración que experimenta el móvil viene dada por la expresión:

\vec{a} = \frac{{\vec{v}}_{f} - {\vec{v}}_{0}}{t} 2.20

2.2.1.Posición en función del tiempo

La posición del móvil después de un tiempo t viene dada por

\vec{r} (t) = {\vec{r}}_{0} + {\vec{v}}_{0} t + \frac{1}{2} \vec{a} t^{2} 2.21

2.2.2.Velocidad en función del tiempo

De este modo, podemos conocer la velocidad que tendrá el móvil en cada instante de tiempo a partir de la expresión:

\vec{v} (t) = {\vec{v}}_{0} + \vec{a} t 2.22

Figura 16

2.2.3.Disminución de la velocidad

En el movimiento rectilíneo, si el móvil experimenta una disminución de la velocidad, entonces el vector aceleración está apuntando en sentido contrario al vector velocidad. Es importante observar que esto no implica que el vector aceleración tenga que ser negativo. Si el vector velocidad apunta, por ejemplo, hacia los valores negativos del eje de las x del sistema de referencia de la figura, el movimiento se produce hacia la izquierda. Si el vector aceleración apunta hacia la derecha, entonces el móvil irá disminuyendo el módulo de su vector velocidad hasta que llegará un instante en que se detendrá y comenzará a moverse hacia la derecha cada vez a mayor velocidad.

Figura 17

En un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la velocidad del móvil varía (aumenta o disminuye) a un ritmo constante, siguiendo éste una trayectoria rectilínea.

En el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, el vector de posición del móvil para cada instante de tiempo viene dado por la expresión:

\vec{r} (t) = {\vec{r}}_{0} + {\vec{v}}_{0} t + \frac{1}{2} \vec{a} t^{2} 2.23

2.3.Movimiento oscilatorio armónico simple

El movimiento oscilatorio armónico simple lo encontramos a menudo en la naturaleza. Describe este tipo de movimiento un peso colgado de un muelle cuando lo estiramos y lo dejamos oscilar, las moléculas de aire cuando transmiten la música, los puntos de la superficie del agua cuando tiramos una piedra en un estanque, etc.

Este tipo de movimiento es unidimensional, es decir, tiene lugar sobre una recta, de manera que queda totalmente determinado si encontramos la relación entre la posición del móvil sobre la recta en cada instante de tiempo.

2.3.1.Posición en función del tiempo

Supongamos un objeto como el de la figura siguiente, con un movimiento oscilatorio armónico simple vertical.

Figura 18

El objeto se encuentra a una distancia y del origen en cada instante de tiempo t. Para averiguar la dependencia de la posición con el tiempo, podemos dibujar un eje horizontal que represente el tiempo transcurrido y observar la función y(t).

Figura 19

La función que aparece en la animación es la función coseno. De este modo, observamos que la dependencia de la posición con el tiempo obedece a una función coseno. Para ver exactamente cuál es esa dependencia, tenemos que introducir los siguientes conceptos básicos del movimiento oscilatorio:

El periodo, que indicaremos con la letra T mayúscula. El periodo del movimiento oscilatorio es el tiempo que tarda el móvil en hacer una oscilación completa, es decir, en volver a estar exactamente en la misma posición y con el mismo sentido del movimiento que al principio.

Figura 20
La amplitud, que indicaremos con la letra A mayúscula. La amplitud de las oscilaciones es la máxima separación que puede existir entre el móvil y el punto central del movimiento.

Figura 21
La frecuencia, que indicaremos con la letra griega ν (se pronuncia "nu"). La frecuencia de las oscilaciones es el número de oscilaciones por unidad de tiempo. La frecuencia es la inversa del periodo, es decir:

$ν = \frac{1}{T} 2.24$

La posición del objeto sobre el eje y en cada instante de tiempo, para un movimiento oscilatorio armónico simple de periodo T y amplitud A, viene dada por la expresión:

y (t) = A \cos (\frac{2 π}{T} t) 2.25

Si, al comenzar el movimiento el móvil no se encontraba en el origen del eje sino en un punto cualquiera, y además el movimiento empieza con un cierto φ (esta letra griega se pronuncia "fi"), entonces:

y (t) = y_{0} + A \cos (\frac{2 π}{T} t + φ) 2.26

Figura 22

Desfase

El desfase es una medida de lo adelantado o atrasado que ha comenzado el movimiento o de la situación de la oscilación cuando empezamos a contar el tiempo. Si para t = 0 el móvil ya estaba oscilando, hay que tener en cuenta el "trozo" de oscilación que ya llevaba.

Un desfase...

φ = π/2 equivale a un cuarto de oscilación (el móvil parte del punto de equilibrio).

φ = π equivale a media oscilación (el móvil parte del punto de máxima elongación, pero en sentido contrario al del inicio de la oscilación).

φ = 3π/2 equivale a tres cuartos de oscilación (el móvil parte del punto de equilibrio y se dirige a completar una oscilación).

φ = 2π equivale a una oscilación completa (el móvil parte del punto de máxima elongación, y es equivalente a un desfase de φ = 0).

La expresión anterior es válida para describir un movimiento oscilatorio armónico simple sobre el eje y, pero en un caso más general, la dirección del movimiento no tiene por qué coincidir con este eje. Para un móvil con la posición inicial determinada por el vector de posición

que describe un movimiento oscilatorio armónico simple de período T, el vector de posición en cada instante de tiempo viene determinado por la expresión:

\vec{r} (t) = {\vec{r}}_{0} + \vec{A} \cos (\frac{2 π}{T} t + φ) 2.27

donde

\vec{A}

es un vector cuyo módulo es la amplitud de las oscilaciones y cuya dirección coincide con la dirección del movimiento.

Figura 23

2.3.2.Velocidad y aceleración en función del tiempo

En el movimiento oscilatorio armónico simple, la velocidad es nula cuando la distancia respecto al centro de las oscilaciones es máxima. Crece a medida que el móvil se acerca al centro y decrece una vez rebasa este punto, hasta anularse al llegar al otro extremo del movimiento, de manera que el proceso se repite una y otra vez periódicamente. La expresión más general que expresa la velocidad en función del tiempo en un movimiento oscilatorio armónico simple, en una dirección cualquiera determinada por el vector

\vec{A}

con una velocidad inicial cualquiera

{\vec{v}}_{0}

(que podremos considerar nula a menos que se indique lo contrario) y un desfase φ, es:

\vec{v} (t) = {\vec{v}}_{0} - \frac{2 π \vec{A}}{T} \sin (\frac{2 π}{T} t + φ) 2.28

En este movimiento, la aceleración no es constante, es decir, no es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. El vector aceleración apunta siempre hacia la posición central de las oscilaciones. El módulo del vector aceleración es máximo cuando el móvil está en una posición extrema de la oscilación, y nulo cuando el móvil está justo en el centro de la misma. La expresión más general para este vector es:

\vec{a} (t) = - \frac{4 π^{2}}{T^{2}} \vec{A} \cos (\frac{2 π}{T} t + φ) 2.29

Figura 24

En un movimiento oscilatorio armónico simple, el vector de posición en función del tiempo viene dado por la expresión

\vec{r} (t) = {\vec{r}}_{0} + \vec{A} \cos (\frac{2 π}{T} t + φ) 2.30

2.4.Movimiento circular uniforme

En el movimiento circular, el móvil describe una circunferencia sobre el plano. En la figura siguiente, el objeto describe una trayectoria circular. Podemos observar el vector de posición y el vector velocidad.

Figura 25

2.4.1.Velocidad lineal y velocidad angular

En el movimiento circular, el módulo del vector velocidad recibe el nombre de velocidad lineal. La velocidad lineal corresponde, al igual que en el movimiento rectilíneo, al espacio recorrido por el móvil en un tiempo determinado.

La velocidad angular, simbolizada normalmente con la letra griega ω (omega), nos indica lo deprisa que gira el móvil. Esta velocidad de giro se mide mediante el número de grados o de radianes que gira el móvil por unidad de tiempo. La relación entre la velocidad angular y la velocidad lineal se puede expresar como

v_{l i n e a l} = ω \cdot r 2.31

o también como

ω = v_{l i n e a l} / r 2.32

con la velocidad angular expresada en radianes/unidad de tiempo.

Cuanto mayor sea el radio de giro, a una misma velocidad angular, mayor será la velocidad lineal del móvil.

La frecuencia del movimiento, es decir, el número de vueltas por segundo, será

ν = ω / 2 π 2.33

Figura 26

Los lectores de discos ópticos deben mantener constante la velocidad lineal de la superficie del disco que se está leyendo en cada momento para que el flujo de información sea constante. Para ello, deben modificar de manera precisa la velocidad angular del disco. Si se está leyendo una zona del disco cercana al centro (de radio pequeño), éste debe tener una velocidad angular mayor que si se está leyendo una zona del disco cercana a los extremos (de radio grande).

Figura 27

2.4.2.Posición en función del tiempo

El movimiento circular uniforme se puede descomponer, al igual que cualquier movimiento en el plano, en los dos movimientos rectilíneos de las coordenadas del móvil sobre los ejes coordenados.

En el caso del movimiento circular, cada uno de los dos componentes describe un movimiento oscilatorio armónico simple de igual amplitud, periodo y frecuencia, pero desfasados en φ = π/2. Dado que la función seno y la función coseno están justamente desfasadas π/2, estos dos movimientos oscilatorios están descritos por estas dos funciones. El centro de la oscilación en cada eje corresponde a la coordenada en este eje del centro de la circunferencia. La amplitud de ambas oscilaciones será, en ambos casos, el radio R de la circunferencia; el periodo de ambas oscilaciones será el tiempo que tarda el móvil en recorrer toda la circunferencia; y la frecuencia de ambas oscilaciones será el número de vueltas que efectúa el móvil por unidad de tiempo.

Así pues, el vector posición en función del tiempo en un movimiento circular tiene la expresión

\vec{r} (t) = [x_{0} + R sen (2 π ν t + φ)] \vec{i} + [y_{0} + R \cos (2 π ν t + φ)] \vec{j} 2.34

si el movimiento se produce en sentido horario (el de las agujas del reloj), con φ = 0 si el movimiento empieza con el máximo valor de la coordenada y. Si, por el contrario, el movimiento es en sentido antihorario (contrario al de las agujas del reloj), entonces el vector de posición obedecerá a la expresión

\vec{r} (t) = [x_{0} + R \cos (2 π ν t + φ)] \vec{i} + [y_{0} + R sen (2 π ν t + φ)] \vec{j} 2.35

con φ = 0 si el movimiento empieza con el máximo valor de la coordenada x.

Figura 28

2.4.3.Aceleración

En el movimiento circular siempre se produce aceleración. Aunque el módulo de la velocidad lineal del móvil puede ser siempre el mismo, el vector velocidad cambia continuamente de dirección, y esto implica la existencia, siempre, de un vector aceleración.

De este modo, en el movimiento circular, la aceleración puede jugar dos papeles muy diferentes. Por un lado, es una medida del cambio de dirección del vector velocidad, es decir, una medida de la curvatura del giro. Sin embargo, por otro, si el módulo del vector velocidad cambia, es decir, si el móvil además de girar se mueve cada vez más deprisa o más despacio, la aceleración también es una medida de este cambio.

Podemos estudiar estos dos aspectos de la aceleración por separado:

Por un lado, tendremos un vector aceleración paralelo al vector velocidad en cada instante, en el caso en que el módulo de la velocidad varíe con el tiempo. Este vector se denomina aceleración tangencial, porque al ser paralelo a la velocidad es tangente a la trayectoria. Lo denotaremos ${\vec{a}}_{t}$ . Sólo habrá aceleración tangencial en el caso en que el módulo de la velocidad varíe con el tiempo.
Por otro lado, tendremos un vector aceleración perpendicular al vector velocidad que apuntará hacia el centro de la circunferencia. En el movimiento circular, este vector siempre está presente y se le llama aceleración normal, porque es normal (perpendicular) a la trayectoria. Lo denotaremos ${\vec{a}}_{n}$ .

Figura 29

Un movimiento circular se puede descomponer en dos movimientos oscilatorios armónicos simples perpendiculares en cada uno de los ejes de coordenadas.

El vector de posición en función del tiempo es:

giro en sentido horario:

$\vec{r} (t) = [x_{0} + R sen (2 π ν t + φ)] \vec{i} + [y_{0} + R \cos (2 π ν t + φ)] \vec{j} 2.36$
giro en sentido antihorario:

$\vec{r} (t) = [x_{0} + R \cos (2 π ν t + φ)] \vec{i} + [y_{0} + R sen (2 π ν t + φ)] \vec{j} 2.37$

3.Por qué se mueven las cosas: las fuerzas

El movimiento de cada uno de los elementos que nos rodean tiene una causa. Si un objeto en movimiento cambia su estado de movimiento, es decir, cambia de velocidad, este cambio también es debido a alguna causa. Las causas capaces de producir o modificar el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo se denominan fuerzas.

La fuerza es una magnitud vectorial, con un módulo que indica la intensidad de la fuerza; una dirección y sentido, que indican hacia dónde actúa esta fuerza, y un punto de aplicación, que es el objeto sobre el que actúa la fuerza.

Figura 30

Cuando sobre un mismo objeto actúa más de una fuerza, consideraremos la fuerza resultante como la suma vectorial de todas ellas.

Figura 31

Galileo y Newton fueron los primeros estudiosos que analizaron el movimiento desde un punto de vista basado en la observación y en la experimentación, es decir, siguiendo el método científico. Galileo sentó las bases de la ciencia del movimiento y Newton postuló tres leyes que se han convertido en fundamentales para el estudio del movimiento. En este apartado estudiaremos estas tres leyes.

Las causas capaces de producir o modificar el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo se denominan fuerzas.

Cuando sobre un mismo objeto actúa más de una fuerza, consideraremos la fuerza resultante como la suma vectorial de todas ellas.

3.1.Primera ley de Newton: principio de inercia

La primera ley de Newton afirma que si la suma de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es nula, éste permanecerá en su estado inicial de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme.

Cuando lanzamos una piedra a un río, nosotros ejercemos una fuerza sobre la piedra mientras está en nuestras manos. La piedra experimenta una aceleración durante ese tiempo, ya que pasa de estar en reposo a tener la velocidad con la que emprende el vuelo. Sin embargo, una vez la soltamos, la fuerza que nosotros ejercemos sobre ésta es nula, por lo que la aceleración también lo será. ¿Tiene la piedra un movimiento rectilíneo y uniforme cuando la soltamos? Evidentemente, no. La piedra cae al río. Esto es debido a que en nuestro entorno cotidiano, en la superficie de la Tierra, los objetos están sometidos constantemente a la fuerza de la gravedad y a diferentes fuerzas de rozamiento que explicaremos más adelante. El conjunto de estas fuerzas hacen prácticamente imposible que podamos observar la ley de inercia, y dan un mérito especial a que Newton y Galileo pudieran deducir esta ley precisamente a partir de las observaciones experimentales.

Podemos aproximarnos a una observación experimental de la ley de inercia en una superficie plana, muy pulida, donde el deslizamiento sea muy fácil (esto evitará en cierta medida el efecto de las fuerzas de rozamiento que frenan el movimiento), y que esté en posición horizontal (esto evitará que la fuerza de la gravedad modifique la trayectoria de los objetos, ya que siempre actúa hacia abajo, en el componente vertical del movimiento).

Figura 32

Una situación que cumple estos requisitos es una pista de patinaje sobre hielo. Si lanzamos un disco de hockey sobre el hielo será relativamente fácil que éste recorra toda la pista a una velocidad casi constante hasta llegar al otro extremo y chocar contra la pared. Mientras lo lanzamos, efectuamos una fuerza sobre el disco, que le proporciona una aceleración en función de su masa. Al soltarlo, el disco ya no recibe ninguna fuerza (salvo la gravedad, que no puede modificar su trayectoria sobre el hielo, y la de rozamiento del hielo, que es muy pequeña) y, por el principio de inercia, describe un movimiento rectilíneo y uniforme.

Si la suma de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es nula, éste permanecerá en su estado inicial de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme.

3.2.Segunda ley de Newton: F = ma

Supongamos que nos encontramos en la orilla de un río, lanzando piedras. Escogemos dos piedras, una pequeñita de unos 300 gramos, y otra bastante grande, de 3 kilogramos. Podemos tirarlas con todas nuestras fuerzas. ¿Cuál saldrá volando a más velocidad? Está claro que la más pequeña, la que tiene menos masa. Y sin embargo, habremos ejercido prácticamente la misma fuerza sobre las dos. La primera ley de Newton no es más que una constatación de esta experiencia. Esta ley afirma que la relación entre la fuerza que se aplica a un cuerpo y la aceleración que éste adquiere es un coeficiente característico del cuerpo, que recibe el nombre de masa.

De este modo, podemos interpretar la masa de un cuerpo como una medida de la resistencia que el cuerpo opondrá a ser acelerado. La segunda ley de Newton se puede expresar mediante la fórmula:

\vec{F} = m \vec{a} 2.38

Recordemos que tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales. Si consideramos un movimiento en una única dimensión, sobre una recta, podemos simplificar esta ley y tendremos:

F = m a 2.39

que también podemos escribir como:

m = \frac{F}{a} 2.40

es decir, la masa del objeto es el cociente entre la fuerza que se ejerce sobre éste y la aceleración que experimenta. Sobre un objeto podemos experimentar la fuerza que queramos, pero el cociente entre esa fuerza y la aceleración que experimentará el objeto será siempre el mismo: la masa del objeto.

Figura 33

A partir de la segunda ley de Newton podemos deducir la primera ley. Según la segunda ley de Newton, al aplicar una fuerza

\vec{F}

sobre el objeto, éste experimenta una aceleración uniforme

\vec{a}

, lo cual implica una variación de la velocidad mientras la fuerza actúa sobre el objeto. Si dejamos de aplicar la fuerza sobre el objeto, es decir, si

\vec{F} = 0

, entonces la aceleración también será nula, lo cual implica que la velocidad del objeto dejará de variar. Por lo tanto, al dejar de aplicar la fuerza, el objeto pasa a tener velocidad constante, es decir, describe un movimiento rectilíneo y uniforme, obedeciendo el principio de inercia.

3.2.1.Unidades de fuerza

En el Sistema Internacional, la unidad de la fuerza es el Newton. Un Newton es la fuerza necesaria para que un objeto de un kilogramo adquiera una aceleración de 1 metro/segundo².

3.2.2.El peso

Si dejamos caer una bola de plomo, muy pesada, y una de madera, más ligera, desde una misma altura, ¿cuál llegará antes al suelo? Galileo dedujo de sus experimentos que todos los objetos, independientemente de su masa, caen con la misma aceleración. Es decir, ambos llegarán al suelo en el mismo instante. El valor de esta aceleración para todos los objetos sobre la superficie de la Tierra es de 9,8 m/s², y se suele denotar por la letra g. Podemos aproximar su valor a 10 m/s² para facilitar los cálculos.

La deducción de Galileo

Ésta fue una deducción con muchísimo mérito, ya que la intuición y, de hecho, la experimentación, nos pueden jugar una mala pasada. Se dice que Galileo realizó este experimento desde lo alto de la torre de Pisa, su ciudad natal, pero es muy probable que esto no sea cierto. Si lo hubiera hecho, las dos bolas no hubiesen llegado exactamente al mismo tiempo al suelo. Esto es debido a que, en realidad, estamos soltando los objetos en un fluido, el aire, que ofrece una cierta resistencia al movimiento. Esta resistencia depende del objeto. Si soltamos una pluma, claramente podemos observar que no cae al suelo con la misma aceleración que un martillo. El mérito de la deducción de Galileo es el de haber podido determinar qué pasaría si no hubiese aire, distinguiendo entre los principios básicos que rigen el movimiento y los demás fenómenos físicos que interfieren. Los astronautas del programa Apolo realizaron simbólicamente este experimento con una pluma y un martillo, sobre la superficie de la Luna, donde no hay atmósfera. Efectivamente, ambos llegaron al suelo al mismo tiempo.

Figura 34

El peso de un objeto es la fuerza con la que es atraído hacia el suelo por la acción de la gravedad, es decir, la masa de este objeto multiplicada por la aceleración g que experimenta cuando se deja caer. Así pues, el peso de un objeto de 10 kilogramos de masa es de 10 · g = 100 newtons. El peso es una magnitud vectorial que apunta siempre hacia abajo.

La relación entre la fuerza que se aplica a un cuerpo y la aceleración que éste adquiere es un coeficiente característico del cuerpo que recibe el nombre de masa.

El peso de un objeto es la fuerza con que es atraído hacia el suelo por la acción de la gravedad.

3.3.Tercera ley de Newton: principio de acción y reacción

Supongamos que se encuentran sobre la pista de hielo una niña bailarina de patinaje artístico de unos 25 kilogramos de peso y un enorme jugador de hockey de unos 100 kilogramos de peso. Ambos están en el centro de la pista. La niña se enfada con el jugador de hockey y le empuja con todas sus fuerzas. ¿Qué sucederá? La tercera ley de Newton, el principio de acción y reacción, nos da la respuesta a esta situación. Esta ley afirma que si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro (acción), éste reacciona siempre con una fuerza de igual módulo y de sentido contrario sobre el primero (reacción).

En nuestro ejemplo, la niña ejerce una fuerza sobre el jugador al empujarle, supongamos que de unos 50 newtons. Esta fuerza le comunicará al jugador de hockey una aceleración de:

a = \frac{F}{m} = \frac{50}{100} = {0,5 m/s}^{2} 2.41

Como el empujón puede durar cerca de un segundo, la velocidad con la que se moverá el jugador de hockey después del empujón será de

v = a \cdot t = 0, 5 \cdot 1 = 0, 5 m/s 2.42

sin embargo, según el principio de acción y reacción, el jugador ejercerá una fuerza de igual módulo (50 N) y de sentido contrario sobre la niña que comunicará una aceleración a la niña de:

a = \frac{F}{m} = \frac{50}{25} = {2 m/s}^{2} 2.43

Así, después del empujón, la niña saldrá despedida hacia atrás con una velocidad de:

v = a \cdot t = 2 \cdot 1 = 2 m/s 2.44

Es decir, la niña retorcede con una velocidad cuatro veces mayor que la velocidad con que se moverá el jugador de hockey después del empujón.

La ley de acción y reacción explica también el retroceso de las armas de fuego. Al disparar con una escopeta, ésta ejerce una fuerza sobre la bala que le comunica una gran aceleración, pero la bala ejerce la misma fuerza sobre el arma, aunque de sentido contrario. La escopeta, al tener mucha más masa que la bala, sufre mucha menos aceleración, pero experimenta un retroceso perceptible para el tirador.

Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro (acción), éste reacciona siempre con una fuerza de igual módulo y de sentido contrario sobre el primero (reacción).

3.4.Fuerza de rozamiento

Cuando desplazamos un objeto sobre una superficie, aparecen fuerzas tangenciales, es decir, en la dirección del movimiento, pero de sentido contrario. Estas fuerzas se oponen al movimiento y provocan una aceleración en sentido contrario a éste. Este tipo de fuerzas se denominan fuerzas de rozamiento, y tienen su origen en las irregularidades de las superficies de contacto y a la adhesión entre ambas.

El estudio de este tipo de fuerzas es totalmente empírico, es decir, no hay leyes básicas sobre el rozamento, sino fórmulas obtenidas mediante el experimento que permiten deducir cuál es la fuerza de rozamiento en cada caso. El módulo de la fuerza de rozamiento es proporcional al componente del peso perpendicular al plano de deslizamiento. Para cada caso concreto, se calcula experimentalmente el coeficiente de fricción (m), que indica la relación entre la fuerza de rozamiento (F_r) y el componente del peso perpendicular al plano (N), de modo que:

F_{r} = m \cdot N 2.45

El vector

{\vec{F}}_{r}

tiene siempre la misma dirección que la velocidad pero sentido opuesto.

Figura 35

Las fuerzas de rozamiento aparecen cuando desplazamos un objeto sobre una superficie. Estas fuerzas se oponen al movimiento y provocan una aceleración en sentido contrario a éste.

Ejercicio

Determinar la fuerza de rozamiento que existe sobre una caja de 5 kg que se desliza sobre un plano inclinado a 30° que tiene un coeficiente de fricción m = 0,5

3.5.La fuerza recuperadora en un muelle

Uno de los ejemplos de movimiento oscilatorio armónico simple es el movimiento de un objeto suspendido de un muelle. Si estiramos el objeto una cierta distancia respecto de su posición de equilibrio, éste vuelve hacia su posición de equilibrio aumentando su velocidad, rebasa ese punto, se detiene y retrocede de nuevo hasta la misma posición en que lo habíamos soltado, repitiendo este movimiento una y otra vez.

Tal y como vimos, podemos describir este movimiento indicando la posición del objeto en un eje que coincida con la dirección del movimiento, por ejemplo, en el eje x.

Vimos que en un movimiento de este tipo, la aceleración en función del tiempo obedece a la expresión:

\vec{a} (t) = - \frac{4 π^{2}}{T^{2}} \vec{A} \cos (\frac{2 π}{T} t + φ) 2.49

Según la primera ley de Newton, la fuerza se obtiene directamente de multiplicar esta expresión por la masa del objeto, de modo que:

\vec{F} (t) = m \vec{a} (t) = - \frac{m 4 π^{2}}{T^{2}} \vec{A} \cos (\frac{2 π}{T} t + φ) 2.50

3.5.1.Fuerza en función de la posición

Para simplificar, supongamos que el objeto se mueve a lo largo del eje x y que la posición de equilibrio se encuentra en el punto x = 0. Resulta muy esclarecedor y útil obtener la expresión de la fuerza que experimenta el objeto en función de su posición. Como conocemos la expresión de la posición y de la aceleración en función del tiempo, es posible obtener la expresión que relaciona la aceleración y la posición. El resultado es:

\vec{a} (x) = - \frac{4 π^{2}}{T^{2}} x 2.51

de modo que la fuerza que realiza el muelle sobre el objeto en función de su posición x sobre el eje es:

\vec{F} (x) = m \vec{a} (x) = - \frac{m 4 π^{2}}{T^{2}} x = - k x 2.52

Esta fuerza se denomina fuerza recuperadora y a la constante k, constante de fuerza del muelle, que nos da una idea de lo rígido que es el muelle.

Figura 37

Para movimientos oscilatorios en cualquier otra dirección del plano basta sustituir x por

\vec{r} - {\vec{r}}_{0}

, siendo

\vec{r}

el vector de posición del objeto y

{\vec{r}}_{0}

el vector que une el centro de coordenadas del sistema de referencia con el punto central de la oscilación; de modo que:

\vec{F} = - k (\vec{r} - {\vec{r}}_{0}) 2.53

Figura 38

Bola colgada de un muelle en un plano inclinado y vectores posición de la bola, cuando el muelle no está comprimido (r₀); y cuando lo está (r).

Supongamos que tenemos una bola colgada de un muelle que puede oscilar en cualquier dirección y, además, bajo la acción de su propio peso. La fuerza resultante que actúa sobre la bola en cada momento es la suma de dos fuerzas: el peso más la fuerza de recuperación del muelle. La suma vectorial de las dos fuerzas en cada instante determinará la fuerza resultante y, por lo tanto, la dirección de la aceleración.

Figura 39

La fuerza recuperadora de un muelle obedece a la expresión:

\vec{F} = - k (\vec{r} - {\vec{r}}_{0}) 2.54

donde k es la constante de fuerza del muelle y nos da una idea de lo rígido que es.

3.6.La fuerza centrípeta en un movimiento circular

Como hemos visto, cualquier móvil que describa un movimiento circular tiene una aceleración, la aceleración normal, diferente de cero. Esto es así a pesar de que la velocidad lineal del móvil permanece constante. Esta aceleración normal

{\vec{a}}_{n}

apunta hacia el centro de la circunferencia.

Por lo tanto, siempre que un móvil describe una trayectoria circular, existe una fuerza que está provocando ese movimiento en dirección hacia el centro de la circunferencia, llamada fuerza centrípeta. Como es de esperar, para un móvil de masa m, esta fuerza viene determinada por la expresión:

\vec{F} = m {\vec{a}}_{n} 2.55

Cuando hacemos girar una piedra con una honda, ésta describe una circunferencia porque ejercemos una fuerza centrípeta sobre ésta al atarla a una cuerda. Si la piedra se suelta de la cuerda, esta fuerza desaparece y sale disparada tangencialmente a la circunferencia.

Figura 40

Siempre que un móvil describe una trayectoria circular, existe una fuerza que está provocando este movimiento, en dirección hacia el centro de la circunferencia, llamada fuerza centrípeta.

En un movimiento circular de radio R, si el móvil de masa m se desplaza a una velocidad constante v, el módulo de la fuerza centrípeta se puede demostrar que es:

F = m \frac{v^{2}}{R} 2.56

4.Concepto de energía. Energía cinética y potencial. Conservación de la energía mecánica

El concepto de energía juega un papel fundamental en la descripción del mundo que nos rodea. La física se ocupa de definir cuantitativamente este concepto y de estudiar sus diferentes formas, así como sus relaciones básicas y sus transformaciones.

Se puede entender la energía como la capacidad de producir transformaciones. Esta capacidad puede manifestarse de diferentes formas: produciendo un movimiento, transmitiendo calor o radiación e ¡incluso creando partículas de materia! De este modo, distinguimos diferentes formas en las que puede presentarse la energía: potencial, cinética, calórica, elástica, eléctrica, química, radiante, nuclear y energía de masa. Estas diferentes manifestaciones de la energía pueden irse transformando unas en otras, pero eso sí, la cantidad total de energía de un sistema aislado se mantendrá siempre constante. Ésta es una de las leyes más básicas de la física: la conservación de la energía. La conservación de la energía sólo puede entenderse si podemos calcular el valor para todas sus formas.

Para simplificar, en este apartado vamos a estudiar sólo dos formas de la energía: la energía potencial y la energía cinética, ambas englobadas bajo el concepto de energía mecánica. Estos dos tipos de energía nos serán muy útiles para describir el comportamiento de los objetos que nos rodean bajo la acción de la fuerza de la gravedad terrestre. Un cuerpo tiene energía mecánica cuando está en movimiento (energía cinética), o cuando tiene la capacidad de ponerse en movimiento aun estando en reposo, por el hecho de estar a una cierta altura del suelo (energía potencial). Un cuerpo en movimiento mantiene constante la suma de sus energías cinética y potencial a lo largo de toda la trayectoria.

Denominamos energía la capacidad de un cuerpo de producir transformaciones.

La cantidad total de energía de un sistema aislado se mantendrá siempre constante.

Un cuerpo en movimiento mantiene constante la suma de sus energías cinética y potencial a lo largo de toda la trayectoria.

4.1.Energía cinética

Supongamos una bola de billar, la blanca, en movimiento. Ésta, por el simple hecho de moverse, puede, por ejemplo, empujar a otra bola que se encuentre en su trayectoria, de manera que modifique su movimiento. Nos encontramos, pues, con un cuerpo que ha sido capaz de producir una transformación consistente en modificar el movimiento de otro cuerpo. Dicho de otro modo, ha hecho que la segunda bola experimente una aceleración. Sin embargo, según hemos visto, toda aceleración está provocada por una fuerza. Así pues, la bola blanca, simplemente por estar en movimiento, tiene la capacidad de ejercer una fuerza sobre cualquier otra bola que se encuentre en su camino, es decir, tiene una energía asociada a su movimiento.

Si variamos la velocidad de la bola blanca, es evidente que a mayor velocidad de ésta, conseguiremos una mayor aceleración de la otra bola, y a menor velocidad de la blanca, la aceleración de la bola empujada será menor, es decir, la bola blanca habrá ejercido una fuerza menor, por lo que le habrá proporcionado una menor aceleración. Por tanto, a mayor velocidad del objeto en movimiento, mayor es la energía asociada a su movimiento.

Supongamos ahora que en nuestra mesa de juego sustituimos la bola blanca por una canica. Supongamos además que ésta se mueve con la misma velocidad con que lo hacía la bola blanca. Parece evidente entonces que, a pesar de moverse ésta con la misma velocidad que la bola blanca, la aceleración que producirá sobre la bola que encuentre en su trayectoria no será la misma, sino menor. Es decir, la fuerza que ejercerá sobre ella será menor que la que hubiera ejercido la bola blanca con la misma velocidad. ¿A qué se debe? Claramente, a la diferencia de masa entre una y otra. ¿Cuál es la relación entre la masa del objeto que inicialmente está en movimiento (la bola blanca o la canica) y la aceleración de la bola de billar? Cuanto mayor sea la masa del objeto en movimiento, mayor será la aceleración proporcionada a la bola de billar. Por tanto, a mayor masa del objeto en movimiento, mayor es la energía asociada a su movimiento.

Energía cinética es el nombre que recibe la energía asociada al movimiento de un cuerpo. Tal como hemos podido observar, varía en función de la masa y de la velocidad de éste. De hecho, es directamente proporcional a su masa y al cuadrado de su velocidad, de modo que:

E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} 2.57

donde m representa la masa del cuerpo y v, su velocidad.

La energía, como toda magnitud física, tiene unas dimensiones. Es una magnitud escalar y en el Sistema Internacional, la unidad de energía es el Julio (J):

1 J = 1 kg \frac{m^{2}}{s^{2}} 2.58

Es decir, un julio es la energía asociada al movimiento de un cuerpo de 1 kilo de masa que se mueve a una velocidad de 1 metro por segundo.

La energía cinética puede presentarse, a su vez, de diferentes formas asociadas a los diferentes tipos de movimiento ya estudiados. Llamamos energía cinética vibracional a la energía originada por un movimiento vibratorio, rotacional cuando ésta es debida a un movimiento rotacional y traslacional cuando la energía es causada por un movimiento de traslación en cualquier dirección.

Para simplificar, nos centraremos en la energía cinética traslacional. En adelante, usaremos energía cinética para referirnos a la energía cinética traslacional.

Energía cinética es la energía asociada al movimiento de un cuerpo, y varía en función de la masa y de la velocidad de éste: a mayor velocidad del objeto en movimiento, mayor es su energía cinética; a mayor masa del objeto en movimiento, mayor es su energía cinética.

La energía es una magnitud escalar; en el Sistema Internacional, la unidad de energía es el julio.

4.2.Energía potencial

Supongamos que un ladrillo está sostenido por una cuerda a una cierta altura. Si se corta la cuerda, el ladrillo caerá, lo que significa que tiene una cierta capacidad de ponerse en movimiento por el simple hecho de encontrarse a una cierta distancia del suelo o, dicho de otro modo, por encontrarse una cierta altura. Por tanto, podemos decir que el ladrillo tiene una energía asociada a su posición.

Pensemos ahora en un tirador de tiro con arco tensando la cuerda de su arco a punto de lanzar la flecha a la diana. En este caso, el arco (tensado) tiene capacidad de poner en movimiento la flecha, simplemente porque el centro de la cuerda está desplazado de su posición de equilibrio (no tensado). Así, esta nueva posición dota al sistema de una energía que lo capacita para generar un movimiento.

Figura 41

Energía potencial es el nombre que recibe la energía asociada a la posición de un cuerpo, y como hemos podido observar, se presenta de dos formas distintas. En el primer caso, hablamos de energía potencial gravitatoria y en el segundo, de energía potencial elástica.

4.2.1.Energía potencial gravitatoria

Denominamos energía potencial gravitatoria la energía asociada a la posición en el eje vertical de un cuerpo. Es decir, afirmamos que un cuerpo tiene energía potencial gravitatoria cuando éste tiene una cierta altura.

Esta energía potencial recibe el calificativo de gravitatoria porque está directamente relacionada con la atracción gravitatoria del cuerpo por parte la Tierra. Así, la energía potencial gravitatoria del ladrillo del ejemplo anterior depende únicamente de su masa y de su altura. Esta dependencia es directamente proporcional tanto a la masa como a la altura del cuerpo. Objetos de mayor masa a una misma altura tienen asociada una energía potencial gravitatoria mayor, y objetos de igual masa a diferentes alturas tendrán asociada una energía potencial gravitatoria mayor cuanto mayor sea su altura. Esta relación aparece expresada en la siguiente ecuación:

E_{p} = m g h 2.59

donde m representa la masa del objeto, h su altura y g es la aceleración de la gravedad (g = 9,8 m/s² en la Tierra, aunque podemos aproximarla por 10 m/s² para facilitar los cálculos).

En definitiva, la energía potencial gravitatoria de un objeto aumenta con la masa del objeto y con su altura. Así, para determinarla, debemos conocer estas dos variables. La primera es una característica intrínseca del objeto, pero la segunda es arbitraria dependiendo del sistema de referencia escogido, pues es una posición. Es necesario determinar el sistema de referencia escogido, es decir, dónde se sitúa un punto de altura cero, para poder determinar la altura del objeto. Habitualmente nos referimos a altura igual a cero sobre la superficie de la Tierra.

4.2.2.Energía potencial elástica

Denominamos energía potencial elástica a la energía asociada a la posición que resulta del estiramiento o compresión de materiales elásticos, respecto a su posición de equilibrio.

Es decir, afirmamos que un cuerpo tiene energía potencial elástica cuando se deforma de tal manera que sus puntos están desplazados de su posición de equilibrio una cierta distancia. En este caso, hablamos de objetos con propiedades elásticas, como por ejemplo una goma, la cuerda de una guitarra, un trampolín, un muelle, un arco, etc.

La cantidad de energía potencial elástica depende de la resistencia del objeto a ser separado de su posición de equilibrio, así como de la distancia a que ha sido separado de dicha posición.

Cuanta más resistencia, mayor será el esfuerzo necesario para separarlo de su posición de equilibrio y mayor la energía potencial elástica asociada. Igualmente, a mayor distancia de la posición de equilibrio, mayor energía potencial.

En resumen, energía potencial es la energía que tiene un objeto asociada a su posición relativa a una posición cero. Un objeto tiene energía potencial gravitatoria si se encuentra a una altura por encima de la posición de altura cero. Un objeto tiene energía potencial elástica si se encuentra en una posición diferente a la posición de equilibrio de un medio elástico.

4.3.Conversión energía cinética – energía potencial

Un esquiador parte desde una cierta altura en reposo y se lanza montaña abajo.

Inicialmente, debido a su posición, éste tiene asociada una energía potencial, es decir, una cierta capacidad para ponerse en movimiento. Esta energía va variando a lo largo del movimiento en función de la altura del esquiador en cada instante, de manera que si ésta disminuye, también lo hace la energía potencial, y viceversa. La energía potencial será nula cuando el esquiador llegue abajo.

Por otra parte, durante todo el movimiento, el esquiador tiene una energía cinética que varía proporcionalmente al cuadrado de la velocidad que éste adquiere.

Si nos preguntásemos por la cantidad total de energía que tiene asociada el esquiador en cada instante, deberíamos tener en cuenta la energía en todas sus formas, en este caso, la cinética y la potencial. Si las sumamos, siempre obtenemos el mismo resultado: la energía total se mantiene constante a lo largo del movimiento.

Figura 42

Otro caso similar es el de una montaña rusa. Inicialmente, la vagoneta parte del punto más elevado de la atracción. La energía potencial es máxima en este instante y la cinética es nula, pues la vagoneta está en reposo. En el momento en que empieza el movimiento por una brusca pendiente, la energía potencial disminuye con la altura de la vagoneta respecto al suelo, a la vez que va aumentando su velocidad y, consecuentemente, la energía cinética. Esta energía cinética pasa de aumentar a disminuir cuando la vagoneta pierde velocidad y gana altura ahora subiendo por una pendiente y, por tanto, vuelve a ganar energía potencial.

Figura 43

A lo largo del movimiento, la vagoneta está continuamente perdiendo y ganando altura. El aumento de altura se traduce en pérdida de velocidad, y viceversa. Así, una pérdida de energía potencial se traduce en ganancia en energía cinética y viceversa. Esta transformación de energía potencial en cinética y viceversa se ilustra en la siguiente animación.

Figura 44

¿Qué altura máxima puede alcanzar la vagoneta en la pendiente? Evidentemente, la que tenía inicialmente. ¿Por qué? Porque la energía total se mantiene constante a lo largo de todo el movimiento. Teniendo en cuenta que inicialmente sólo teníamos energía potencial, éste es el valor máximo para la energía (cuando la cinética es nula), y el valor correspondiente a la altura para esta energía potencial es el valor máximo para la altura de la vagoneta.

Si se sostiene una pelota con la mano, ésta tiene energía potencial asociada a su posición. Esto significa que tiene capacidad para moverse, y esto es lo que hace cuando la dejamos caer. Desde este momento, la energía potencial va disminuyendo proporcionalmente a la distancia que separa la pelota del suelo que, evidentemente, se hace más y más pequeña hasta hacerse cero, cuando la pelota llega al suelo. Por tanto, en este momento, la energía potencial es cero.

A su vez, la pelota pasa de no tener energía cinética a adquirir energía en esta forma debido a su movimiento cuando cae. Puesto que la pelota cae bajo la acción de la fuerza de la gravedad, ésta se mueve según un movimiento uniformemente acelerado (g = 10 m/s²). Así, su velocidad va aumentando a medida que se acerca al suelo y, por tanto, también lo hace la energía cinética (proporcionalmente al cuadrado de la velocidad). Un instante antes de llegar al suelo, la energía cinética es máxima.

Si calculásemos la energía total en cada instante como la suma de la potencial y la cinética, veríamos que obtenemos siempre el mismo valor.

Figura 45

En todos estos casos hemos definido la energía mecánica total E como la suma de la energía cinética y potencial, es decir:

E_{c} + E_{p} = E_{t o t a l} 2.60

Si la energía cinética aumenta, la potencial debe disminuir en la misma cantidad, y viceversa, de modo que la energía mecánica total se mantiene en un valor constante. A lo largo del movimiento se produce una conversión de un tipo de energía al otro.

Esta observación nos permite estudiar movimientos como el del esquiador o el de la vagoneta en una montaña rusa, aparentemente complicados, de una forma sencilla, teniendo en cuenta su energía cinética y potencial en cada instante y la conservación de la energía mecánica.

4.4.Conservación de la energía mecánica

Todos los casos anteriores son ejemplos clásicos de la conservación de la energía mecánica. En todos éstos sólo se presenta la energía en sus formas de energía cinética y potencial, y hemos despreciando el efecto de fuerzas externas como la de rozamiento con el suelo o la resistencia que ofrece el aire al movimiento (sistema aislado).

En efecto, la energía mecánica total de un sistema aislado se mantiene constante. La energía ni se crea ni se destruye, sólo se transforma.

Podemos expresar la conservación de la energía mecánica con la siguiente ecuación:

E_{i n i c i a l} = E_{f i n a l} 2.61

E c_{i n i c i a l} + E p_{i n i c i a l} = E c_{f i n a l} + E p_{f i n a l} 2.62

Así, toda la energía potencial que pierde el esquiador al perder altura, se convierte en energía cinética, manteniéndose su suma siempre constante. Y lo mismo sucede con la vagoneta en la montaña rusa y la pelota al caer.

Otro ejemplo clásico de la conservación de la energía mecánica es el movimiento de un péndulo. Un péndulo consiste en una masa suspendida de una cuerda de longitud fija. El movimiento del péndulo describe un arco circular, moviéndose de un lado a otro de forma periódica. Despreciando la resistencia del aire al movimiento, la energía mecánica total del péndulo se mantiene constante, como se ilustra en la siguiente animación.

Figura 46

En todas las situaciones anteriores, la energía potencial era de tipo gravitatoria. La siguiente animación ilustra la conservación de la energía mecánica, intercambiándose en este caso energía cinética y energía potencial elástica.

Figura 47

El hecho de que la energía mecánica se conserve a lo largo de todo el movimiento es una herramienta muy útil para realizar animaciones, ya que permite averiguar cuál será en todo momento la velocidad de un cuerpo en caída libre, siguiendo algún camino –como es el caso de la vagoneta en una montaña rusa o del esquiador– o sometido a la acción de un muelle. En el ejercicio veremos cómo calcular el módulo de la velocidad en función de la altura de un objeto que cae.

Ejercicio

Hemos visto que un péndulo oscila de un lado a otro sin parar y, por tanto, su altura y, consecuentemente, su velocidad están cambiando continuamente. A medida que decrece la altura, se pierde energía potencial y, simultáneamente, se gana en energía cinética, de modo que su suma se mantiene constante.

El péndulo de la figura tiene masa 2 kg. Utilizando las ecuaciones para la energía potencial y la energía cinética estudiadas y los datos proporcionados, determinad las siguientes alturas y velocidades.

Figura 48

Energía cinética y potencial de un péndulo a lo largo de una oscilación.

4.5.Otras formas de energía

En todos los ejemplos utilizados en este apartado hemos despreciado el efecto de fuerzas externas como la fuerza de fricción y la resistencia del aire, entre otras.

En teoría, la vagoneta de la montaña rusa, al final de la primera bajada, debería tener energía suficiente para remontar la altura inicial. Sin embargo, en la práctica esto nunca ocurre porque parte de la energía se pierde debido a la fricción y a la resistencia del aire. Además, si existe algún mecanismo de frenos a lo largo del recorrido, la vagoneta pierde energía mecánica en el frenado, y eso significa que no podrá ir tan rápido ni llegar tan alto como si no hubiera sido frenada. Evidentemente, al final del recorrido, la energía mecánica restante se pierde al detener la vagoneta.

También el esquiador experimenta los efectos de la fricción y la resistencia del aire, y él mismo utilizará, cuando lo crea oportuno, diferentes técnicas de frenado que modificarán su velocidad en un instante determinado, sin que eso lleve a una variación en la altura que conserve su energía mecánica. Una vez llegue a su destino, éste frenará de nuevo, esta vez definitivamente. Su energía potencial, así como la cinética serán nulas en este momento.

Cuando la pelota que inicialmente era sostenida a una cierta altura, cae y llega al suelo, ésta rebota y vuelve a subir hasta cierta altura, pero, contrariamente a lo que podríamos esperar, esta altura es inferior a la inicial. En este caso, además de la resistencia del aire, se ha producido un choque en el que, dependiendo de la elasticidad del material del que esté hecha la pelota, se produce una pérdida mayor o menor de energía mecánica.

En definitiva, en todos estos casos, por un motivo u otro, se produce una pérdida de energía mecánica. Sin embargo, si la energía no se destruye, ¿dónde se encuentra esta energía perdida? ¿En qué se ha transformado?

Se dijo al comienzo de este apartado que la energía se manifestaba en diferentes formas, entre ellas la energía mecánica, que es la que hemos estudiado. También dijimos que puede manifestarse como energía calórica, es decir, en forma de calor, o como energía elástica, etc. En el frenado de la vagoneta de la montaña rusa, así como en el caso del esquiador, la energía mecánica perdida se disipa en forma de calor. En el caso de la pelota, al chocar contra el suelo, la energía mecánica se transforma en energía elástica, pero dependiendo de la elasticidad del material de la pelota, también parte de la energía se disipa en forma de calor y sonido.

Existen muchas otras formas de energía: la energía eléctrica, relacionada con las cargas eléctricas; la energía de la radiación electromagnética; la energía química, almacenada en los enlaces químicos y liberada en las reacciones químicas; la energía nuclear; la energía relativista asociada a la masa; etc. Sin embargo, la descripción detallada de estos tipos de energía va más allá de los propósitos de este curso.

5.Animación de explosiones y colisiones

Infinidad de fenómenos naturales involucran explosiones y colisiones entre diferentes partículas o cuerpos. Todos estos fenómenos se rigen por leyes físicas cuyo conocimiento puede simplificar extremadamente la tarea de realizar animaciones realistas de los mismos. Por poner sólo algunos ejemplos de explosiones, tenemos desde la explosión inicial del Universo (Big Bang), hasta la explosión de un globo, un misil o un avión. En lo que respecta a las colisiones, habitualmente observamos el choque de dos (o más) vehículos, la colisión entre dos bolas de billar o el hecho de chutar un balón de fútbol.

A priori, dichos fenómenos pueden llegar a ser muy complejos, puesto que, a menudo, involucran un número relativamente elevado de objetos o bien cuerpos extensos que no pueden ser tratados como simples partículas. En consecuencia, una simulación o animación realista de estos fenómenos es sumamente difícil si no se tienen en cuenta algunas leyes generales que permitan simplificar la dinámica de dichos fenómenos. En particular, la animación de estos fenómenos requerirá una formulación adecuada de las leyes de la física en términos de sistemas de partículas, centro de masas, etc.

En este apartado introduciremos algunas herramientas extremadamente útiles para la descripción de los fenómenos relacionados con explosiones y colisiones como son el concepto de sistema de partículas, el centro de masas de un sistema de partículas o de un cuerpo extenso, el movimiento del centro de masas y las leyes de conservación del momento lineal y de la energía de un sistema de partículas.

Figura 49

5.1.Sistemas de partículas

Una partícula es, por definición, un cuerpo de dimensiones extremadamente pequeñas tal que en la práctica se lo puede considerar puntual. Hasta ahora, en el tratamiento de la cinemática y dinámica de los cuerpos hemos supuesto, aunque no siempre lo hayamos indicado, que su movimiento podía ser descrito como el correspondiente a una partícula. De hecho, cuando uno expresa la ecuación de la posición de un cuerpo como, por ejemplo:

x (t) = x_{0} + v t 2.63

está indicando que la posición x(t) corresponde a la de un punto privilegiado del cuerpo que, como veremos a continuación, es la del centro de masas de dicho cuerpo. En general, es relativamente fácil describir el movimiento de este punto privilegiado del cuerpo en términos de sencillas expresiones matemáticas.

5.1.1.Centro de masas

Consideremos un sistema de partículas formado inicialmente por sólo dos partículas. Sean x₁ y x₂ las coordenadas en el eje x de dichas partículas y, m₁ y m₂ sus masas, respectivamente. La coordenada en el eje x del centro de masas (CM) se define como:

x_{C M} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}{M} 2.64

donde M = m₁ + m₂ es la masa total del sistema. Para un conjunto de dos partículas, el CM se encuentra siempre sobre un punto de la línea que une las partículas. En particular, si las partículas tienen igual masa, el CM se localiza a mitad de camino entre las partículas. Para el resto de los casos, el CM de masas se situará más cerca de la partícula que tenga mayor masa, tal como se indica en la siguiente expresión:

x_{C M} = x_{1} + \frac{m_{2}}{M} (x_{2} - x_{1}) 2.65

O bien, si tomamos la partícula 1 en el origen de coordenadas y llamamos d la distancia que separa las dos partículas:

x_{C M} = \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} d 2.66

La figura siguiente ilustra la posición del CM para dos casos diferentes.

Figura 50

En general, la posición del CM vendrá dada por:

\begin{array}{l} x_{C M} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + ... + m_{N} x_{N}}{M} = \frac{\sum_{i} m_{i} x_{i}}{M} \\ y_{C M} = \frac{m_{1} y_{1} + m_{2} y_{2} + ... + m_{N} y_{N}}{M} = \frac{\sum_{i} m_{i} y_{i}}{M} \\ z_{C M} = \frac{m_{1} z_{1} + m_{2} z_{2} + ... + m_{N} z_{N}}{M} = \frac{\sum_{i} m_{i} z_{i}}{M} \end{array} 2.67

donde el símbolo Σ_i se denomina sumatorio e indica que hay que sumar sobre todos los posibles i. Utilizando la notación vectorial, podemos escribir la posición del CM de manera más compacta:

{\vec{r}}_{C M} = \frac{\sum_{i} m_{i} {\vec{r}}_{i}}{M} 2.68

donde

{\vec{r}}_{C M} = x_{C M} \vec{i} + y_{C M} \vec{j} + z_{C M} \vec{k}

Centro de masas en cuerpos sólidos

Hasta ahora, hemos considerado un sistema de partículas, pero es posible extender el concepto de CM a cuerpos no puntuales como, por ejemplo, los sólidos. Tomemos, en particular, la lámina rectangular de la figura siguiente (a). La posición del CM se puede determinar como:

{\vec{r}}_{C M} = \frac{\int \vec{r} d m}{M} 2.69

donde dm es un elemento de masa muy pequeño de la superficie (si se trata de un objeto bidimensional) o del volumen (si se trata de un objeto tridimensional). La única diferencia entre esta expresión y la expresión 2.68 para el CM consiste en haber reemplazado el sumatorio por la integral extendida a la superficie o al volumen del cuerpo. Cuando el cuerpo tiene la masa distribuida uniformemente, el CM y el centro geométrico del cuerpo coinciden.

Figura 51

Una forma muy sencilla de determinar en la práctica el centro de masas de un sólido se ilustra en la figura siguiente

Dejad rotar el cuerpo libremente alrededor de un cierto punto A y trazad la vertical. A continuación, repetid el mismo paso anterior utilizando un nuevo punto B y volved a trazar la vertical. El punto en que se cruzan las dos líneas es el CM del cuerpo. Si el sólido es tridimensional, hay que realizar la misma operación escogiendo tres puntos diferentes.

El fundamento físico del método anterior se basa en el hecho de que el CM tiende a ocupar siempre la posición de mínima energía potencial gravitatoria, es decir, las posición más baja, por lo que siempre descansa en la vertical.

Figura 52

5.1.2.Movimiento del centro de masas

Aunque el movimiento de un cuerpo o de un sistema de partículas bajo la acción, por ejemplo, de la fuerza de la gravedad sea muy complejo, el movimiento del CM es bastante simple. Así, el CM se mueve como una partícula de masa M igual a la masa total del cuerpo o sistema de partículas sometido al total de fuerzas externas. Matemáticamente,

{\vec{a}}_{C M} = \frac{\sum_{i} {\vec{F}}_{i}}{M} 2.70

donde

{\vec{a}}_{C M}

es la aceleración del CM y

{\vec{F}}_{i}

es la fuerza externa que actúa sobre la partícula i. Este teorema tiene una importancia capital, puesto que nos indica cómo se debe describir el movimiento de un punto, el centro de masas, sin que nos importe la extensión o tamaño del cuerpo o del sistema de partículas. En resumen, el problema del sistema de partículas o el del cuerpo extenso se puede resolver, en general, aplicando la segunda ley de Newton sobre el centro de masas.

El centro de masas se mueve como una partícula de masa igual a la masa total del cuerpo o sistema de partículas sometido al total de fuerzas externas.

Ejercicio

Imaginemos un globo inicialmente en reposo a una cierta altura que explota en dos partes de masas m₁ y m₂ = 2m₁, una el doble que la otra. Si el fragmento de masa mayor cae a 500 metros de distancia con respecto a la vertical del globo, ¿a qué distancia caerá el otro pedazo? Suponed que ambos fragmentos caen al suelo en el mismo instante.

5.2.Momento lineal y energía cinética de un sistema de partículas

El momento lineal o cantidad de movimiento

\vec{p}

de una partícula se define como el producto de su masa por su velocidad:

\vec{p} = m \vec{v} 2.72

De la misma forma, para un sistema de partículas, el momento lineal total se define como:

\vec{P} = \sum_{i} {\vec{p}}_{i} = \sum_{i} m_{i} {\vec{v}}_{i} 2.73

Por otro lado, el momento del CM es:

{\vec{P}}_{C M} = M {\vec{v}}_{C M} = \sum_{i} m_{i} {\vec{v}}_{i} 2.74

Comparando 2.73 y 2.74 se deduce que el momento del centro de masas es el momento total del sistema de partículas.

Ejercicio

Suponiendo que se mueven sobre un eje x, calculad el momento lineal del sistema compuesto por un camión de 5.000 kg moviéndose a una velocidad de 50 km/h y por un coche de 500 kg moviéndose en dirección opuesta a 100 km/h. Podemos tomar la velocidad del coche como negativa indicando que se mueve en sentido opuesto al camión.

5.2.1.Energía cinética de un sistema de partículas

La energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de cada partícula:

E_{c} = \sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2} 2.75

Es fácil demostrar que si escribimos el vector velocidad de cada una de las partículas como:

{\vec{v}}_{i} = {\vec{v}}_{C M} + {\vec{u}}_{i} 2.76

donde

{\vec{u}}_{i}

es la velocidad de la partícula con respecto al CM, entonces:

E_{c} = \frac{1}{2} M v_{C M}^{2} + \sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} u_{i}^{2} 2.77

En definitiva, la energía cinética total de un sistema de partículas es la suma de dos términos diferentes: (I) la energía cinética asociada con el movimiento del CM; (II) y la energía cinética asociada con el movimiento de las partículas relativo al CM.

5.2.2.Conservación del momento lineal

A partir de la expresión 2.73 y utilizando que la aceleración es la derivada de la velocidad, es decir,

{\vec{a}}_{i} = d {\vec{v}}_{i} / d t

, se deduce que

\frac{d \vec{P}}{d t} = \sum_{i} {\vec{F}}_{i,ext} 2.78

Cuando la suma de fuerzas externas que actúa sobre un sistema de partículas es cero, se obtiene que:

\frac{d \vec{P}}{d t} = 0 \Rightarrow \vec{P} = constante 2.79

Es decir, si el total de fuerzas externas que actúa sobre un cuerpo o sistema de partículas es cero, el momento lineal total del cuerpo o sistema de partículas permanece constante.

El momento total del sistema de un sistema de partículas es el momento del centro de masas. La energía cinética total de un sistema de partículas es la suma de dos términos diferentes: (I) la energía cinética asociada con el movimiento del CM; (II) y la energía cinética asociada con el movimiento de las partículas relativo al CM.

Si el total de fuerzas externas que actúa sobre un sistema de partículas es cero, el momento lineal total del sistema de partículas permanece constante.

Ejercicio

Inflamos un globo y, acto seguido, lo dejamos ir; observamos que sale rápidamente disparado en una dirección arbitraria. Antes de dejarlo ir, el globo estaba quieto, por lo que su momento era cero; después de dejarlo libre, el globo tiene un momento diferente de cero. ¿Por qué el momento lineal del globo ha cambiado? Para responder correctamente a la cuestión del ejercicio no hace falta considerar el efecto de la gravedad.

5.3.Colisiones

En una colisión entre dos cuerpos (bolas de billar, coches, galaxias...), éstos se aproximan uno al otro e interaccionan fuertemente durante un corto intervalo de tiempo. Durante el proceso de la colisión, las únicas fuerzas importantes que actúan sobre el sistema son las fuerzas de interacción entre los dos cuerpos, que son iguales para ambos pero de sentidos opuestos. En consecuencia, la suma total de fuerzas es cero y, tal como hemos discutido a lo largo de la ecuación 2.78, el momento lineal total antes y después de la colisión debe ser el mismo, lo que se conoce como el principio de conservación del momento lineal o cantidad de movimiento.

Por otro lado, si la energía cinética total (la del primer cuerpo más la del segundo cuerpo) es la misma antes y después de la colisión, la colisión recibe el nombre de colisión o choque elástico. Por el contrario, si la energía cinética total después de la colisión es menor que antes de la colisión, ésta recibe el nombre de choque inelástico. El choque perfectamente inelástico es aquel en que toda la energía cinética inicial (relativa al centro de masas) se convierte en calor o energía interna del sistema y, en este caso, los dos cuerpos quedan unidos después de la colisión.

Figura 53

En una colisión se cumple el principio de conservación de la cantidad de movimiento: el momento lineal total antes y después de la colisión es el mismo.

En una colisión elástica, la energía cinética total se conserva, mientras que en una colisión inelástica, la energía cinética total es menor después de la colisión.

5.3.1.Impulso neto y fuerza media

Prestemos atención a continuación al intervalo de tiempo en que tiene lugar la colisión. Llamamos t_i el tiempo de inicio de la colisión y t_f el tiempo final de la colisión. El impulso neto de una fuerza sobre un cuerpo,

{\vec{I}}_{n e t o}

, se define como la variación total del momento lineal de este cuerpo durante el intervalo de tiempo en el que tiene lugar la colisión:

{\vec{I}}_{n e t o} = {\vec{p}}_{f} - {\vec{p}}_{i} 2.80

En consecuencia, la fuerza media sobre el cuerpo durante la colisión es:

{\vec{F}}_{m e d i a} = \frac{{\vec{I}}_{n e t o}}{t_{f} - t_{i}} 2.81

Es decir, la fuerza media puede calcularse a partir del cambio de momento lineal si se conoce el tiempo que ha durado la colisión. Este tiempo puede estimarse a partir de la distancia recorrida por uno de los objetos durante la colisión.

Ejercicio

En un test de accidentes, un vehículo conducido por un maniquí se estrella a 20 m/s contra una pared. El cinturón de seguridad permite al maniquí recorrer alrededor de 1 m mientras se produce la colisión. ¿Cuál es el impulso neto sobre el maniquí? ¿Cuál es la fuerza media sobre el maniquí durante el choque? Suponer que la masa del maniquí es de 50 kg.

5.3.2.Colisiones en una dimensión

Consideremos la colisión de dos cuerpos moviéndose sobre un cierto eje x. El primer cuerpo de masa m₁ se mueve con velocidad inicial v_1i hacia el segundo cuerpo de masa m₂ con velocidad inicial v_2i. Las velocidades serán positivas si los cuerpos se mueven en el sentido positivo del eje de las x, mientras que serán negativas si se mueven en el sentido negativo del eje x. El principio de conservación de la cantidad de movimiento implica que el momento total antes y después de la colisión debe ser el mismo:

m_{1} v_{1 i} + m_{2} v_{2 i} = m_{1} v_{1 f} + m_{2} v_{2 f} 2.86

Esta ecuación nos proporciona una relación entre las velocidades finales de los cuerpos y las velocidades iniciales a partir de sus masas. Puesto que hay dos variables, v_1f y v_2f, y sólo una ecuación, nos hace falta utilizar otra ecuación para determinar el valor de estas variables. Esta última ecuación se obtiene a partir del análisis de la energía cinética en el choque.

a) Colisiones elásticas en una dimensión. En las colisiones elásticas, la energía cinética inicial y final es igual, por lo que:

\frac{1}{2} m_{1} v_{1 i}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2 i}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1 f}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2 f}^{2} 2.87

Esta ecuación, junto a la ecuación 2.86, nos permite calcular la velocidad final de las dos partículas después de la colisión.

b) Colisiones perfectamente inelásticas en una dimensión. En las colisiones perfectamente inelásticas, las partículas quedan unidas después de la colisión. En este caso, se cumple:

v_{1 f} = v_{2 f} = v_{C M} 2.88

Este resultado combinado con la conservación del momento lineal da:

(m_{1} + m_{2}) v_{C M} = m_{1} v_{1 i} + m_{2} v_{2 i} 2.89

lo que nos permite calcular la velocidad final de las partículas y la del centro de masas en función de sus velocidades iniciales.

5.3.3.Colisiones en dos y tres dimensiones

Para colisiones en dos y tres dimensiones, el momento lineal inicial y final se obtiene sumando vectorialmente los momentos lineales de los cuerpos. Para determinar la velocidad (módulo y dirección) final de las partículas, hay que aplicar el principio de conservación de la cantidad de movimiento más una ecuación correspondiente al tipo de choque: elástico, inelástico o perfectamente inelástico.

6.La gravedad

Aunque la fuerza gravitatoria es la más débil de las fuerzas fundamentales, es la que juega un papel más importante en la cinemática y dinámica de cualquier objeto macroscópico en presencia de cuerpos con una gran masa, como es el caso de la Tierra. Así, la fuerza de la gravedad producida por la Tierra determina, en la práctica, el movimiento de todos los cuerpos que se desplazan sobre su superficie o se mueven en su atmósfera. Incluso fuera de la atmósfera, la fuerza de la gravedad de la Tierra gobierna tanto el movimiento de su satélite natural, la Luna, como el de sus satélites artificiales. Asimismo, el movimiento de los cuerpos en la proximidad o en la superficie de cualquier planeta viene determinado por el valor de la fuerza de la gravedad de dicho planeta. Finalmente, el cuerpo de mayor masa del Sistema Solar es, con diferencia, el Sol, por lo que su fuerza de gravedad gobierna el movimiento de todos los planetas, asteroides, cometas, etc. del Sistema Solar.

En este apartado pretendemos describir en qué consiste la fuerza de la gravedad y cómo influye en el movimiento de los cuerpos, desde la órbita de los planetas alrededor del Sol hasta la trayectoria parabólica de una pelota lanzada en la superficie de la Tierra. El conocimiento de la fuerza de la gravedad nos deberá permitir, entre otras cosas, la realización de animaciones de cuerpos que se mueven en ambientes diferentes al de la superficie de la Tierra como por ejemplo, el movimiento de los astronautas sobre la superficie de la Luna o Marte.

Figura 54

6.1.El movimiento de los planetas

El estudio del movimiento de los planetas se remonta a la antigüedad con importantes aportaciones de egipcios y griegos. En la actualidad es comúnmente aceptado que el primer análisis riguroso del movimiento de los planetas es el realizado hacia finales del siglo XVI por el astrónomo danés Tycho Brahe. A principios del siglo XVII, Johannes Kepler descubrió, mediante el análisis de los datos obtenidos por Tycho Brahe, que la órbita del planeta Marte correspondía a una elipse. Así, en 1609, Kepler publicó Astronomia Nova, la obra donde se recogen sus dos primeras leyes sobre el movimiento de los planetas:

1) Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol situado en uno de los focos de la elipse.

2) La recta que une cualquier planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

Unos pocos años después, Kepler publicó la obra Harmonices Mundi, en la que se describe su tercera ley:

3) El cuadrado del periodo de cualquier planeta es proporcional al cubo de la distancia media del planeta al Sol.

Estas tres leyes empíricas describen el movimiento de los planetas y, en consecuencia, deben ser tenidas en cuenta en cualquier simulación del Sistema Solar. Por ejemplo, la tercera ley de Kepler nos indica que el tiempo que tarda un planeta en dar una vuelta alrededor del Sol, es decir, el periodo de revolución, crece rápidamente con la distancia.

Figura 55

Las tres leyes de Kepler describen el movimiento de los planetas y, en consecuencia, deben ser tenidas en cuenta en cualquier simulación del Sistema Solar.

Ejercicio

¿Cuánto dura el periodo de revolución alrededor del Sol de Marte si sabemos que el periodo de la Tierra son 365 días? La distancia Sol-Marte es 1,524 unidades astronómicas (u.a.), mientras que la distancia Sol-Tierra es de 1 u.a. = 1,496 ∙ 10¹¹ m.

6.2.La ley de gravitación universal

Las leyes de Kepler son leyes empíricas, es decir, obtenidas directamente del análisis de la naturaleza. Unos años más tarde, Isaac Newton formuló la hipótesis consistente en que el movimiento de los planetas debe ser atribuido a una fuerza, la fuerza gravitatoria, que varía en razón inversa al cuadrado de la distancia entre el Sol y el planeta. A partir de esta hipótesis, Newton fue capaz de demostrar explícitamente las tres leyes de Kepler.

En concreto, la ley de gravitación universal de Newton postula que existe una fuerza de atracción entre cada par de objetos que es proporcional al producto de las masas de los objetos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

Matemáticamente:

\vec{F} = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} {\vec{u}}_{r} 2.91

donde m₁ y m₂ son las masas de los cuerpos, r la distancia que los separa, G la constante de gravitación universal y, finalmente,

{\vec{u}}_{r}

un vector unitario (de módulo uno) que apunta en la dirección de m₁ a m₂, y con el sentido correspondiente a una fuerza de atracción. La constante de gravitación universal vale:

G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} N \cdot m^{2} / {kg}^{2} 2.92

6.2.1.La gravedad

Según la ley de gravitación universal, la fuerza de atracción de la Tierra sobre un cuerpo de masa m situado en su superficie es:

F = G \frac{m_{T}}{r_{T}^{2}} m = g m 2.93

donde m_T = 5,98·10²⁴ kg y r_T = 6.378 km son, respectivamente, la masa y

g = G m_{T} / r_{T}^{2}

el radio de la Tierra y es la llamada aceleración de la gravedad o, simplemente, gravedad. La fuerza con que la gravedad atrae un cuerpo se denomina peso, por lo que el peso de un cuerpo es simplemente el producto de su masa por la aceleración de la gravedad. Utilizando los valores anteriores de la masa y el radio de la Tierra, el valor de la gravedad para los objetos situados en la proximidad de la superficie de la Tierra es de g = 9,81 m/s².

Si se ignoraran las fuerzas de rozamiento, el valor de la aceleración de la gravedad indica cómo varía la velocidad de un cuerpo en caída libre cerca de la superficie del planeta.

En particular, si uno pretende realizar una simulación de un cuerpo moviéndose, por ejemplo, en la superficie de la Luna o en otro planeta, debe tener presente el valor de la gravedad en la superficie de dicho objeto astronómico. La aceleración de la gravedad se puede determinar de forma inmediata conociendo la masa y el radio del planeta o astro. La tabla 1 muestra la gravedad en la superficie de la Luna y en la de los distintos planetas que constituyen el Sistema Solar.

Tabla 1. Valores de la gravedad en la superficie de la Luna y en los planetas del Sistema Solar

Lugar	Valor de la gravedad
Lugar	Valor absoluto en m/s²	Valor relativo a la Tierra = 1
Superficie de la Luna	1,67	0,17
Superficie de Mercurio	3,70	0,38
Superficie de Venus	8,80	0,90
Superficie de la Tierra	9,80	1,00
Superficie de Marte	3,70	0,38
Superficie de Júpiter	23,10	2,36
Superficie de Saturno	9,00	0,92
Superficie de Urano	8,70	0,89
Superficie de Neptuno	11,10	1,13
Espacio profundo	0,00	0,00

Como ya hemos indicado anteriormente, el peso de un cuerpo es el valor de la fuerza de la gravedad que actúa sobre este cuerpo. Es decir,

P = m g 2.94

Así, como cualquier otra fuerza, el peso se mide en newtons (N) en el Sistema Internacional.

Peso y gravedad

El peso de un cuerpo de 50 kg en la superficie de la Tierra es de:

P = m g_{T} = 50 · 9, 81 = 49 0, 5 N 2.95

mientras que este mismo cuerpo pesa en la superficie de la Luna:

P = m g_{L} = 50 · 1,67 = 83,5 N 2.96

donde g_T es la gravedad en la superficie de la Tierra y g_L en la superficie de la Luna. Es decir, su peso es unas seis veces menor. En consecuencia, debido a la drástica reducción de peso, un astronauta se siente mucho más ligero y puede realizar saltos mucho más altos y de mayor longitud en la Luna en comparación con los que pueda realizar en la Tierra.

Agujeros negros

Cuando la fuerza de la gravedad es muy intensa (como por ejemplo, en el centro de algunas galaxias de gran masa), todos los objetos incluida la luz sufren una fuerza de atracción inmensa. En algunos casos extremos, la luz no puede escapar de este objeto tan masivo por lo que dicho objeto recibe el nombre de agujero negro.

Figura 56

Para saber más sobre los agujeros negros, podéis ver los vídeos que aparecen en:

Black Holes and Neutron Stars

6.2.2.Energía potencial gravitatoria

La energía potencial gravitatoria asociada a la fuerza de la gravedad dada por la ecuación 2.91 es

E_{p} = - G \frac{m_{1} m_{2}}{r} + constante 2.97

La constante en la expresión anterior no juega ningún papel y, normalmente, se toma igual a cero, aunque se puede tomar cualquier valor constante diferente de cero.

En las proximidades de la superficie de la Tierra o de cualquier otro cuerpo de grandes dimensiones, se puede desarrollar la ecuación anterior para obtener la siguiente expresión para la energía potencial gravitatoria:

E_{p} = m g h + constante 2.98

donde h es la altura o posición vertical del cuerpo o centro de masas del cuerpo respecto de la superficie del planeta.

La fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa, llamada así porque los cuerpos que se mueven sólo bajo la acción de la gravedad conservan su energía mecánica total (la suma de la energía cinética más la energía potencial). Dicha propiedad de la fuerza de la gravedad nos puede ser muy útil para realizar animaciones realistas en las que la energía potencial de un cuerpo se convierte en energía cinética de dicho cuerpo. Es decir, la velocidad con que se mueve un objeto en el seno de un campo gravitatorio se puede determinar fácilmente invocando el principio de la conservación de la energía mecánica.

6.2.3.Velocidad de escape

Si lanzamos un cuerpo hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una cierta energía cinética inicial, su velocidad irá disminuyendo mientras el cuerpo adquiere energía potencial. Si en algún instante el cuerpo se detiene, a partir de ese momento volverá de nuevo a aproximarse hasta la superficie de la Tierra debido a su fuerza gravitatoria, para caer finalmente en la misma. Es decir, el cuerpo conseguirá escapar de la atracción de la Tierra si nunca se detiene o, en términos más matemáticos, si su energía cinética es igual o mayor que cero en el infinito. Utilizando el principio de conservación de la energía mecánica obtenemos:

\frac{1}{2} m v_{e}^{2} - G \frac{m_{T} m}{r_{T}} = \frac{1}{2} m v_{\infty}^{2} - G \frac{m_{T} m}{r_{\infty}} 2.99

donde el miembro de la izquierda de la ecuación es la energía en la superficie, mientras que el miembro de la derecha es la energía en el infinito. En la expresión anterior, v_e es la velocidad de escape en la superficie, mientras que v_∞ = 0 y r_∞ = ∞ son la velocidad y la posición en el infinito. Para determinar la velocidad de escape, v_e, sustituimos v_∞ = 0 y r = ∞ en la ecuación 2.99 y, en consecuencia,

v_{e} = \sqrt{\frac{2 G m_{T}}{r_{T}}} = \sqrt{2 g r_{T}} 2.100

Si tomamos los valores correspondientes a la Tierra: g = 9,81 m/s² y r_T = 6,37·10⁶ m, obtenemos el siguiente valor para la velocidad de escape: v_e = 11,2 km/s.

6.2.4.Movimiento de los satélites

Si lanzamos una piedra desde la superficie de la Tierra con una cierta inclinación, ésta finalmente caerá nuevamente sobre la superficie describiendo un tiro parabólico. La distancia a la que llega la piedra depende lógicamente de la velocidad inicial que hemos comunicado a la piedra. Como ya sabemos, la superficie de la Tierra es básicamente esférica, por lo que si lanzamos una piedra con suficiente fuerza, puede ocurrir que aunque esté continuamente cayendo, siempre se mantenga la distancia vertical entre la piedra y la superficie de la Tierra. En este punto, la piedra se convierte en un satélite de la Tierra, como son la Luna o los satélites artificiales.

La velocidad del satélite se puede determinar igualando las fuerza de la gravedad con la fuerza centrípeda que aparece en el cuerpo:

G \frac{m_{T}}{r^{2}} m = m \frac{v^{2}}{r} 2.101

donde r es la distancia entre el satélite y el centro de la tierra, y por consiguiente, la velocidad orbital es:

v = \sqrt{\frac{G m_{T}}{r}} 2.102

Es decir, cuanto menor sea la distancia orbital del satélite, mayor será su velocidad.

La ley de gravitación universal de Newton postula que existe una fuerza de atracción entre cada par de objetos que es proporcional al producto de las masas de los objetos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

La fuerza con que la gravedad atrae un cuerpo se denomina peso, por lo que el peso de un cuerpo es simplemente el producto de su masa por la aceleración de la gravedad.

La fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa, llamada así porque los cuerpos que sólo se mueven bajo la acción de la gravedad conservan su energía mecánica total (la suma de la energía cinética más la energía potencial).

La velocidad de escape es la velocidad que hace falta imprimir a un cuerpo situado cerca de la superficie de un planeta o astro para que escape a su fuerza gravitatoria, es decir, para que no vuelva a caer sobre la superficie de dicho planeta o astro. La velocidad de escape correspondiente a la superficie de la Tierra es de 11,2 km/s.

Actividades

Actividad 1

Supongamos que estamos realizando una animación de una pelota que bota en el suelo, arriba y abajo. Como la pelota se mueve sólo en la dirección vertical, estamos considerando sólo la altura h de la pelota en cada instante. En un instante determinado, la altura es de 2 metros. Supongamos que queremos plasmar este movimiento en una animación por ordenador, dentro de un marco de 640 píxeles de ancho por 480 píxeles de alto. Si el origen de coordenadas se encuentra en el extremo superior izquierdo del marco de la animación, con el nuevo eje de las apuntando hacia abajo y el de las hacia la derecha, un metro está representado por 10 píxeles, y el punto del suelo sobre el que bota la pelota está en el centro del marco de la animación, ¿cuáles serán las coordenadas de la pelota en ese instante en el sistema de coordenadas de la animación?

Figura 57

Situación de la actividad 1.

Actividad 2

El movimiento de un objeto puede tener un aspecto muy diferente según el sistema de referencia escogido para su observación. Visitad la dirección de Internet siguiente:

• General Physics Java Applets

En el applet se muestra un mismo movimiento, dos bolas que se desplazan sobre una mesa, observado desde diferentes sistemas de referencia. Uno de los sistemas que se puede escoger es la superficie de la mesa; el otro, la bola roja y el tercero es la bola azul.

Actividad 3

Queremos hacer una animación con un móvil que inicia su movimiento desde las coordenadas (5,7), en metros, en un sistema de referencia. Si a partir de un determinado instante, la aceleración que experimenta el móvil viene determinada por el vector

\vec{a} = 4 \vec{i} + 6 \vec{j}

en metros/segundo², expresad las dos coordenadas del móvil en función del tiempo a partir de ese instante.

Actividad 4

Deseamos realizar una animación de un móvil que se desplaza a velocidad constante que sigue una trayectoria circular en el sentido de las agujas del reloj. La circunferencia tiene un radio de 10 m, y la velocidad del móvil es de 125 m/s. Calculad el vector de posición del móvil en cada instante de tiempo si el centro del sistema de referencia está situado en el centro de la circunferencia y al comenzar el movimiento el móvil se encuentra sobre la parte positiva del eje x.

Actividad 5

¿Cuál es la masa de un objeto si para comunicarle una aceleración de 10 m/s² es necesario aplicar sobre éste 20 newtons de fuerza?

Actividad 6

Sabiendo que la energía potencial de la bola en la parte superior del pilar es de 30 julios, determinad la energía potencial en las posiciones indicadas en las demás figuras.

Figura 58

Situación de la actividad 6.

Actividad 7

Deseamos hacer una animación en la que un objeto en reposo cae desde una altura y₀, ya sea en caída libre o siguiendo los raíles de una montaña rusa. ¿Cuál será el módulo de su velocidad a una altura y?

Actividad 8

Recortad una hoja de papel con una forma completamente arbitraria y determinar el centro de masas practicando dos orificios en la hoja e introduciendo un bolígrafo para que pueda rotar libremente alrededor del eje del bolígrafo. Seguid los pasos que se indican en el contenido complementario "Centro de masas en cuerpos sólidos" del subapartado 5.1.1. de este módulo.

Actividad 9

Calculad el periodo de revolución de Venus utilizando la tercera ley de Kepler y los siguientes datos: distancia Sol-Venus = 0,723 u.a.; distancia Sol-Tierra = 1 u.a. = 1,496 · 1.011 m; periodo de revolución de la Tierra = 365,26 días

Actividad 10

Buscad en Internet la masa y el radio del Sol. Calculad el peso de una persona de 50 kg en la superficie del Sol. ¿En cuántas veces supera su peso al que mediríamos en la Tierra?

Ejercicios de autoevaluación

1. La posición de un objeto...

a) depende del sistema de coordenadas elegido sólo si su velocidad no es uniforme.

b) depende del sistema de coordenadas elegido sólo si está en movimiento.

c) depende siempre del sistema de coordenadas elegido.

d) no depende nunca del sistema de coordenadas elegido.

2. ¿Qué es la trayectoria de un móvil?

a) La línea que ha descrito durante su movimiento.

b) El conjunto de lugares en los que el móvil se ha detenido.

c) La línea que describirá un móvil en su movimiento y que todavía no ha descrito.

3. Un movimiento se puede descomponer en la suma de dos movimientos rectilíneos perpendiculares...

a) nunca.

b) sólo si el movimiento se da en línea recta.

c) sólo si el movimiento se produce en línea recta y a velocidad constante.

d) siempre que se produzca en un plano.

4. En el movimiento rectilíneo y uniforme,...

a) la velocidad no cambia de módulo pero sí de dirección.

b) la velocidad no cambia de dirección ni de sentido, pero sí de módulo.

c) la velocidad puede cambiar de sentido, pero no de dirección.

d) la velocidad no cambia de módulo, dirección ni sentido.

5. En un movimiento uniformemente acelerado, la velocidad...

a) aumenta de manera uniforme.

b) disminuye de manera uniforme.

c) varía de manera uniforme.

d) es constante.

6. En un movimiento circular uniforme,...

a) el módulo de la aceleración tangencial siempre es constante y diferente de cero.

b) el módulo de la aceleración normal siempre es constante.

c) la dirección de la aceleración tangencial siempre es constante.

d) la dirección de la aceleración normal siempre es constante.

7. Si un cuerpo se mueve,...

a) necesariamente hay una fuerza aplicada.

b) necesariamente la suma de fuerzas es nula.

c) necesariamente la suma de fuerzas no es nula.

d) no es necesario que haya ninguna fuerza aplicada sobre el mismo.

8. Si un móvil describe un movimiento circular,...

a) necesariamente actúa sobre el mismo una fuerza tangente a la trayectoria.

b) necesariamente actúa sobre el mismo una fuerza normal a la trayectoria.

c) no es necesaria ninguna fuerza que actúe sobre el móvil.

9. En ausencia de fuerzas de rozamiento y de disipación de calor, la energía mecánica de un sistema aislado...

a) se mantiene constante a lo largo del movimiento.

b) decrece a lo largo del movimiento.

c) aumenta a lo largo del movimiento.

10. ¿En qué se transforma la energía mecánica de un esquiador cuando llega a la meta?

a) En otras manifestaciones de la energía como el calor y el sonido.

b) En nada. La energía ni se transforma, ni se crea ni se destruye.

c) En energía potencial elástica.

11. El centro de masas...

a) coincide siempre con el centro geométrico del cuerpo.

b) se mueve como una partícula de masa M igual a la masa total del cuerpo o sistema de partículas sometido al total de fuerzas externas.

c) se localiza a la mitad del camino de dos partículas de masas diferentes.

d) de un sistema de partículas se localiza en un punto u otro en función de la fuerza de la gravedad.

12. Si sobre un cuerpo o sistema de partículas no actúa ninguna fuerza externa,...

a) el cuerpo o sistema permanece en reposo.

b) el momento lineal del cuerpo o sistema es igual a cero.

c) la energía cinética del cuerpo o sistema se mantiene constante.

d) el momento lineal del cuerpo o sistema se mantiene constante.

13. Un camión choca contra un coche y después de la colisión los dos se mueven juntos a la misma velocidad. El choque es...

a) perfectamente inelástico.

b) perfectamente elástico.

c) inelástico.

d) elástico.

14. Según las leyes de Kepler,...

a) los planetas se mueven en trayectorias circulares alrededor del Sol.

b) el periodo de revolución de un planeta alrededor del Sol es proporcional al cubo de su distancia media al Sol.

c) la recta que une cualquier planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

d) los planetas describen órbitas parabólicas alrededor del Sol.

15. Según la ley de gravitación universal de Newton,...

a) dos cuerpos se atraen con una fuerza proporcional al cuadrado de sus masas e inversamente proporcional a la distancia que los separa.

b) existe una fuerza de repulsión entre dos cuerpos proporcional al producto de la masa de los cuerpos.

c) la fuerza de atracción entre dos cuerpos es proporcional al producto de las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

d) existe una fuerza de atracción entre dos cuerpos proporcional a la densidad de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

16. El peso de un cuerpo...

a) es una constante, puesto que es proporcional a la masa del cuerpo.

b) es mucho mayor en la superficie de Marte que en la Luna.

c) es igual al producto de la masa del cuerpo por la constante de gravitación universal.

d) sería mucho mayor si el radio de la Tierra aumentase.

17. La velocidad de escape desde la superficie de un planeta...

a) depende de la masa del objeto que intenta escapar de la atracción del planeta.

b) es directamente proporcional a la gravedad del planeta.

c) es igual a la velocidad orbital de cualquier satélite que orbite dicho planeta.

d) es de unos 40.000 km/h desde la superficie de la Tierra.

18. La velocidad orbital de un satélite que se mueve alrededor de la Tierra...

a) no depende de su masa.

b) es proporcional a la gravedad de la Tierra.

c) es independiente de la distancia a la que esté con respecto a la superficie de la Tierra.

d) es igual a la velocidad de escape.

Solucionario

1. a) Incorrecto. No, depende siempre del sistema elegido.
b) Incorrecto. No, depende siempre del sistema elegido.
c) Correcto.
d) Incorrecto. No, depende siempre del sistema elegido.

2. a) Correcto.
b) Incorrecto. No, es el conjunto de todos los puntos donde ha estado, no hace falta que se haya detenido.
c) Incorrecto. No, la línea que ha descrito es la trayectoria del móvil.

3. a) Incorrecto. No, si se mueve en un plano se puede descomponer en dos movimientos perpendiculares.
b) Incorrecto. No, cualquier trayectoria se puede descomponer de esta forma mientras se produzca en un plano.
c) Incorrecto. No, cualquier trayectoria con cualquier velocidad se puede descomponer de esta forma mientras se produzca en un plano
d) Correcto.

4. a) Incorrecto. No, si cambia de dirección o de módulo ya no lo es.
b) Incorrecto. No, sería rectilíneo pero no uniforme.
c) Incorrecto. No, no puede cambiar de sentido.
d) Correcto.

5. a) Incorrecto. No necesariamente, puede que disminuya.
b) Incorrecto. No necesariamente, puede que aumente.
c) Correcto.
d) Incorrecto. No, éste sería un movimiento uniforme, no uniformemente acelerado.

6. a) Incorrecto. No, si es uniforme no hay aceleración tangencial.
b) Correcto.
c) Incorrecto. No, el movimiento sería rectilíneo.
d) Incorrecto. No, la aceleración normal no puede ser nunca constante en un movimiento circular.

7. a) Incorrecto. No, el principio de inercia afirma lo contrario si el movimiento es rectilíneo y uniforme.
b) Incorrecto. No, esto sólo sería válido en un movimiento rectilíneo y uniforme.
c) Correcto.
d) Incorrecto. No, el movimiento rectilíneo y uniforme no lo cumple.

8. a) Incorrecto. No, si es circular uniforme no hay ninguna fuerza tangente.
b) Correcto.
c) Incorrecto. No, es necesario que se dé una fuerza normal.

9. a) Correcto.
b) Incorrecto. No, el objeto reduciría su velocidad o su altura sin ninguna causa.
c) Incorrecto. No, el objeto aumentaría su velocidad o su altura sin ninguna causa.

10. a) Correcto.
b) Incorrecto. No, la energía no se crea ni se destruye, pero sí se transforma.
c) Incorrecto. No, ésta es la energía de los muelles, resortes, etc.

11. a) Incorrecto. No. El centro de masas y el centro geométrico coinciden si la masa está distribuida uniformemente.
b) Correcto.
c) Incorrecto. No. Siempre se sitúa más cercano a la partícula de mayor masa.
d) Incorrecto. No. En un sistema de partículas, la posición del centro de masas sólo depende de la masa y posición de las partículas que componen el sistema.

12. a) Incorrecto. No. El cuerpo o sistema puede moverse en un movimiento rectilíneo uniforme incluso en ausencia de fuerzas externas.
b) Incorrecto. No. El cuerpo o sistema puede tener un momento lineal diferente de cero si se mueve con un movimiento rectilíneo uniforme.
c) Incorrecto. No. En los choques inelásticos no se conserva la energía cinética aunque no actúe ninguna fuerza externa.
d) Correcto. Correcto. Es el principio de conservación de la cantidad de movimiento.

13. a) Correcto.
b) Incorrecto. No. En este tipo de choque no se conserva la energía cinética y, en consecuencia, el choque no es elástico.
c) Incorrecto. Correcto, aunque se trata de un tipo particular de colisión inelástica llamada choque perfectamente inelástico (respuesta a).
d) Incorrecto. No. En este tipo de choque no se conserva la energía cinética y, en consecuencia, el choque no es elástico.

14. a) Incorrecto. No. Según la primera ley de Kepler, los planetas siguen trayectorias elípticas.
b) Incorrecto. No. Según la tercera ley de Kepler, el cuadrado del periodo de revolución de un planeta alrededor del Sol es proporcional al cubo de su distancia media al Sol.
c) Correcto. Es la segunda ley de Kepler.
d) Incorrecto. No. Según la primera ley de Kepler, los planetas siguen trayectorias elípticas.

15. a) Incorrecto.
b) Incorrecto. No. La fuerza gravitatoria es siempre atractiva.
c) Correcto.
d) Incorrecto. No. La fuerza es proporcional a las masas de los cuerpos y no a su densidad. Cuerpos de baja densidad pueden tener una gran masa si su volumen es muy grande.

16. a) Incorrecto. No. No es constante puesto que depende de la gravedad y ésta varía, por ejemplo, según qué planeta del Sistema Solar estemos considerando (ved tabla 1).
b) Correcto. Correcto, puesto que la gravedad en la superficie de Marte es aproximadamente dos veces mayor que en la Luna (ved tabla 1).
c) Incorrecto. No. Es igual al producto de la masa del cuerpo por el valor de la gravedad.
d) Incorrecto. No. La gravedad en la superficie de un planeta (y por consiguiente, el peso) es proporcional a la masa del planeta e inversamente proporcional al cuadrado del radio del planeta (ecuación 92).

17. a) Incorrecto. No. Es independiente de la masa del objeto.
b) Incorrecto. No. Depende, como la raíz cuadrada, de la gravedad del planeta (ecuación 100).
c) Incorrecto. No. Son dos conceptos completamente diferentes.
d) Correcto. La velocidad de escape desde la superficie de la Tierra es de 11,2 km/s = 40.320 km/h.

18. a) Correcto.
b) Incorrecto. No. Es independiente del valor de la gravedad de la Tierra. No obstante, depende de la masa total de la Tierra.
c) Incorrecto. No. Los satélites más cercanos a la superficie se mueven con mayor velocidad (ved la ecuación 102).
d) Incorrecto. No. Son dos conceptos completamente diferentes.

Solucionario

Actividad 1

El primer paso es determinar las coordenadas del objeto en el sistema de referencia utilizado para estudiar el movimiento. Como sólo tenemos en cuenta la altura de la pelota, podemos utilizar un sistema de referencia 1 que tenga su origen en el punto del suelo sobre el que bota la pelota. La posición de la pelota en este sistema será x₁ = 0, y₁ = 2, en metros. Puesto que en la pantalla tenemos 1m = 10 píxeles, la pelota estará en las coordenadas x₁ = 0, y₁ = 20 de este sistema de referencia.

El sistema de referencia 2, el del marco de la animación, tiene el origen en el extremo superior izquierdo, con lo cual las coordenadas de este origen respecto al sistema de referencia 1, situado en el centro del marco, serán:

X_{21} = - 320 2.103

Y_{21}_{} = 240 2.104

Este sistema de referencia tiene, además, los ejes girados respecto al sistema 1 en –90°, es decir, en 270°.

Por lo tanto, las nuevas coordenadas de la pelota en este nuevo sistema de referencia serán

x_{2} = (0 + 320) cos (270 °) + (20 - 240) sin (270 °) = 220 2.105

y_{2} = (20 - 240) cos (270 °) - (0 + 320) sin (270 °) = 320 2.106

Es decir, las coordenadas de la pelota en este instante de tiempo en el nuevo sistema de referencia serán (220,320).

Actividad 3

Puesto que el móvil parte del reposo, la velocidad inicial v₀ será nula, y el vector de posición del móvil vendrá determinado por:

\vec{r} (t) = {\vec{r}}_{0} + \frac{1}{2} \vec{a} t^{2} 2.107

Sustituyendo los valores del vector de posición inicial y de la aceleración:

\vec{r} (t) = x_{0} \vec{i} + y_{0} \vec{j} + \frac{1}{2} (a_{x} \vec{i} + a_{y} \vec{j}) t^{2} = 5 \vec{i} + 7 \vec{j} + \frac{1}{2} (4 \vec{i} + 6 \vec{j}) t^{2} 2.108

operando se obtiene:

\vec{r} (t) = (5 + 2 t^{2}) \vec{i} + (7 + 3 t^{2}) \vec{j} 2.109

Es decir, las coordenadas del objeto en función del tiempo son (5 + 2t², 7 + 3t²)

Actividad 4

Como el centro de la circunferencia coincide con el centro del sistema de referencia, x₀ e y₀ son ambos nulos.

El radio de la circunferencia es R = 10 m.

La frecuencia del movimiento ν, es decir, el número de vueltas por segundo, la calcularemos a partir de la velocidad angular ω.

Puesto que

ω = \frac{v_{l i n e a l}}{R}

, tenemos que

ω = \frac{125}{10} = 12,5 rad/s

Por lo que el número de vueltas por segundo es de:

v = ω / 2 π = 12, 5 / 2 π = 2 vueltas / s 2.110

Puesto que el movimiento es horario y empieza en la parte positiva del eje x, el desfase será φ = π/2, ya que el móvil ya llevará un cuarto de vuelta para t = 0 (contando que el inicio de las vueltas es la posición con el máximo valor de la coordenada y, tal y como se indica en el texto).

Incluyendo todos estos ingredientes en la expresión 2.33 del texto (movimiento horario), tenemos que el vector de posición en función del tiempo es:

\vec{r} (t) = [10 sen (4 π t + \frac{π}{2})] \vec{i} + [10 \cos (4 π t + \frac{π}{2})] \vec{j} 2.111

Actividad 5

Aplicando la relación entre masa, fuerza y aceleración que nos proporciona la segunda ley de Newton, obtenemos que:

m = \frac{20}{10} = 2 2.112

Así, la masa del objeto es de 2 kg.

Actividad 6

A y B: E_p = 30 J, ya que la misma masa está elevada a la misma altura que en el diagrama A.

C: E_p = 20 J, ya que la misma masa está elevada a dos tercios de la altura del pilar del diagrama A.

D: E_p = 10 J, ya que la misma masa está elevada a un tercio de la altura del pilar del diagrama A.

E: E_p = 0 J, ya que la misma masa se encuentra en la posición cero de altura determinada en el diagrama A.

Actividad 7

Puesto que la energía total se conserva, la suma de la energía potencial más la energía cinética en todo momento es una constante C:

m g y + \frac{1}{2} m v^{2} = C 2.113

La velocidad a la altura y₀ es nula, por lo que también es nula la energía cinética. Por lo tanto, para esta altura se cumple que:

m g y_{0} = C 2.114

con lo cual ya tenemos el valor de la constante.

m g y + \frac{1}{2} m v^{2} = m g y_{0} 2.115

Dividiendo por m, tenemos

g y + \frac{1}{2} v^{2} = g y_{0} 2.116

\frac{1}{2} v^{2} = g (y_{0} - y) 2.117

v^{2} = 2 g (y_{0} - y) 2.118

Por lo tanto, el módulo de la velocidad a una altura y es:

v = \sqrt{2 g (y_{0} - y)} 2.119

Actividad 9

El periodo de revolución de Venus medido por los astrónomos es de 224,7 días.

Actividad 10

El peso en la superficie del Sol es de 2 · 10¹⁴ N, mientras que en la Tierra vale aproximadamente 500 N. Es decir, en la superficie del Sol el 4 · 10¹¹ veces mayor.